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1、機械工程控制基礎,5. 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 5.1 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件 5.2 穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù) 5.3 穩(wěn)定性的幾何判據(jù) 5.4 系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性,1,2,5. 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,控制系統(tǒng)能在實際中應用的首要條件就是必須穩(wěn)定。一個不能穩(wěn)定的系統(tǒng)是不能工作的。判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的準則，也稱為系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。,勞斯（Routh）-胡爾維茨（Hurwitz）判據(jù):是依據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式對系統(tǒng)的穩(wěn)定性做出判別，它是一種代數(shù)判據(jù)。,奈奎斯特判據(jù):是依據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)奈奎斯特圖與坐標上（-1，j0）點之間的位置關系對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性作出判別，這是一種幾何判據(jù)。,波德判據(jù):實際上是奈奎斯特判據(jù)的另一種描述法，它們之
2、間有著相互對應的關系。但在描述系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)裕度這些概念時，波德判據(jù)顯得更為清晰、直觀,從而獲得廣泛采用。,機械工程控制基礎,3,5.1 系統(tǒng)穩(wěn)定的初步概念,一 穩(wěn)定的概念,4,用圖形表示：,5,注意：,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的內(nèi)部條件，與輸入無關 系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定現(xiàn)象，必須有適當?shù)姆答佔饔?控制理論所討論的穩(wěn)定性是指輸入為零時的系統(tǒng)穩(wěn)定,6,5.1 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念,5.1.1 穩(wěn)定性概念 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在給定信號作用下，輸出應能達到新的平衡狀態(tài)，或在擾動去掉之后，系統(tǒng)的輸出能以足夠的精度恢復到原來的平衡狀態(tài)。如圖5-1(a)所示，這樣的系統(tǒng)就是穩(wěn)定的系統(tǒng)。若系統(tǒng)
3、承受的外界擾動終止作用后，系統(tǒng)輸出不能再恢復原先的平衡狀態(tài)位置，或發(fā)生不衰減的持續(xù)振蕩。如圖5-1（b）所示，這樣的系統(tǒng)就是不穩(wěn)定系統(tǒng)。,機械工程控制基礎,7,圖5-1系統(tǒng)穩(wěn)定性示意圖 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由系統(tǒng)本身的結構所決定的，而與輸入信號的形式無關。,機械工程控制基礎,8,線性定常系統(tǒng),5.1.2 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件,9,經(jīng)過Laplace變換（考慮到初始條件）,10,當輸入為零時：,當Resi0時,11,12,13,14,從以上分析可以看出，如果所有閉環(huán)極點都在s平面的左半面內(nèi)，即系統(tǒng)的特征方程式根的實部都為負，那么隨著時間t的增大，方程（5-4）式中的指數(shù)項和阻尼指數(shù)項將趨近于零。即系統(tǒng)是
4、穩(wěn)定的。,系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：是特征方程的根均具有負的實部?；蛘哒f閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根全部位于s平面的左半平面內(nèi)。一旦特征方程出現(xiàn)右根時，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。,設系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為,（5-5）,則系統(tǒng)的特征方程為,機械工程控制基礎,5.1.2 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件,15,例如某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),特征方程式為 特征根,因為特征方程根具有負實部，該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,5.1.2 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件,機械工程控制基礎,16,系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：,系統(tǒng)的全部特征根都必須具有負實部；反之，若系統(tǒng)特征根只要有一個或一個以上具有正實部時，系統(tǒng)不穩(wěn)定,17,綜上可見： 特征根中只要有一個是正實根
5、，則式(5-4) 的解就發(fā)散，系統(tǒng)就不穩(wěn)定； 當特征根中的共軛復根具有正實部時，式(5-4)解呈發(fā)散振蕩，故系統(tǒng)不穩(wěn)定； 若特征根中有零根，則式(5-4)全解中的瞬態(tài)分量將趨于某個常值，故系統(tǒng)也不穩(wěn)定； 若特征根中含有共軛虛根，則式(5-4)的解呈等幅振蕩，這時系統(tǒng)出現(xiàn)所謂臨界穩(wěn)定狀態(tài)。由于在實際工作中，系統(tǒng)的參數(shù)值往往要發(fā)生變化，因此共軛虛根有可能轉(zhuǎn)變成具有正實部的共軛復根，而使系統(tǒng)不穩(wěn)定。所以，從控制工程實踐角度看，一般認為臨界穩(wěn)定屬于系統(tǒng)的實際不不穩(wěn)定工作狀態(tài)。 當特征根中沒有零根，沒有共軛虛根，并且所有實根都是復的，共軛復根具有負實部時，式(5-4)的解是指數(shù)衰減的，或衰減振蕩的，因而
6、系統(tǒng)穩(wěn)定。,5.1.2 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件,機械工程控制基礎,18,由上述分析可以得出如下結論： 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件：是他的特征方程的所有根必須是復實數(shù)或具有負的實數(shù)部分。 因為系統(tǒng)的特征根就是系統(tǒng)的極點，故線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件就是它的全部極點必須位于復平面的左半部分。,機械工程控制基礎,5.1.2 系統(tǒng)穩(wěn)定的條件,19,例,系統(tǒng)穩(wěn)定,系統(tǒng)不穩(wěn)定,s1=-1,s2=-2,s3=-5,s1=1 s2=-2 s3=-5,20,5.2勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù),判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，就是要確定系統(tǒng)特征方程根是否全部具有負的實部，或者說特征根是否全部位于s平面的虛軸左側。這樣就面臨著兩種
7、選擇；,1. 解特征方程確定特征根，這對于高階系統(tǒng)來說是困難的。,2. 討論根的分布，研究特征方程的是否包含右根及有幾個右根。,代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)是基于特征方程根的分布與系數(shù)間的關系來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。無需解特征方程而能迅速判定根的分布情況。這是一種簡單而實用的穩(wěn)定性判據(jù)。,機械工程控制基礎,21,5.2.1 胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù),設系統(tǒng)的特征方程式為,（1）則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是： 1 .特征方程的各項系數(shù) 均不為零。 2. 特征方程的各項系數(shù)符號一致。 以上只是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件而非充要條件。,機械工程控制基礎,22,5.2.1 胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù),胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)：對于,式中 。則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件
8、是： （1）特征方程的各項系數(shù) 均為正。 （2）各項系數(shù)組成的胡爾維茨n階行列式中各階子行列式 都大于零。 滿足該條件的系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。,機械工程控制基礎,23,5.2.1 胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù),胡爾維茨行列式：對于,機械工程控制基礎,24,5.2.2 勞斯穩(wěn)定判據(jù),設系統(tǒng)的特征方程式為,則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是： 1 .特征方程的各項系數(shù) 均不為零。 2. 特征方程的各項系數(shù)符號一致。 以上只是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件而非充要條件。,機械工程控制基礎,（1）勞斯穩(wěn)定判據(jù)的必要條件,25,特征方程系數(shù)的勞斯陣列如下：,（2）勞斯穩(wěn)定判據(jù)的充要條件,機械工程控制基礎,26,在上面的勞斯陣列中bi、ci
9、、di、ei的計算公式如下：,(5-6),機械工程控制基礎,（2）勞斯穩(wěn)定判據(jù)的充要條件,27,勞斯陣列的計算順序是由上兩行組成新的一行。例如由第一行與第二行可組成第三行，在第二行第三行的基礎上產(chǎn)生第四行，這樣計算直到只有零為止。一般情況下可以得到一個n+1行的勞斯陣列。而最后兩行每行只有一個元素。每行計算到出現(xiàn)零元素為止。,把an，an-1，b1，c1，d1，e1 稱為勞斯陣列中的第一列元素。,勞斯穩(wěn)定判據(jù)的充分且必要條件是：特征方程系數(shù)所組成的勞斯陣列第一列元素符號一致，則系統(tǒng)穩(wěn)定。否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 第一列元素符號改變次數(shù)就是特征方程中所包含的右根數(shù)目。,（2）勞斯穩(wěn)定判據(jù)的充要條件,機械
10、工程控制基礎,28,試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式,勞斯陣列為,例5-1 某一系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,由于特征方程式的系數(shù)以及第一列的所有元素都為正，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,機械工程控制基礎,29,例 系統(tǒng)的特征方程為D(s)=s5+7s4+6s3+3s2+2s+1，試判斷 的穩(wěn)定性,1,1,勞斯表第一列元素不全為正，則系統(tǒng)不穩(wěn)定,s2,s3,s1,s0,有兩個右根,30,例5-2 設單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試確定K值的閉環(huán)穩(wěn)定范圍。,解：其單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,特征方程式為,勞斯陣列為,機械工程控制基礎,31,例5-3設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 若要
11、求閉環(huán)特征方程式的根的實部均小于-1，問K值應取在什么范圍？如果要求根的實部均小于-2，情況又如何？,由穩(wěn)定條件得 因此K的穩(wěn)定范圍為,機械工程控制基礎,32,解：系統(tǒng)的特征方程式為s3+9s2+18s+18K=0 令u=s+1得如下u特征方程,勞斯陣列為,所以 5/9K14/9閉環(huán)特征方程式的根的實部均小于-1,機械工程控制基礎,33,由穩(wěn)定條件知：不論K取何值，都不能使原特征方程的根的實部小于-2,若要求實部小于-2，令u=s+2 得如下新的特征方程,機械工程控制基礎,34,二階系統(tǒng)： 特征方程D(s)= a2s2+a1s+a0,系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：a20, a10, a00,階次較低的系統(tǒng)，
12、 Routh判據(jù)可表示為：,35,三階系統(tǒng)：特征方程D(s)=a3s3+a2s2+a1s+a0,36,例：控制系統(tǒng)的方框圖如下，試確定當輸入為單位速度信號時,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess0.2s的K值的范圍,解： 由系統(tǒng)的開環(huán)傳函Gk(s)可確定為I型系統(tǒng),37,則在單位速度信號輸入時，系統(tǒng)的速度偏差系數(shù)為：,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為,38,系統(tǒng)穩(wěn)定時的K值范圍, 系統(tǒng)穩(wěn)定且ess0.2的K的取值范圍為25030,39,例3 ：設某系統(tǒng)的特征方程如下，試確定待定參數(shù)及 ，以便使系統(tǒng)穩(wěn)定。 D(s)=s3+( +1)s2+( + -1)s+ -1=0,s3 1 + -1 s2 +1 -1,s1, +1,(+),
13、(+1)(+ -1)-(-1) = (+),0,so -1,0 1,40,（3）勞斯判據(jù)的特殊情況,例5-4 設有特征方程為 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,1）某行的第一列元素為零，而其余項不為零的情況 如果在計算勞斯陣列的各元素值時，出現(xiàn)某行第一列元素為零則在計算下一行的各元素值時將出現(xiàn)無窮大而無法繼續(xù)進行計算。為克服這一困難，計算時可用無窮小正數(shù)來代替零元素，然后繼續(xù)進行計算。,機械工程控制基礎,41,由于第一列有的元素為負值，且第一列的元素符號有兩次變化，表明特征方程在s平面的右半平面內(nèi)有兩個根，該閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。,解：勞斯陣列：,此時第三行第一列元素為零，用一無限小代替0， 然后計算其余
14、各項，得到勞斯陣列如上，觀察第一列各項數(shù)值，當0時，則,機械工程控制基礎,42,2）某行全部元素值為零的情況 說明系統(tǒng)的特征方程式的根中存在以下情況：,1）存在兩個符號相異，絕對值相同的實根（系統(tǒng)自由響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定） ；,2）存在實部符號相異、虛部數(shù)值相同的兩對共軛復根（系統(tǒng)自由響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定） ；,3）存在一對共軛純虛根；（系統(tǒng)自由響應會維持某一頻率的等幅振蕩，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定）；,4）以上幾種根的組合。,（3）勞斯判據(jù)的特殊情況,機械工程控制基礎,43,在這種情況下，勞斯陣列表將在全為零的一行處中斷，并且此行根的數(shù)目總是偶數(shù)，為了寫出下面各行，可將該行的上一行的各項組成一個“輔助方
15、程式”。式中s的方次均為偶次降。方程式對s求導，用求導得到的各項系數(shù)來代替為零的一行系數(shù)，然后繼續(xù)按照勞斯陣列表的列寫方法，計算余下各行直至計算完（n+1）行為止。,這些大小相等、符號相反的特征根，可由輔助方程得到。,（3）勞斯判據(jù)的特殊情況,機械工程控制基礎,44,例5-5 設某一系統(tǒng)的特征方程式為,試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：特征方程各項系數(shù)為正，列出勞斯陣列表如下：,（各元素除以2后的值）,（各元素除以2后的值）,機械工程控制基礎,45,取出全部為零元素前一行的元素，得到輔助方程為,將A(s)對s求導得到,以上式的系數(shù)代替全部為零的一行，然后繼續(xù)作出勞斯陣列表為,（各元素除以4后的值）,機
16、械工程控制基礎,46,從勞斯陣列表的第一列可以看出，各項并無符號變 化，因此特征方程無正根。但因s3行出現(xiàn)全為零的 情況，可見必有共軛虛根存在，這可通過求解輔助 方程A(s)得到 此式的兩對共軛虛根為 這兩對根，同時也是原方程的根，它們位于虛軸上，因此該控制系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，等幅振蕩。,機械工程控制基礎,47,解：由已知條件知，系統(tǒng)一定存在一對共軛純虛根s1,2=j2。由方框圖得，系統(tǒng)的特征方程為 s3+as2+(2+K)s+(1+K)=0，列出Routh表如下：,練習題：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖如圖所示。試確定K和a取何值時，系統(tǒng)將維持以角頻率=2s-1的持續(xù)振蕩。,機械工程控制基礎,48,顯然
17、，只有Routh表中S 行的元素全為0時，該特征 方程才會有一對共軛純虛根。 令 ， 而其輔助方程為,機械工程控制基礎,49,解得一對共軛純虛根 聯(lián)立方程 和 ， 解得,機械工程控制基礎,50,5.3.1 奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù) 奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù)簡稱為奈氏判據(jù)，它是利用系統(tǒng)開環(huán)奈奎斯特圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻率域圖解方法。它是一種幾何判據(jù)。,5.3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),1） 利用奈氏判據(jù)也不必求取閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，而是通過系統(tǒng)開環(huán)頻率特性(j)H(j)曲線來分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,2）由于系統(tǒng)的頻率特性可以用實驗方法得，所以奈氏判據(jù)對那些無法用分析法獲得傳遞函數(shù)的系統(tǒng)
18、來說，具有重要的意義。,3）奈氏判據(jù)還能表明系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度即相對穩(wěn)定性，進而指出改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的途徑。,機械工程控制基礎,51,（1） 穩(wěn)定性判據(jù) 如圖5-2 的閉環(huán)系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為 ，,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)為：在開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)中，令s=j，當在-至+范圍內(nèi)變化時，可畫出閉合的極坐標圖（奈奎斯特圖），它以反時針方向繞（-1，j0）點的圈數(shù)為N，假定開環(huán)極點在s右半平面的個數(shù)為P，當滿足于N=P的關系時，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,機械工程控制基礎,52,如圖所示系統(tǒng)的開環(huán)極坐標圖，其開環(huán)傳遞函數(shù)為,由極坐標圖可見，當頻率由-變化到+時，以反時針繞（-1，j0）點2圈，即N=2，由上面G(s
19、)H(s)可以看出，開環(huán)傳遞函數(shù)有2個極點在s右半平面，即P=2。由于極坐標圖的轉(zhuǎn)向是反時針的，又由于N=P，所以對應的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,機械工程控制基礎,53,如圖的開環(huán)傳遞函數(shù)為,由圖可見，N=-2、P=1，即NP，所以對應的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,機械工程控制基礎,54,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)為：在開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)中，令s=j，當在0至+范圍內(nèi)變化時，可畫出半閉合的極坐標圖（奈奎斯特圖），它以反時針方向繞（-1，j0）點的圈數(shù)為N，假定開環(huán)極點在s右半平面的個數(shù)為P，當滿足于N=P/2的關系時，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,機械工程控制基礎,55,1）開環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)不一定是穩(wěn)定的，反之開環(huán)不穩(wěn)
20、定閉環(huán)有可能是穩(wěn)定的。對于最小相位的開環(huán)傳遞函數(shù)，并且開環(huán)增益大于零時，則只有三階或三階以上的閉環(huán)系統(tǒng)才可能不穩(wěn)定。,2）當開環(huán)傳遞函數(shù)含有積分環(huán)節(jié)時（即有位于原點的極點），當趨向0時奈氏曲線沿某一坐標軸趨向開環(huán)曲線不封閉，可以通過作輔助曲線（圓）后再進行判別，輔助曲線是一半徑為的圓弧，從奈氏曲線的起始端開始反時針方向繞過N90和實軸相交后即可。,注意：,機械工程控制基礎,56,3）當曲線通過(-1，j0)點時，表示閉環(huán)系統(tǒng)有極點位于虛軸上，為臨界穩(wěn)定狀態(tài)，歸為不穩(wěn)定的情況。,4）虛軸上及原點上的開環(huán)極點為左極點。,5）對于比較復雜的系統(tǒng)，不容易直接看出包圍的圈數(shù)時，可采用“穿越”的概念： 所
21、謂“穿越”是指奈氏開環(huán)曲線穿過(-1，j0)點左側的實軸。若由上向下穿越時為正穿越，反之由下向上穿越為負穿越。穿越一次，則穿越次數(shù)為1，若曲線始于或止于(-1，j0)點左側的實軸上時，則穿越次數(shù)為1/2。穿越次數(shù)即為包圍點的圈數(shù)，正穿越時為逆時針包圍圈數(shù)為正，反之負穿越則包圍圈數(shù)為負。,機械工程控制基礎,57,在實際系統(tǒng)中，用得最多的是最小相位系統(tǒng)，因而P=0，為此，這種閉環(huán)系統(tǒng)如若穩(wěn)定，必須N=0。又因為變化時，頻率由-變化到0，再由0變化到+時，所對應的奈奎斯特圖是對稱的，所以只取0到+時這一頻率段研究即可。其判據(jù)又可敘述如下：,如果系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定的充要條件是：
22、它的開環(huán)極坐標圖不包圍（-1，j0）點，如圖6-4a所示。反之，若曲線包圍（-1，j0）點，則閉環(huán)系統(tǒng)將是不穩(wěn)定的，如圖6-4c所示。若曲線通過（-1，j0）點，則閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，如圖6-4b所示。,機械工程控制基礎,（2） 最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù),58,（2） 最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù),機械工程控制基礎,59,例5-6已知兩單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為：,其開環(huán)極坐標曲線分別如圖6-5(a)、(b)所示，試用奈氏判據(jù)分別判斷對應的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,5.3.2 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)舉例,機械工程控制基礎,60,解: (1)系統(tǒng)1：由開環(huán)傳遞函數(shù)G1(s)的表達式知，p=0開環(huán)穩(wěn)定。由
23、圖6-5(a)可見，開環(huán)奈奎斯特圖沒有包圍（-1，j0）點。因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,(2) 系統(tǒng)2：由開環(huán)傳遞函數(shù)G2(s)的表達式知，p=0開環(huán)穩(wěn)定。由圖6-5(b)可見，開環(huán)奈奎斯特圖括入了(-1，j0)點。根據(jù)奈氏判據(jù)該系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。,61,例5-7 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：,開環(huán)奈奎斯特圖如圖6-6所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：由開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的表達式知，P=1開環(huán)不穩(wěn)定。,開環(huán)頻率特性的極坐標曲線頻率由0變化到+時逆時針包圍(-1，j0)點N=1/2圈。如若頻率由-變化到0，再0由0變化到+時，即為N=1,根據(jù)奈氏判據(jù)，該系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。,此例說明，系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定時，
24、閉環(huán)系統(tǒng)仍有可能是穩(wěn)定的。,機械工程控制基礎,62,例6-8已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：,試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)可繪制出其頻率特性的奈奎斯特圖如圖6-7所示。曲線包圍了點(-1，j0)一圈N=1（注意圖中虛線）。由G(s)H(s)表達式知， P=0，開環(huán)穩(wěn)定，根據(jù)奈氏判據(jù)，該系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。,機械工程控制基礎,63,5.4 穩(wěn)定裕度,系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性是有影響的。適當選取系統(tǒng)某些參數(shù)，不但可以使系統(tǒng)獲得穩(wěn)定，而且可以使系統(tǒng)具有良好的動態(tài)響應。 由奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可以推知：,在線性控制系統(tǒng)中，勞斯判據(jù)主要用來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。而對于系統(tǒng)穩(wěn)定的程度如何及是否具有滿意
25、的動態(tài)過程，勞斯判據(jù)無法確定。,1）對于開環(huán)穩(wěn)定(p=0)的閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，開環(huán)頻率特性的奈奎斯特曲線距點(-1，j0)越遠，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越高；,2）曲線距點(-1，j0)越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越低。,機械工程控制基礎,64,圖6-8是系統(tǒng)開環(huán)奈奎斯特曲線對(-1，j0 )點的位置與對應的系統(tǒng)單位階躍響應示意圖。圖中各系統(tǒng)均為開環(huán)穩(wěn)定(p=0)。,機械工程控制基礎,65,1）當開環(huán)頻率特性的極坐標曲線包圍(-1，j0 )點時，對應閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應發(fā)散，閉環(huán)不穩(wěn)定(圖6-8(a)；,2）當開環(huán)奈奎斯特曲線通過(-1，j0 )點時，對應閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應呈等幅振蕩(圖6-8(b)；,
26、3）當開環(huán)奈奎斯特曲線不包圍(-1，j0 )點時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(圖6-8(c)、(d)。,4）由圖6-8(c)、(d)可見，開環(huán)奈奎斯特曲線距(-1，j0 )點的遠近程度不同，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的程度也不同。這便是通常所說的系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。通常以穩(wěn)定裕度來表示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。,機械工程控制基礎,66,（1） 穩(wěn)態(tài)裕度極坐標的表示 系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性即穩(wěn)定裕度用相位裕度和幅值裕度g 來定量描述，如圖6-9所示。,機械工程控制基礎,67,1) 相位裕度 在圖6-9(a)和(b)中，以原點為圓心，以單位值為半徑，可作成單位圓，它必然通過Q(-1，j0)點，并與奈奎斯特曲線交于A點，連線于0、A點得OA，
27、 OA與負虛軸的夾角稱為相位裕度，大小為：,式中c ：稱為剪切頻率或幅值穿越頻率，這一頻率對應的幅值為1。,(5-7),相位裕度的物理意義是，如果再滯后時，系統(tǒng)才處于臨界狀態(tài)。因此，相位裕度又可以稱為相位穩(wěn)定性儲備。,機械工程控制基礎,68,2) 幅值裕度g 開環(huán)奈奎斯特曲線與負實軸相交于Q點，這一點的頻率g時的幅值為|G(jg)H(jg)|，其倒數(shù)定義為幅值裕度g ，即：,式中g ： 相位穿越頻率，對應這點的頻率的相角為-180。,幅值裕度g的物理意義是，如果將開環(huán)增益放大g倍，系統(tǒng)才處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。因此，幅值裕度又稱為增益裕度。,機械工程控制基礎,69,g(dB)=(620)dB =30
28、 60,由前面分析可見： 對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，應有 0，且g1；,對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，有 0，g1。,系統(tǒng)的穩(wěn)定程度由 ，g兩項指標來衡量，g(dB) 、 越大系統(tǒng)的穩(wěn)定性越好。但穩(wěn)定裕度過大會影響系統(tǒng)的其它性能，如響應的快速性等。工程上一般?。?機械工程控制基礎,70,（2）穩(wěn)定裕度波德圖表示 相位裕度和幅值裕度也可以在波德圖中表示，如圖6-10(a)、(b)所示。,機械工程控制基礎,71,此時，幅值裕度g 的分貝值為：,(5-9),對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，應有0，且Kg1 即Kg(dB)0。如圖6-10(a)所示。在波德圖上， 必在-180線以上； Kg(dB)在0dB線以下。,對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，有 0
29、，Kg1即Kg(dB)0。如圖6-10(b)所示。此時，在極坐標圖的負實軸以上。在波德圖上， 在180線以下；Kg在0dB線以上。,機械工程控制基礎,72,（3）波德圖判據(jù) 利用開環(huán)頻率特性G(j)H(j)的波德圖，也可以來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這種方法有時稱為對數(shù)頻率特性判據(jù)，簡稱對數(shù)判據(jù)或波德判據(jù)，它實質(zhì)上是奈奎斯特判據(jù)的引申。,開環(huán)波德圖與開環(huán)極坐標圖有如下對應關系： 1) 奈奎斯特圖上的單位圓相當于波德圖上的0分貝線，即對數(shù)幅頻特性圖的橫軸。因為此時 20lg|G(j)H(j)|=20lg1=0dB,2) 奈奎斯特上的負實軸相當于波德圖上的-180線，即對數(shù)相頻特性圖的橫軸。因為此時相位
30、G(j)H(j) 均為-180。,機械工程控制基礎,73,波德圖判據(jù)如下： 對于最小相位系統(tǒng) 當c g時，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定(圖6-10(b); 當c = g時，則閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。,一般系統(tǒng)的開環(huán)系統(tǒng)多為最小相位系統(tǒng)，即p=0，故可按上述條件來判別其穩(wěn)定性。,機械工程控制基礎,74,例6-9 某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試分別求K=2和K=20時，系統(tǒng)的幅值裕度Kg (dB) 和相位裕度 。,解1：由開環(huán)傳遞函數(shù)知，系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定。分別繪制K=2和K=20時系統(tǒng)的Bode圖，如圖6-11(a)、(b)所示。,由圖可見： 當K=2時，Kg(dB)=8(dB)；=21 當K=20時，Kg(dB)=-1
31、2(dB)，=-30 顯然，K=20時閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。K=2時系統(tǒng)是穩(wěn)定的。此時相位裕度較小，小于30 ，因此系統(tǒng)不具備滿意的相對穩(wěn)定性。,機械工程控制基礎,75,76,解2：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為,其中，幅頻特性,相頻特性,機械工程控制基礎,77,令,有,令,或令,有,而幅值裕度,(1),(2),機械工程控制基礎,78,相位裕度,(1) 當K= 2時，代入式(1)得 增益交角頻率 c=? 代入式(3)得 相位裕度 =？ 代入式(2)得 幅值裕度 Kg=9.52dB,(3),(2) 當K=20時，代入式(1)得 增益交角頻率 c=？ 代入式(3)得 相位裕度 =？ 代入式(2)得 幅值裕度 Kg
32、=-10.47,機械工程控制基礎,79,利用波德圖求取相對穩(wěn)定性具有下列優(yōu)點：,(1) 波德圖可以由漸近線的方法繪出，故比較簡便易行；,(2)省去了計算c 、g的繁雜過程；,(3)由于開環(huán)波德圖是由各波德圖迭加而成，因此在波德圖上容易確定哪些環(huán)節(jié)是造成不穩(wěn)定的主要因素，從而對其參數(shù)重新加以選擇或修正；,(4)在需要調(diào)整開環(huán)增益K時，只需將對數(shù)幅頻特性曲線上下平移即可，這樣可很容易地看出增益K取何值時才能使系統(tǒng)穩(wěn)定。,機械工程控制基礎,80,一、基本要求 （1）了解系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義；系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。 （2）掌握Routh和Hurwitz判據(jù)的必要條件和充要條件，學會應用Routh判據(jù)判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，能夠指出系統(tǒng)包含不穩(wěn)定特征根的個數(shù)。 （3）掌握Nyquist判據(jù)。 （4）理解系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的概念，會求相位裕度和幅值裕度。,81,二、本章重點 （1）Routh判據(jù)，Nyquist判據(jù)的應用。 （2）系統(tǒng)相對穩(wěn)定性；相位裕度和幅值裕度的求法及其在Nyquist圖和Bode圖上的表示法。,82,三、本章難點 1.Routh判據(jù)及其應用； 2.Nyquist判據(jù)及其應用。,83,機械工程控制基礎,84,
《機械控制工程基礎》5-use.ppt
