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1、7.4直接證明與間接證明,知識梳理,雙基自測,2,1,1.直接證明,成立,充分,知識梳理,雙基自測,2,1,知識梳理,雙基自測,2,1,2.間接證明 間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間接證明方法. (1)反證法的定義:假設原命題(即在原命題的條件下,結論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出,因此說明假設錯誤,從而證明的證明方法. (2)用反證法證明的一般步驟:反設假設命題的結論不成立;歸謬根據(jù)假設進行推理,直到推出矛盾為止;結論斷言假設不成立,從而肯定原命題的結論成立.,不成立,矛盾,原命題成立,2,知識梳理,雙基自測,3,4,1,5,1.下列結論正確的打“”,錯誤的
2、打“”. (1)綜合法的思維過程是由因導果,逐步尋找已知的必要條件. () (2)分析法是從要證明的結論出發(fā),逐步尋找使結論成立的充要條件.() (3)反證法是指將結論和條件同時否定,推出矛盾.() (4)用反證法證明時,推出的矛盾不能與假設矛盾.() (5)常常用分析法尋找解題的思路與方法,用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.(),答案,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,2.命題“對于任意角,cos4-sin4=cos 2”的證明:“cos4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2”過程應用了() A.分析法 B.綜合法 C.綜合法、分析法綜合使
3、用 D.間接證明法,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,3.已知a=lg 2+lg 5,b=ex(xbB.abC.a=bD.ab,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,答案,解析,4.用反證法證明命題“設a,b為實數(shù),則關于x的方程x3+ax+b=0至少有一個實根”時,要做的假設是() A.方程x3+ax+b=0沒有實根 B.方程x3+ax+b=0至多有一個實根 C.方程x3+ax+b=0至多有兩個實根 D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個實根,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,5.(教材習題改編P15T(2)用反證法證明“100個球放在90個盒子里,至少有
4、一個盒子里不少于兩個球”應假設.,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,自測點評 1.分析法是執(zhí)果索因,實際上是尋找使結論成立的充分條件;綜合法是由因導果,就是尋找已知的必要條件. 2.綜合法和分析法都是直接證明的方法,反證法是間接證明的方法. 3.用反證法證題時,首先否定結論,否定結論就是找出結論的反面的情況,然后推出矛盾,矛盾可以與已知、公理、定理、事實或者假設等相矛盾.,考點1,考點2,考點3,考向一數(shù)列中的證明 例1設數(shù)列an的前n項和為Sn,已知3an-2Sn=2. (1)證明an是等比數(shù)列并求出通項公式an; 思考哪些問題的證明適合用綜合法?,考點1,考點2,考點3,
5、證明:(1)因為3an-2Sn=2, 所以3an+1-2Sn+1=2, 所以3an+1-3an-2(Sn+1-Sn)=0.,所以an是等比數(shù)列. 當n=1時,3a1-2S1=2, 又S1=a1,所以a1=2. 所以an的通項公式an=23n-1.,考點1,考點2,考點3,考向二立體幾何中的證明 例2如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是邊長為2的正方形,四邊形BDEF是矩形,且平面BDEF平面ABCD,BF=3,G和H分別是CE和CF的中點. 求證:AF平面BDGH. 思考在用綜合法證明立體幾何中的平行或垂直問題時還經(jīng)常用到什么數(shù)學方法?,考點1,考點2,考點3,證明:如圖,連接AC,設
6、ACBD=O,連接OH. 在ACF中,因為OA=OC,CH=HF. 所以OHAF,又因為AF平面BDGH,OH平面BDGH. 所以AF平面BDGH.,考點1,考點2,考點3,考向三不等式中的證明 思考綜合法證明的特點是什么?,證明 由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac得a2+b2+c2ab+bc+ca. 由題設得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.,考點1,考點2,考點3,解題心得1.綜合法的適用范圍:(1)定義明確的問題,如證明函數(shù)的單調性、奇偶性等,求證沒有限制條件的等式或不等式.(2)已知條件明確,并且容易通過分析和應用條件逐步逼近結
7、論的題型. 2.用綜合法證明立體幾何中的平行或垂直問題時還經(jīng)常用到轉化法,例如證明線面平行或垂直一般轉化成證明線線平行或垂直. 3.用綜合法證明的特點是“由因導果”,即從命題的條件出發(fā),利用定義、公理、定理及運算法則,通過演繹推理,一步一步地接近要證明的結論,直到完成命題的證明.,考點1,考點2,考點3,(2)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAB平面ABCD, AB=AD,BAD=60,E,F分別是AP,AB的中點. 求證:直線EF平面PBC; 平面DEF平面PAB.,考點1,考點2,考點3,(1)解 因為Sn=an+1+n-2, 所以當n2時,Sn-1=an+(n-1)-2=an+n-3
8、, 兩式相減,得an=an+1-an+1, 即an+1=2an-1. 設cn=an-1,代入上式, 得cn+1+1=2(cn+1)-1, 即cn+1=2cn(n2). 又Sn=an+1+n-2,則an+1=Sn-n+2,故a2=S1-1+2=3. 所以c1=a1-1=1,c2=a2-1=2,即c2=2c1. 綜上,對于正整數(shù)n,cn+1=2cn都成立,即數(shù)列an-1是等比數(shù)列,其首項a1-1=1,公比q=2.,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,(2)證明 在PAB中,因為E,F分別為PA,AB的中點,所以EFPB. 又因為EF平面PBC,PB平面PBC, 所以直線EF平面PBC.
9、 如圖,連接BD. 因為AB=AD,BAD=60, 所以ABD為正三角形. 因為F是AB的中點,所以DFAB. 因為平面PAB平面ABCD,DF平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB, 所以DF平面PAB. 又因為DF平面DEF, 所以平面DEF平面PAB.,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,例4已知ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,且a,b,c分別為角A,B,C的對邊, 思考哪些問題的證明適合用分析法?,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,解題心得分析法的適用范圍及證題關鍵 (1)適用范圍:已知條件與結論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接;證明過程中所需要用的知識不太
10、明確、具體;含有根號、絕對值的等式或不等式,從正面不易推導. (2)應用分析法的關鍵是保證分析過程的每一步都是可逆的,它的常用書面表達形式為“要證只需證”或用“”.注意用分析法證明時,一定要嚴格按照格式書寫.,考點1,考點2,考點3,(2)已知ab0,求證:2a3-b32ab2-a2b.,證明 (1)因為m0,所以1+m0. 所以要證原不等式成立, 只需證(a+mb)2(1+m)(a2+mb2), 即證m(a2-2ab+b2)0,即證(a-b)20, 而(a-b)20顯然成立,故原不等式得證.,考點1,考點2,考點3,(2)要證明2a3-b32ab2-a2b成立, 只需證2a3-b3-2ab2
11、+a2b0, 即2a(a2-b2)+b(a2-b2)0, 即(a+b)(a-b)(2a+b)0. ab0,a-b0,a+b0,2a+b0, 從而(a+b)(a-b)(2a+b)0成立, 2a3-b32ab2-a2b.,考點1,考點2,考點3,例5設數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項和. (1)求證:數(shù)列Sn不是等比數(shù)列. (2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎?為什么? 思考反證法的適用范圍及證題的關鍵是什么?,(1)證明 假設數(shù)列Sn是等比數(shù)列, 因為a10,所以(1+q)2=1+q+q2, 即q=0,這與公比q0矛盾, 所以數(shù)列Sn不是等比數(shù)列.,考點1,考點2,考點3,(2)解 當q=1
12、時,Sn=na1,故Sn是等差數(shù)列; 當q1時,Sn不是等差數(shù)列.假設Sn是等差數(shù)列,則2S2=S1+S3, 即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2), 得q=0,這與公比q0矛盾. 綜上,當q=1時,數(shù)列Sn是等差數(shù)列; 當q1時,Sn不是等差數(shù)列.,解題心得反證法的適用范圍及證題的關鍵 (1)適用范圍:當一個命題的結論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時,宜用反證法來證. (2)證題的關鍵:在正確地推理下得出矛盾,矛盾可以是與已知條件矛盾,與假設矛盾,與定義、公理、定理矛盾,與事實矛盾等.推導出的矛盾必須是明顯的.,考點1,考點2,考點3,證明:(1)a+b2; (2)a2
13、+a2與b2+b2不可能同時成立.,(2)假設a2+a0,得0a1; 同理可得,0b1,從而ab1,這與ab=1矛盾. 故a2+a2與b2+b2不可能同時成立.,考點1,考點2,考點3,1.分析法是從結論出發(fā),逆向思維,尋找使結論成立的充分條件.應用分析法要嚴格按分析法的語言表達,下一步是上一步的充分條件. 2.證明問題的常用思路:在解題時,常常把分析法和綜合法結合起來運用,先以分析法尋求解題思路,再用綜合法表述解答或證明過程. 3.用反證法證明問題要把握三點:(1)必須先否定結論,即肯定結論的反面;(2)必須從否定結論進行推理,即應把結論的反面作為條件,且必須依據(jù)這一條件進行推證;(3)推導出的矛盾可能多種多樣,有的與已知矛盾,有的與假設矛盾,有的與已知事實矛盾等,且推導出的矛盾必須是明顯的.,考點1,考點2,考點3,1.應用分析法要書寫規(guī)范,常用“要證”“只需證”等分析到一個明顯成立的結論. 2.應用反證法要將假設作為條件進行推理,不使用假設而推出矛盾的,其推理過程是錯誤的. 3.注意推理的嚴謹性,在證明過程中每一步推理都要有充分的依據(jù),這些依據(jù)就是命題的已知條件和已經(jīng)掌握了的數(shù)學結論,不可盲目使用正確性未知的自造結論.,
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