3.2 洛必達法則

第3章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 32 洛必達法則 習(xí)題解1用洛必達法則求下列極限：；【解】這是“”未定型商式極限，可以應(yīng)用洛必達法則求解： - 應(yīng)用洛必達法則。 - 代值計算；【解】這是“”未定型商式極限，可以應(yīng)用洛必達法則求解： - 應(yīng)用洛必達法則 - 對未定型商式再應(yīng)用洛必達法則 - 套用極限公式 ；【解】這是“”未定型商式極限，可以應(yīng)用洛必達法則求解： - 應(yīng)用洛必達法則 - 對未定型商式再應(yīng)用洛必達法則 - 代值計算；【解】這是“”未定型商式極限，可以應(yīng)用洛必達法則求解： - 應(yīng)用洛必達法則 - 整理繁分式 - 對未定型商式再應(yīng)用洛必達法則 - 化簡復(fù)雜分式 - 對未定型商式再應(yīng)用洛必達法則 - 代值計算；【解】這是“”未定型商式極限，可以應(yīng)用洛必達法則求解： - 應(yīng)用洛必達法則 - 化簡繁分式 - 對未定型商式再應(yīng)用洛必達法則 - 化簡繁分式；【解】這是“”未定型商式極限，可以應(yīng)用洛必達法則求解： - 應(yīng)用洛必達法則 - 化簡繁分式 - 對未定型商式再應(yīng)用洛必達法則 - 代入計算；【解】這是“”未定型極限，應(yīng)化為商式極限后應(yīng)用洛必達法則求解： - 化為商式后，成為“”未定型商式極限 - 應(yīng)用洛必達法則 - 化簡繁分式 - 代入計算；【解】這是“”未定型極限，應(yīng)化為商式極限后應(yīng)用洛必達法則求解： - 化為商式后，成為“”未定型商式極限 - 應(yīng)用洛必達法則 - 化簡繁分式 - 代入計算；【解】這是“”未定型極限，應(yīng)化為商式極限后應(yīng)用洛必達法則求解： - 為通分化為商式作準備 - 成為“”未定型商式極限 - 應(yīng)用洛必達法則 - 代入計算；【解】這是“”未定型極限，應(yīng)化為商式極限后應(yīng)用洛必達法則求解： - 通分化為商式，成為“”未定型 - 應(yīng)用洛必達法則 - 化簡繁分式，成為“”未定型 - 應(yīng)用洛必達法則 - 代入計算；【解】這是“”冪指函數(shù)未定型極限，應(yīng)化為商式極限后應(yīng)用洛必達法則求解：【解法一】應(yīng)用對數(shù)法，令，則，于是， - 成為“”未定型 - 應(yīng)用洛必達法則 - 化簡繁分式，成為“”未定型 - 應(yīng)用洛必達法則 - 代入計算得到 ，亦即，從而有 ，亦即?！窘夥ǘ繎?yīng)用指數(shù)法，利用公式，得 - 應(yīng)用洛必達法則 - 化簡繁分式，成為“”未定型 - 應(yīng)用洛必達法則 - 代入計算；【解】這是“”冪指函數(shù)未定型極限，應(yīng)化為商式極限后應(yīng)用洛必達法則求解：【解法一】應(yīng)用對數(shù)法，令，則，于是， - 成為“”未定型 - 應(yīng)用洛必達法則 - 代入計算得到 ，亦即，于是得，亦即?！窘夥ǘ繎?yīng)用指數(shù)法，利用公式，得 - 成為“”未定型 - 應(yīng)用洛必達法則 - 代入計算；【解法一】這是“”冪指函數(shù)未定型極限，可考慮套用公式求解：?！窘夥ǘ繎?yīng)用對數(shù)法，化為商式極限后應(yīng)用洛必達法則求解：令，則，于是， - 成為“”未定型 - 應(yīng)用洛必達法則 - 代入計算得到 ，亦即，于是得，亦即?！窘夥ㄈ繎?yīng)用指數(shù)法，利用公式，得 - 成為“”未定型 - 應(yīng)用洛必達法則 - 代入計算【解法一】這是“”冪指函數(shù)未定型極限，可考慮套用公式求解：?！窘夥ǘ繎?yīng)用對數(shù)法，化為商式極限后應(yīng)用洛必達法則求解：令，則，于是， - 成為“”未定型 - 應(yīng)用洛必達法則 - 代入計算得到 ，亦即，于是得，亦即?！窘夥ㄈ繎?yīng)用指數(shù)法，利用公式，得 - 成為“”未定型 - 應(yīng)用洛必達法則 - 代入計算2驗證下列極限存在，但不能用洛必達法則求出：；【解】應(yīng)用古典極限方法，將極限函數(shù)分解為：，其中，而當(dāng)時，是無窮小，是有界函數(shù)，從而，使得，可知極限存在。但是，雖然極限屬于“”型未定極限，卻不能用洛必達法則求出結(jié)果。原因是應(yīng)用洛必達法則后，分子中出現(xiàn)當(dāng)時極限不存在的函數(shù)：極限不存在?！窘狻繎?yīng)用古典極限方法，將極限函數(shù)變形為：，當(dāng)時，是無窮小，是有界函數(shù)，從而，可知極限存在。但是，雖然極限屬于“”型未定極限，卻不能用洛必達法則求出結(jié)果。原因是應(yīng)用洛必達法則后，分子中出現(xiàn)當(dāng)時極限不存在的函數(shù)：極限不存在。3設(shè)在處二階可導(dǎo)，且，試確定的值使在處可導(dǎo)，并求，其中。【解】題設(shè)在處二階可導(dǎo)，當(dāng)然存在，于是由于得到，-要使在處可導(dǎo)，必須使在處連續(xù)，亦即使，而已知，即應(yīng)有，于是由式知，有。這時，由于存在，知為“”未定型極限，應(yīng)用洛必達法則，得，仍由于存在，知為“”未定型極限，再次應(yīng)用洛必達法則，得 ，即得 。9