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1、第3章 中值定理與導數的應用 32 洛必達法則 習題解1用洛必達法則求下列極限：；【解】這是“”未定型商式極限，可以應用洛必達法則求解： - 應用洛必達法則。 - 代值計算；【解】這是“”未定型商式極限，可以應用洛必達法則求解： - 應用洛必達法則 - 對未定型商式再應用洛必達法則 - 套用極限公式 ；【解】這是“”未定型商式極限，可以應用洛必達法則求解： - 應用洛必達法則 - 對未定型商式再應用洛必達法則 - 代值計算；【解】這是“”未定型商式極限，可以應用洛必達法則求解： - 應用洛必達法則 - 整理繁分式 - 對未定型商式再應用洛必達法則 - 化簡復雜分式 - 對未定型商式再應用洛必達
2、法則 - 代值計算；【解】這是“”未定型商式極限，可以應用洛必達法則求解： - 應用洛必達法則 - 化簡繁分式 - 對未定型商式再應用洛必達法則 - 化簡繁分式；【解】這是“”未定型商式極限，可以應用洛必達法則求解： - 應用洛必達法則 - 化簡繁分式 - 對未定型商式再應用洛必達法則 - 代入計算；【解】這是“”未定型極限，應化為商式極限后應用洛必達法則求解： - 化為商式后，成為“”未定型商式極限 - 應用洛必達法則 - 化簡繁分式 - 代入計算；【解】這是“”未定型極限，應化為商式極限后應用洛必達法則求解： - 化為商式后，成為“”未定型商式極限 - 應用洛必達法則 - 化簡繁分式 -
3、代入計算；【解】這是“”未定型極限，應化為商式極限后應用洛必達法則求解： - 為通分化為商式作準備 - 成為“”未定型商式極限 - 應用洛必達法則 - 代入計算；【解】這是“”未定型極限，應化為商式極限后應用洛必達法則求解： - 通分化為商式，成為“”未定型 - 應用洛必達法則 - 化簡繁分式，成為“”未定型 - 應用洛必達法則 - 代入計算；【解】這是“”冪指函數未定型極限，應化為商式極限后應用洛必達法則求解：【解法一】應用對數法，令，則，于是， - 成為“”未定型 - 應用洛必達法則 - 化簡繁分式，成為“”未定型 - 應用洛必達法則 - 代入計算得到 ，亦即，從而有 ，亦即?！窘夥ǘ繎?/p>
4、用指數法，利用公式，得 - 應用洛必達法則 - 化簡繁分式，成為“”未定型 - 應用洛必達法則 - 代入計算；【解】這是“”冪指函數未定型極限，應化為商式極限后應用洛必達法則求解：【解法一】應用對數法，令，則，于是， - 成為“”未定型 - 應用洛必達法則 - 代入計算得到 ，亦即，于是得，亦即?！窘夥ǘ繎弥笖捣?，利用公式，得 - 成為“”未定型 - 應用洛必達法則 - 代入計算；【解法一】這是“”冪指函數未定型極限，可考慮套用公式求解：?！窘夥ǘ繎脤捣?，化為商式極限后應用洛必達法則求解：令，則，于是， - 成為“”未定型 - 應用洛必達法則 - 代入計算得到 ，亦即，于是得，亦即。
5、【解法三】應用指數法，利用公式，得 - 成為“”未定型 - 應用洛必達法則 - 代入計算【解法一】這是“”冪指函數未定型極限，可考慮套用公式求解：。【解法二】應用對數法，化為商式極限后應用洛必達法則求解：令，則，于是， - 成為“”未定型 - 應用洛必達法則 - 代入計算得到 ，亦即，于是得，亦即?！窘夥ㄈ繎弥笖捣ǎ霉?，得 - 成為“”未定型 - 應用洛必達法則 - 代入計算2驗證下列極限存在，但不能用洛必達法則求出：；【解】應用古典極限方法，將極限函數分解為：，其中，而當時，是無窮小，是有界函數，從而，使得，可知極限存在。但是，雖然極限屬于“”型未定極限，卻不能用洛必達法則求出結果。原因是應用洛必達法則后，分子中出現當時極限不存在的函數：極限不存在?！窘狻繎霉诺錁O限方法，將極限函數變形為：，當時，是無窮小，是有界函數，從而，可知極限存在。但是，雖然極限屬于“”型未定極限，卻不能用洛必達法則求出結果。原因是應用洛必達法則后，分子中出現當時極限不存在的函數：極限不存在。3設在處二階可導，且，試確定的值使在處可導，并求，其中。【解】題設在處二階可導，當然存在，于是由于得到，-要使在處可導，必須使在處連續(xù)，亦即使，而已知，即應有，于是由式知，有。這時，由于存在，知為“”未定型極限，應用洛必達法則，得，仍由于存在，知為“”未定型極限，再次應用洛必達法則，得 ，即得 。9
3.2 洛必達法則
