[西安交通大學(xué)][電介質(zhì)物理][姚熹、張良瑩][課后習(xí)題答案][第一章]

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1、第一章靜電場中的電介質(zhì)1-1半徑為a的球帶電量為q,電荷密度正比于距球心的居里。求空間的電位和電場分布。解：由題意可知，可設(shè)pkr再由于,pdvq，代入可以求出常數(shù)k即,4兀r2krdr=兀ka4所以k=p=r兀a4兀a4當(dāng)r.a時由高斯定理可知E-4兀r2=q；E=q4兀r200UJE-dr=J4兀r0當(dāng)0vr乞近似值1 8el81elooP點，實際值-空近似值2 24ml625mloo1-4分別繪出電偶極子、電四極子和電八極子的圖形，并給出其相應(yīng)的電偶3極子強度，電四極子強度，電八極子強度。1-5為解：參考課本P圖1-1021偶極子強度ql；四極子強度qll；八極子強度qlll12123試

2、證明位于（0,0,l）的點偶極子（方向沿Z軸）在場點的r的展開式,(r,0)藝nPn(cos0)4亦rn+i0n=0解：點電荷的多極展開式為,(r)=+qZ-cos0+qZ_(3cos2一-)+rr2r322對于正電荷+q來說z=引/2qq(3l/2)q(3l/2)231,=+COS0+(COS2)+rr2r322對于負(fù)電荷-q來說z=l/2-器一愕COS0一COS2一2)+,ql2l231COS0+(COS2)+.4庇rr322012l31COS0+(COS2)+4庇rr322010-111-112-131n=-0-P+-P(cos0)+2P(cos2一)+.4兀r0+10r1+11r2+1

3、2220藝n-Pn(COS0)4亦rn+10n=0證畢1-6（1）試證明電偶極子（二ql）在電場E中的轉(zhuǎn)矩M勢能W分別為:4W=-,-E2)指出偶極子在電場中的平衡位置、穩(wěn)態(tài)平衡位置。(3)當(dāng),和E的夾角從變到時，求電場力所做的功和偶極子的勢能變12化。(1) 轉(zhuǎn)矩M=r=rqEr(qE)=2qrE=qlxE=,xE勢能W=q申+q申=qEl二-,E+2)M=0,=0,兀平衡位置5#=0,W=,E能量最低，穩(wěn)態(tài)平衡二兀，W=,E能量最大，不穩(wěn)定電場力做功，是減少因此d為負(fù)A二JMd=fi,Esind二,E(coscos)212勢能變化=WW=,E(coscos)2112因此：保守力做功等于勢能

4、增量的負(fù)值1-7A=W兩個電偶極子,、,相距R，討論兩偶極子間的相互作用能。12解：先假定兩個偶極子均與R成角，其他情形與此類似W,二,E二,申112112偶極子,在,處的電勢為21申二124ksR30申=23(tR)R124兀8R34兀8R500,=13(R)(-R)W=V,12121124R3R50-cos203cos(-0)cos0R312一4R30i2(3cos20-cos20)4R3012(1+COS20)4sR301-8什么是電介質(zhì)的極化？介質(zhì)極化是由哪些因素決定的？7#1-9答案略什么叫退極化場？試用極化強度P來表示一個介電常數(shù)的為的平板介質(zhì)r電容器的退極化場，宏觀平均電場和極板

5、上的重點電荷電場。解：極化電荷形成的電場來削弱自由電荷建立的電場為退極化電場E=p/P0PE二E+E0P（一1）0rPPE二E產(chǎn)0（一1）P（一1）0r0r110在均勻電場E中放一個半徑為a的導(dǎo)體球，求球的感應(yīng)電荷在遠(yuǎn)場處的電0勢及球內(nèi)的電勢、電場。由此證明導(dǎo)體球的引入，對于遠(yuǎn)場來言相當(dāng)于引入了一個電偶極子。并求出導(dǎo)體球的極化率。解：導(dǎo)體球外,0rarn+1n)P(cos0)邊界條件為1）由于導(dǎo)體球為一個等勢體因此ra0#(2),rgErcos00#有A=-EA=0(n1)代入邊界條件可知：10nB=aqBn，0(n0,1)00-Ea+B/a=0因此B=Ea30110所以aq八Ea3申二oEr

6、cosB+ocosBr0r2如果導(dǎo)體球接地則q二0從而有0q=-ErcosO+ocos00r2所以極化電荷產(chǎn)生的電勢，電場為Ea3q二一Pr2E=-qPP8#E=EsinOPO0Qq2Ea3E二一=ocosOPrQrr3導(dǎo)體球的偶極矩為：卩二4kea3E00導(dǎo)體球的極化率為：a二4nsa301-11試證明在電場E中引入一偶極矩為卩的分子，則該分子具有的極化勢能00為W=卩E-1E2，其中為分子的極化率。0020解：假定分子固有偶極矩卩沿分子長軸取向0分子在電場E感生偶極矩卩的長軸和短軸方向上的分量分另U為0p=E=EcosO11110卩=E=EsinO其中E=E+E2222012p=p+p=E

7、+E121122p=pcosO+psinOE12=(cos2O+sin2O)E=(cos2O+)E120209分子的勢能為固有偶極矩勢能（-卩E）和感生偶極矩（-卩E）之和002E0W=-卩E-Ip.E卩0021-12HO分子可以看成是半徑為R的O2,離子與兩個質(zhì)子（H+）組成，如圖所2示，其中l(wèi)R，H+O2-H+間夾角為20,試證明分子偶極矩值為p=2elcosO（1-R3）l3解：分子的固有偶極矩為：p=2elcosO0由于O2-受到H+H+的作用，使之發(fā)生位移極化，使02-的正負(fù)電荷中心發(fā)生位4e2x4亦R30移為x原子核的庫侖吸引力F二-_Q4戀R302H+產(chǎn)生的電場力為：F二-4ee

8、曲由于F=F4亦120所以R3cos3O2102#此時的分子偶極矩為：p=2e(lcosOx)=2elcosO(1)l3感生偶極矩為p=dE由于E二2ecosO，d=4亦R3eeeeAKE12纟00所以一2eR3cosO12總的偶極矩為p=p+p0e1-13在無限大電介質(zhì)（e）中有均勻電場E，若在該介質(zhì)中有一半徑為a、介10電常數(shù)為E介質(zhì)球，求球內(nèi)外的電勢、電場及介質(zhì)球內(nèi)電偶極矩p。討論211介質(zhì)球帶來的影響，并將結(jié)果推廣到：(1)=1i2)=121)解：由題意可解得：a3,(于i2r3i22213”E+021)Ercose0rcos0E-,i-EEcose+21Ecose02+r30211r

9、Eie-Esine+_Esine02r30i23”iE20i2空腔球i,(一i2+21)Ercoser30卩4KiErcose0ia3E2022)12#(a3-i)EorcoseiiErcose2i0ii4殛a3E02i0i1-141)求沿軸向均勻極化的介質(zhì)棒中點的退極化場，已知細(xì)棒的截面積為S，長度為l,極化強度為P,如圖（a）所示。（2）無限大的電介質(zhì)平板，其極化強度為P,方向垂直于平板面。求板中點O處的退極化場。已知板厚為d,如圖（b）所示。（3）求均勻極化的電介質(zhì)球在球心的產(chǎn)生的退極化場。已知球半徑為r，極化強度為P，如圖（c）所示。4）從（1）、（2）、（3）的計算結(jié)果，可以給出什么

10、樣的結(jié)論（電介質(zhì)地退極化場的大小與電介質(zhì)的縱、橫線度的關(guān)系）？解（a）有題意可知：q二s=Ps重點處的場強為：E=qq=2ps4k8。(丄)24k8。(-)2加012由于存在l2s,因此E沁0P(b)由于=P所以：E=PP,&00(c)=Pcos0ds=r2sin0d0dqdqf=fds=Pr2cos0sin0d0ddEp=cos0sin0d0dq4k,r24k,00PdEfpz=dEfpcos0=cos20sin0d0d4k,0Epz=卜cos20sin0d02kdq=4k,oo3e00可見沿著極化方向，縱向尺度越大，橫向尺度越小，退極化電場越弱；反之，縱向尺度越小，橫向尺度越大，退極化電場

11、越強。1-15試證明，昂沙格有效電場也適用于非極性介質(zhì)，即昂沙格有效電場概括了洛倫茲有效電場。解：對于非極性電介質(zhì)來說有R0012(-1)E=gE+r卩e4a32+10r(由于，n2(-1)gE+0r,E32+1ee0r再由于n,Ep(1)Er-0ee0r所以：E二竺E+2(r1)2Ee2+13(2+1)rr這是昂沙格有效電場等于洛侖茲有效電場。證畢1-16為什么說克莫方程師表征介質(zhì)宏、微觀參數(shù)的關(guān)系式。由該方程可以看出，隨材料密度的提高，將如何變化。并給出克莫佯謬；即當(dāng)密度到r15#定值時g；密度再提高時V0。并論1正這在實際情況中使不可能的。解：有克-莫方程陽磐r0其中,是宏觀參數(shù)，n,為

12、電介質(zhì)微觀粒子極化性質(zhì)的微觀極化參數(shù);r00故稱克-莫方程為介質(zhì)宏微觀參數(shù)的關(guān)系式；由摩爾極化表征-1Mr-+2pr-1N,pr二0-+23Mr0N,p由此式可得，當(dāng)介質(zhì)密度升高到01，則有Tg3Mr0當(dāng)介質(zhì)密度升高到，賞兒則有r00對于電介質(zhì)來說顯然不可能為無窮大和為負(fù)值.r1-17已知CO在T=300K時，=1.0076,N二2.7x1025/m，3,n=201.000185，求其固有的偶極矩。0解：對于COT=300K時，=1.0076，n=1.000185,n=2.7x1025/m30光頻時Np1n克-莫萬程0-1-3M+230a0對于極性氣體來說，克-莫方程則為：異=加e+踣)r09

13、KT113KTz、29.4x10-302二0r，沁0（，n2）二0n+2+2nr0ra0所以：-5.425x10，30c.m-1.63D01-18在某一種偶極子氣體中，若每個偶極子的極化強度為IDebye，計算在室溫下使此氣體達到0.1%取向極化飽和值時所需要的電場。解：由題意可知二1D二3.33x10，30cmT二300K0k=1.38x10-23J/K=E再令=0.1%E3KTeE0匕3kt則有E二一二0.001x3KT/二3.7x106V/me2001-19(XO)HCCH(OX)這類分子由兩個理想基團“CHOX”通過一個碳碳單222鍵“CC”相連接。已知每個分子基團“一CHOX”的偶極

14、矩為2.50Debye2，相對中間碳鍵成45。角。在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下對該氣體實驗測量表明為1.01r光學(xué)折射率為1.0005，試確定兩個分子基團間的相對取向。173KT,解：卩2“=0（,一n2）由于n2=1.0010nr03x1.38x1023x300x8.85x1012卩20-36610-60C2m22.710-25卩=6.05x1030=1.82D0卩=2.5Dxcos45o=1.76D000由2%cos-co込=0.517所以0=117.7。1-20已知He原子（單原子氣體）的極化率為2.19x10-41Fm2，計算在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，其介電常數(shù)，及折射率n,并與實驗數(shù)據(jù),=1.000074,n=

15、rr1.000035相比較。解：對于非極性氣體來說有：rna,=1+or,0其中a=2.19x10-41，n=2.7x10250,=1+2.710252191041二1.000067r8.8510-12所以n=,=1.000033與實驗數(shù)據(jù)rn二1.000035相符合1-21試說明為什么TiO晶體具有較咼的2答案略1-22試證明對非極性氣體電介質(zhì)絲0dp務(wù)0式中p為氣體壓力，T為氣18#體的溫度。解：由題意可知：p二nKT0#pa3KT,0,1nar=0=,+23,r0#近似有1,空一r3KT0所以有當(dāng)T不變時把r對P求導(dǎo)可得:務(wù)-kOt0d當(dāng)P不變時把對T求導(dǎo)可得：rdTKT20一pa1-2

16、3介電常數(shù)為的電介質(zhì)充滿整個空間，且其中存在均勻電場E(見圖10(a)今在其中引入一個介電常數(shù)為的電介質(zhì)球，圖(b)(c)(d)2為三種情況，其中線條為電力線，討論三種情況下的介電常數(shù)與的關(guān)系1及其相互作關(guān)系。解：由題意可知：E1E+2&021b)E內(nèi)部電場大，球內(nèi)電場對外產(chǎn)生向外210的斥力，退極化場E與E方向一致;P0c)EE退極化電場E與E方向相反，削弱210P0了原電場；d)E很小，當(dāng)T8，E0相當(dāng)與金屬導(dǎo)體21r球，球體對電場產(chǎn)生屏蔽。124對于離子晶體，若兩個離子間的斥力取波恩函數(shù)時，試證明一對正、負(fù)離子的位移極化率為an-歸，其中Ro為兩離子間的距離，n19為波恩函數(shù)中的常數(shù)。r

17、n1答案略125列舉一些材料的極化類型以及在各種頻率下所能發(fā)生的極化形式。答案略2011什么是電介質(zhì)的極化？表征介質(zhì)極化的宏觀參數(shù)是什么？答：電介質(zhì)在電場作用下，在介質(zhì)內(nèi)部感應(yīng)出偶極矩、介質(zhì)表面出現(xiàn)束縛電荷的現(xiàn)象稱為電介質(zhì)的極化。其宏觀參數(shù)為介電常數(shù)。12什么叫退極化電場？如何用極化強度P表示一個相對介電常數(shù)為的r平行板介質(zhì)電容器的退極化電場、平均宏觀電場、電容器極板上充電電荷所產(chǎn)生的電場。答：在電場作用下平板電介質(zhì)電容器的介質(zhì)表面上的束縛電荷所產(chǎn)的、與外電場方向相反的電場，起削弱外電場的作用，所以稱為退極化電場。rrP退極化電場：E=-=-一d00P平均宏觀電場：E二-(1)0r充電電荷所產(chǎn)

18、生的電場：E=工二-=E-=E+-e000013氧離子的半徑為1.3210，10m，計算氧的電子位移極化率。提示：按公式a二4kr3,代入相應(yīng)的數(shù)據(jù)進行計算。014在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，氖的電子位移極化率為0.4310toF-m2。試求出氖的相對介電常數(shù)。解：氖的相對介電常數(shù)：103單位體積的離子數(shù)：N=6.0231023二2.73102522.4而&（&一1）,N0reN所以：8，1-1.0000678r8015試寫出洛倫茲有效電場表達式。適合洛倫茲有效電場時，電介質(zhì)的介電常數(shù)8和極化率有什么關(guān)系？其介電常數(shù)的溫度系數(shù)的關(guān)系式又如何表示。解：洛倫茲有效場：E=11E+Ee38118和的關(guān)系：，N8+

19、2380介電常數(shù)的溫度系數(shù)為：，-（8一1）（82）卩3L16若用E表示球內(nèi)極化粒子在球心所形成的電場，試表示洛倫茲有效電1場中E=0時的情況。182解：E=0時，洛倫茲的有效場可以表示為E，E1e317試述KM方程賴以成立的條件及其應(yīng)用范圍。答：克一莫方程賴以成立的條件：E，0其應(yīng)用的范圍：體心立方、面心立方、氯化鈉型以及金剛石結(jié)構(gòu)的晶體；非極性以及弱極性液體介質(zhì)。18有一介電常數(shù)為8的球狀介質(zhì)，放在均勻電場E中。假設(shè)介質(zhì)的引入不改變外電場的分布，試證：解；按照洛倫茲有效電場模型可以得到：在E，0時3所以E=E,2e19如何定義介電常數(shù)的溫度系數(shù)？寫出介電常數(shù)的溫度系數(shù)、電容量溫度系數(shù)的數(shù)學(xué)

20、表達式。答：溫度變化一度時，介電常數(shù)的相對變化率稱為介電常數(shù)的溫度系數(shù)。1d，a=，dT1dCa=C，dT（，1）（，+2）,L110列舉一些介質(zhì)材料的極化類型，以及舉出在給中不同的頻率下可能發(fā)生的極化形式。答：如高鋁瓷，其主要存在電子和離子的位移極化，而摻雜的金紅石和鈦酸鈣陶瓷卻除了含有電子和離子地位移極化外，還存在電子和離子的弛豫極化。在光頻區(qū)將會出現(xiàn)電子和離子的位移極化，在無線電頻率區(qū)可出現(xiàn)弛豫極化、偶極子的轉(zhuǎn)向極化和空間電荷極化。111什么是瞬間極化、緩慢式極化？它們所對應(yīng)的微觀機制各代表什么？答：極化完成的時間在光頻范圍內(nèi)的電子、離子的位移極化稱為瞬時極化。而在無線電頻率范圍的弛豫極

21、化、自發(fā)式極化都稱作緩慢式極化。電子、離子的位移極化的極化完成時間非常短，在0-1210-15s范圍內(nèi)，當(dāng)外電場在光頻范圍內(nèi)時，極化能跟的上外電場的變化，不會產(chǎn)生極化損耗。而弛豫極化的完成所需要的時間比較長，當(dāng)外電場的頻率比較高時，極化將跟不上外電場的頻率變化，產(chǎn)生極化滯后的現(xiàn)象，出現(xiàn)弛豫極化損耗。112設(shè)一原子半徑為R的球體，電子繞原子核均勻分布，在外電場E作用下，原子產(chǎn)生彈性位移極化，試求出其電子位移極化率。答案參考課本簡原子結(jié)構(gòu)模型中關(guān)于電子位移極化率的推導(dǎo)方法。113一平行板真空電容器，極板上的自由電荷密度為,現(xiàn)充以介電系數(shù)為8的介質(zhì)。若極板上的自由電荷面密度保持不變，則真空時：平行板

22、r電容器的場強E=，電位移D=，極化強度P;充以介質(zhì)時：平行板電容器的場強E=，電位移D=，極化強度P，極化電荷所產(chǎn)生的場強。解：E，,080D，P，00025#E，J880rE，EEji0J1D，P，(1)JJ8r(18)，r880r114為何要研究電介質(zhì)中的有效電場？有效電場指的是什么？它由哪幾部分組成？寫出具體的數(shù)學(xué)表達式。參考課本有效電場一節(jié)。115氯化鈉型離子晶體在電場作用下將發(fā)生電子、離子的位移極化。試解釋溫度對氯化鈉型離子晶體的介電常數(shù)的影響。解：溫度對介電常數(shù)的影響可以利用式：13T0N(e+ae對溫度求導(dǎo)可得：,1d2（1）（+2）p+（+2）2nq2dkdTL9k2dT0由

23、上式可以看出，由于電介質(zhì)密度的減少使得電子位移極化率以及離子位移極化率所貢獻的極化強度都減少，第一項為負(fù)值。但是溫度的升高又使得離子晶體的彈性聯(lián)系減弱，離子位移極化加強，也就是第二項為正值。然而第二項又與第一項相差不多。所以氯化鈉型離子晶晶體的介電常數(shù)是隨著溫度的升高爾增加，但增加的非常緩慢。116試用平板介質(zhì)電容器的模型（串、并聯(lián)形式），計算復(fù)合介質(zhì)的介電系數(shù)（包括雙組分、多組分）。26#解：串聯(lián)時：111+CCC1#s0sC=01ids02,dCd+d12#diy,d+d112d2yd+d212#可得1yy厶+212同理可得并聯(lián)時：117雙層介質(zhì)在直流電場的作用下，其每一層電場在電壓接通的

24、瞬間、穩(wěn)態(tài)、電壓斷開的情形下是如何分布的？作圖表示（注意、丫的大小;電場的方向）。答案略118平行板真空電容器，極板上的電荷面密度為c，1.77x10一6C/m2。現(xiàn)充以相對介電常數(shù)為，9的介質(zhì)，若極板上的自由電荷密度保持不變r，計算真空和介質(zhì)中的E、P、D給為多少？束縛電荷產(chǎn)生的場強為多少？解：真空時：cE，2.0x105V/m00D，c，E，1.77x106C/m0000P，00介質(zhì)中：E2.0x105E，2.2x104V/m90D，E，E，c，1.77x106C/mr0r0P，(1)E，1.57x106C/m20rEr，EE，1.78x105V/m0119一平行板介質(zhì)電容器，其板間距離d

25、，1cm,s，10cm2,介電系數(shù)=2，外界1.5V的恒壓電源。求電容器的電容量C；極板上的自由電荷q；束縛電荷q；極化強度P；總電矩卩；真空時的電場E以及有效電場0Ee。A解：c，-01.77pFdQ，cV，7.965x10-10CQr，cA，-(-1)EA，3.9825x10-10C0P=c=3.9825x10-7C/m2，Pv，3.9825x10-12CmVE，4.5x104V/m0d8+2E，E，6x104V/me3120邊長為10mm、厚度為1mm的方形平板介質(zhì)電容器，其電介質(zhì)的相對介電系數(shù)為2000，計算相應(yīng)的電容量。若電容器外接200V的電壓，計算：（1）電介質(zhì)中的電場；（2）每個極板上的總電量；（3）存儲在介質(zhì)電容器中的能量。答案略121通常可以給介質(zhì)施加的最大電場（不發(fā)生擊穿）為106V/cm左右，試分析在此情況下，室溫時可否使用朗日凡函數(shù)的近似式。答案略122求出雙層介質(zhì)中不發(fā)生空間電荷極化的條件。答案略123下面給出極性介質(zhì)的翁沙格有效電場表示式如下：E，上E+2“2（8-De28+138（28+1）0試證明：上式已經(jīng)包括了非極性介質(zhì)的洛倫茲有效電場的形式。答案略29