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1、第3章時域分析法,本章的主要內容3.1典型控制過程及性能指標3.2一階系統(tǒng)分析3.3二階系統(tǒng)分析3.4穩(wěn)定性與代數判據3.5穩(wěn)態(tài)誤差分析及誤差系數,3.1典型控制過程及性能指標,3.1.1典型輸入信號及輸出波形3.1.2控制系統(tǒng)的性能指標,什么是時域分析?指控制系統(tǒng)在一定的輸入下，根據輸出量的時域表達式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。,3.1.1典型輸入信號及輸出波形,1）階躍函數（信號）,單位階躍函數及拉氏變換,單位階躍函數波形圖,（2）斜坡函數（信號）,單位斜坡函數及拉氏變換,單位階躍函數波形圖,3）拋物線信號（加速度信號）,單位拋物線信號及拉氏變換,單位階躍函數波形圖,4）脈沖函數（
2、信號）,單位脈沖函數及拉氏變換,單位脈沖函數波形圖,和,5）正弦函數（信號）,單位正弦函數及拉氏變換,單位正弦函數波形圖,單位脈沖函數響應：,單位階躍函數響應：,單位斜坡函數響應：,單位拋物線函數響應：,典型響應：,3.1.2控制系統(tǒng)的性能指標,在典型信號作用下，控制系統(tǒng)的時間響應是由動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。所以控制系統(tǒng)的性能指標，通常由動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩部分組成。,1.動態(tài)過程和動態(tài)性能,動態(tài)過程（過渡過程、暫態(tài)過程）：在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)從初態(tài)到終態(tài)的響應過程。動態(tài)響應過程有三種情況：衰減型、發(fā)散型、等幅振蕩型,動態(tài)性能：當系統(tǒng)的時間響應c(t)中的瞬態(tài)分量較大而不能忽略時，
3、稱系統(tǒng)處于動態(tài)或過渡過程中，這時系統(tǒng)的特性。,階躍響應的性能指標：在測定或計算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標時，由于階躍函數可以表征系統(tǒng)受到的最嚴峻的工作狀態(tài)，動態(tài)性能指標，一般由階躍響應的性能指標來描述。,（1）延遲時間：,輸出響應第一次達到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間。,（4）最大超調量（簡稱超調量）：,（2）上升時間：,輸出響應第一次達到穩(wěn)態(tài)值y()所需的時間。或指由穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間。,輸出響應超過穩(wěn)態(tài)值達到第一個峰值ymax所需要的時間。,（3）峰值時間：,（5）調節(jié)時間或過渡過程時間：,當和之間的誤差達到規(guī)定的范圍之內比如或，且以后不再超出此范圍的最小時間。,在上述幾種性
4、能指標中，表示瞬態(tài)過程進行的快慢，是快速性指標；而反映瞬態(tài)過程的振蕩程度，是振蕩性指標。其中和是兩種最常用的性能指標。,2.穩(wěn)態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)性能,穩(wěn)態(tài)過程是指當時間t趨近于無窮大時，系統(tǒng)輸出狀態(tài)的表現形式。它表征系統(tǒng)輸出量最終復現輸入量的程度，提供系統(tǒng)有關穩(wěn)態(tài)誤差的信息，用穩(wěn)態(tài)性能來描述。,通常討論在階躍、斜坡、加速度函數作用下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差；穩(wěn)態(tài)誤差用來衡量系統(tǒng)的控制精度或抗擾動性能。,ess=c期望-c（）,3.2一階系統(tǒng)分析,3.2.1一階系統(tǒng)的數學模型3.2.2一階系統(tǒng)的單位階躍系統(tǒng)3.2.3一階系統(tǒng)的單位斜坡系統(tǒng)3.2.4一階系統(tǒng)的單位脈沖系統(tǒng)3.2.5三種響應之間的關系,3.2.1一
5、階系統(tǒng)的數學模型,以一階微分方程作為數學模型的控制系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。如圖所示的一階系統(tǒng)，其傳遞函數為,其閉環(huán)傳遞函數為：,式中，,稱為時間常數。,3.22一階系統(tǒng)的單位階躍響應,單位階躍響應函數：,其單位階躍響應曲線如圖3-4所示。輸出響應從零開始按指數規(guī)律上升，最后趨于1。,可見，調整時間只與時間常數T有關。T越小，系統(tǒng)響應速度越快。,3.2.3一階系統(tǒng)的單位斜坡響應,設系統(tǒng)的輸入信號為單位斜坡函數，即。則可求得輸出的拉氏變換為,c(t),T,0,T,t,一階系統(tǒng)單位斜坡響應曲線如圖,輸出量和輸入量之間的位置誤差隨時間而增大，最后趨于常值T，慣性越小，跟蹤的準確度越高。,3.24一階系統(tǒng)的
6、單位脈沖響應,當輸入信號為理想單位脈沖函數時，由于R(s)=1所以系統(tǒng)輸入量的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數相同，即,這時系統(tǒng)的輸出稱為脈沖響應，其表達式為,可見，單位脈沖響應中只包含瞬態(tài)分量。,3.25三種響應之間的關系,從輸入信號看，單位斜坡信號的導數為單位階躍信號，而單位階躍信號的導數為單位脈沖信號。,從輸出信號來看，單位斜坡響應的導數為單位階躍響應，而單位階躍響應的導數為單位脈沖響應。,線性定常系統(tǒng)的一個重要性質：某輸入信號導數的輸出響應，就等于該輸入信號輸出響應的導數；同理，某輸入信號積分的輸出響應，就等于該輸入信號輸出響應的積分，積分常數由零輸出初始條件確定。,3.3二階系統(tǒng)分析,3.3
7、.1二階系統(tǒng)的數學模型3.3.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應3.3.3高階系統(tǒng)的時域分析,3.3.1二階系統(tǒng)的數學模型,二階系統(tǒng)：以二階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng).這是最常見的一種系統(tǒng)，很多高階系統(tǒng)也可簡化為二階系統(tǒng)。系統(tǒng)典型結構和傳遞函數為：,稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數，稱為阻尼系數，稱為無阻尼振蕩圓頻率或自然頻率。,特征方程為：,當時，特征方程有一對共軛的虛根，稱為零(無)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為持續(xù)的等幅振蕩。,當時，特征方程有一對實部為負的共軛復根，稱為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為衰減的振蕩過程。,當時，特征方程有一對相等的實根，稱為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為非振蕩過程。,當時，特
8、征方程有一對不等的實根，稱為過阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為非振蕩過程。,3.3.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應,當輸入為單位階躍函數時，有：,分析：,1.欠阻尼情況,極點的負實部決定了指數衰減的快慢，虛部是振蕩頻率。稱為阻尼振蕩圓頻率。其周期為:,2.無阻尼情況,極點為：,此時輸出將以頻率做等幅振蕩，所以，稱為無阻尼振蕩圓頻率。,3.臨界阻尼情況,極點為：,階躍響應函數為：,4.過阻尼情況,極點為：,其中，A1、A2、A3為待定系數。據此，可求得輸出響應的拉氏反變換,此時，系統(tǒng)輸出時間t單調上升，無振蕩和超調。由于輸出響應含負指數項，因而隨著時間的推移，對應的分量逐漸趨于零，輸出響應最終趨于穩(wěn)態(tài)值1。
9、,上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數、特征根、極點分布和單位階躍響應如下表所示：,典型兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應,典型兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應,可以看出：隨著的增加，c(t)將從無衰減的周期運動變?yōu)橛兴p的正弦運動，當時c(t)呈現單調上升運動(無振蕩)?？梢姺从硨嶋H系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為阻尼系數。,5.欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標,(1)上升時間：根據定義，當時，。,(2)峰值時間：當時，,(3)超調量:,上式表明超調量%的大小只決定于阻尼比值，而與的大小無關。工程中，有時把阻尼比和%之間的關系，按計算結果，直接整理成曲線如圖所示，應用時由直接查該圖即可得%。,(4)調節(jié)
10、時間：,例3-1有一位置隨動系統(tǒng)，其結構圖如圖所示，其中求該系統(tǒng)（）自然振蕩角頻率；（）系統(tǒng)阻尼比（）超調量和調節(jié)時間（）如要求怎樣改變系統(tǒng)值。,解該系統(tǒng)傳遞函數為,對照下式可得,（1）自然振蕩角頻率：（2）阻尼比：由得,（3）超調量：,（4）調節(jié)時間：,（5）要求即,例3-2設二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖所示。試確定系統(tǒng)的傳遞函數。,解首先明顯看出，在單位階躍作用下響應的穩(wěn)態(tài)值為3，故此系統(tǒng)的增益不是1，而是3。系統(tǒng)模型為：,然后由響應的、及相應公式，即可換算出、。,（s）,由公式得,換算求解得：,3.23高階系統(tǒng)的時域分析,高階系統(tǒng)的傳遞函數為：,寫成零極點形式：,單位階躍響應為：,
11、對上式進行部分分式展開,對上式拉氏變換得：,高階系統(tǒng)有如下結論：（1）高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應各分量的衰減快慢由指數衰減系數和決定。如果某極點遠離虛軸，那么其相應的瞬態(tài)分量比較小，且持續(xù)時間較短。,（2）高階系統(tǒng)各瞬態(tài)分量的系數和不僅與復平面中極點的位置有關，而與零點的位置有關。,（3）在系統(tǒng)中，如果距虛軸最近的極點，其實部的絕對值為其他極點實部絕對值的1/5甚至更小，并且在其附近沒有零點存在，則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應將主要由此極點左右。,3.4穩(wěn)定性與代數判據,3.4.1穩(wěn)定的概念,3.4.2穩(wěn)定的數學條件及定義,3.4.3古爾維次穩(wěn)定判據,3.4.4勞斯穩(wěn)定判據,3.23高階系統(tǒng)的時域分析,高階系統(tǒng)的傳遞
12、函數為：,寫成零極點形式：,單位階躍響應為：,2.5.1動態(tài)結構圖的概念,1.定義:把組成系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)用方塊圖表示，在方塊圖內標出各環(huán)節(jié)的傳遞函數，并將各環(huán)節(jié)的輸入量、輸出量改用拉氏變換來表示。這種圖形稱為動態(tài)結構圖，簡稱結構圖。,2.結構圖由四種基本圖形符號所組成，稱為結構圖的四要素。各圖形符號代表的意義如下：,（1）信號線：信號線是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，在直線旁標記信號的時間函數或象函數，見圖（a）；,（2）引出點：表示信號引出或測量的位置。從同一位置引出的信號在數值和性質方面完全相同，見圖（b）；,（3）綜合點（比較點或相加點）：對兩個或兩個以上性質相同的信號進行取代數和
13、的運算。參與相加運算的信號應標明“+”號，相減運算的信號應標出“”號。有時“+”號可省略，但“”號必須標明，如圖（c）；,（4）函數方塊：表示元件或環(huán)節(jié)輸入、輸出變量之間的函數關系。方塊內要填寫元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數，如圖（d）。,(a)(b)(c)(d),2.5.2動態(tài)結構圖的建立,繪制動態(tài)結構圖的一般步驟為：,（1）明確系統(tǒng)的輸入量和輸出量；確定各元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數。,（2）繪出各環(huán)節(jié)的方塊圖，在其中標出傳遞函數，并將信號的拉氏變換標在信號線附近。,（3）按照系統(tǒng)中信號的傳遞順序，依次將各環(huán)節(jié)的方塊圖連接起來，便構成系統(tǒng)的結構圖。,例2-5已知RC阻容網絡如圖2-5所示，其中為輸入量，為輸
14、出量，試畫出該網絡的動態(tài)結構圖。,解該網絡系統(tǒng)的輸入量為ur，輸出量為uc。其遵循的電路原理為：,對以上的標準微分方程組進行拉氏變換，得如下的標準變換方程組：,從輸入端開始，依次畫出各個子變換方程輸入量、輸出量關系的傳遞函數方塊圖。并連結系統(tǒng)中的各同名信號線。如圖2-6所示。,2-52-6,2.5.3動態(tài)結構圖的等效變換,1、串聯環(huán)節(jié)的等效變換幾個環(huán)節(jié)的結構圖首尾連接，前一個結構圖的輸出是后一個結構圖的輸入，稱這種結構為串聯環(huán)節(jié)。如圖2-7（a）是兩個環(huán)節(jié)串聯的結構，有：,由上兩式得,因而可等效成圖2-7（b）所示的結構。由此可得出，串聯環(huán)節(jié)的等效傳遞函數等于各相串聯環(huán)節(jié)傳遞函數的乘積，即有,
15、2-7(a)2-7(b),2.并聯環(huán)節(jié)的等效變換兩個及兩個以上環(huán)節(jié)具有同一個輸入信號，而以各自環(huán)節(jié)輸出信號的代數和作為總的輸出信號的結構稱為并聯環(huán)節(jié)。如圖為兩個環(huán)節(jié)的并聯結構圖。由圖得：,由上三式得,其等效結構圖如圖所示。由此可見，并聯環(huán)節(jié)的等效傳遞函數等于各并聯環(huán)節(jié)的傳遞函數的代數和，即有,3.反饋連接的等效變換若傳遞函數分別為G（s）和H（s）的兩個方塊圖如圖2-9（a）形式連接，則稱為反饋連接?！?”號為正反饋，表示輸入信號與反饋信號相加；“-”號為負反饋，表示輸入信號與反饋信號相減。由（a）圖有,由上三式得,稱為閉環(huán)傳遞函數，是反饋連接的等效傳遞函數，式中負號對應正反饋連接，正號對應負
16、反饋連接。反饋連接的等效變換如圖所示。,4.綜合點和引出點的移動在結構圖的變換中經常要求改變綜合點和引出點的位置。一般包括綜合點前移、綜合點后移、引出點前移、引出點后移、相鄰綜合點和相鄰引出點之間的移動。,1）綜合點前移圖2-10（a）和圖2-10（b）分別表示綜合點前移變換前后的系統(tǒng)結構圖。,可以看出兩圖具有如下相同的輸入、輸出關系：,2）綜合點后移圖2-11（a）和圖2-11（b）分別表示綜合點后移變換前后的系統(tǒng)結構圖可以看出兩圖具有如下相同的輸入、輸出關系：,3）引出點前移圖2-12（a）和圖2-12（b）分別表示引出點前移變換前后的系統(tǒng)結構圖。,可以看出兩圖具有如下相同的輸入、輸出關系
17、：,4）引出點后移圖2-13（a）和圖2-13（b）分別表示引出點后移變換前后的系統(tǒng)結構圖。,可以看出兩圖具有如下相同的輸入、輸出關系：,5）相鄰綜合點之間的移動和合并圖2-14（a）和圖2-14（b）表示相鄰綜合點之間可以互換位置或進行合并，不會改變該結構輸入和輸出信號之間的關系。,6）相鄰引出點之間的移動從一個信號流線上無論引出多少條信號線，它們都代表同一個信號，所以在一條信號線上的各引出點之間的位置可以隨意改變，效果都是等效的。如圖2-15（a）和圖2-15（b）所示。,例2-8化簡圖2-16所示的系統(tǒng)結構圖，并求傳遞函數。,解（1）將綜合點a后移，得等效圖如圖,（2）再與b點交換，得到
18、圖,（3）因與并聯，與是負反饋環(huán)，可得圖,（4）再將上圖的兩個串聯環(huán)節(jié)進行合并，得最后化簡的結果如圖,2.6信號流圖,2.6.1信號流圖的術語及繪制2.6.2梅遜公式,2.6.1信號流圖的術語及繪制,1.信號流圖中的術語,源節(jié)點（輸入節(jié)點）只有輸出支路而無輸入支路的節(jié)點。如圖中的x1。阱節(jié)點（輸出節(jié)點）只有輸入支路而無輸出支路的節(jié)點。如圖中的x6?；旌瞎?jié)點既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。如圖中的x2，x3，x4，x5。通路沿著支路箭頭的方向順序穿過各相連支路的路徑。,前向通路從源節(jié)點開始并且終止于阱節(jié)點，與任一節(jié)點相交不多于一次的通路。如圖中的x1x2x3x4x5，x1x2x4x5，x1x2x
19、5前向通道增益前向通道上各支路增益的乘積?；芈吠返钠瘘c和終點是同一節(jié)點，并且與其它任何節(jié)點相交不多于一次的閉合路徑稱為回路?；芈吩鲆婊芈分懈髦吩鲆娴某朔e，稱為回路的增益。不接觸回路回路之間沒有公共節(jié)點時，這種回路叫做不接觸回路。在信號流圖中，可以有兩個或兩個以上的不接觸回路。如圖中的：x2x3x2和x4x4；x2x5x3x2和x4x4。,2.信號流圖的繪制信號流圖可以根據微分方程繪制，也可以從系統(tǒng)的結構圖按照對應關系得到。,1）由系統(tǒng)微分方程繪制信號流圖一般應先通過拉氏變換將微分方程變換為s的代數方程式后再化信號流圖。繪制信號流圖時，首先對系統(tǒng)的每個變量指定一個節(jié)點，并按照系統(tǒng)中變量的因果
20、關系，從左向右順序排列；然后，用標明支路增益的支路，根據代數方程式將各節(jié)點變量正確連接，便可得系統(tǒng)的信號流圖。,（2）由系統(tǒng)結構圖繪制信號流圖結構圖中，由于傳遞的信號標記在信號線上，方框則是對變量進行變換或運算的算子。因此，從系統(tǒng)結構圖繪制信號流圖時，只需在結構圖的信號線上用小圓圈標志出傳遞信號，便得到節(jié)點；用標有傳遞函數的線段代替結構圖的方框，便得到支路，結構圖也就變換為相應的信號流圖了。,2.6.2梅遜公式,計算任意輸入節(jié)點和輸出節(jié)點之間傳遞函數的梅遜增益公式為,式中，特征式，其計算公式為,n從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點間前向通道的條數；Pk從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點間第K條前向通道的總增益；La所有不同回路增益之和；LbLc所有兩兩互不接觸回路的回路增益的乘積之和；LdLeLf所有不接觸回路中，每次取其中三個回路增益的乘積之和；K第K條前向通路的余子式，即把與該通路相接觸的回路的回路增益置為0后，特征式所余下的部分。,例2-10用梅遜公式求如圖2-19所示系統(tǒng)的傳遞函數。,解：單獨回路4個，即,兩個互不接觸的回路有4組，即,三個互不接觸的回路有1組，即,于是，得特征式為,從源點R到阱節(jié)點C的前向通路共有4條，其前向通路總增益以及余因子式分別為:,因此，傳遞函數為,
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