（通用版）2020版高考數學復習 專題一 高頻客觀命題點 1.4 平面向量練習 文

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1、1.4平面向量高考命題規(guī)律1.高考必考考題.選擇題或填空題,5分,中低檔難度,主要考查向量的坐標運算.2.全國高考有4種命題角度,分布如下表.2020年高考必備2015年2016年2017年2018年2019年卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷命題角度1平面向量的線性運算、平面向量基本定理7命題角度2平面向量的坐標運算2413133131313313命題角度3計算平面向量的數量積4命題角度4平面向量數量積的應用48命題角度1平面向量的線性運算、平面向量基本定理高考真題體驗對方向1.(2018全國7)在ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點,則EB=()A.34AB-14ACB.14AB-34

2、ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC答案A解析如圖,EB=-BE=-12(BA+BD)=12AB-14BC=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC.2.(2014全國6)設D,E,F分別為ABC的三邊BC,CA,AB的中點,則EB+FC=()A.ADB.12ADC.BCD.12BC答案A解析由于D,E,F分別是BC,CA,AB的中點,所以EB+FC=-12(BA+BC)-12(CA+CB)=-12(BA+CA)=12(AB+AC)=122AD=AD,故選A.3.(2014福建10)設M為平行四邊形ABCD對角線的交點,O為平行四邊形ABCD所在平面內任意一點,則OA+OB

3、+OC+OD等于()A.OMB.2OMC.3OMD.4OM答案D解析因為M是AC和BD的中點,由平行四邊形法則,得OA+OC=2OM,OB+OD=2OM,所以OA+OB+OC+OD=4OM.故選D.典題演練提能刷高分1.已知兩個非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b與n=2a+b共線,則實數的值為()A.5B.3C.2.5D.2答案C解析向量m=4a+5b與n=2a+b共線,存在實數t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+b),又向量a,b互相垂直,故a,b不共線.2t=4,t=5,解得t=2,=52.故選C.2.(2019山東實驗中學等四校高三聯(lián)考)如圖RtABC中,ABC=2,AC

4、=2AB,BAC平分線交ABC的外接圓于點D,設AB=a,AC=b,則向量AD=()A.a+bB.12a+bC.a+12bD.a+23b答案C解析設圓的半徑為r,在RtABC中,ABC=2,AC=2AB,所以BAC=3,ACB=6,BAC平分線交ABC的外接圓于點D,所以ACB=BAD=CAD=6,則根據圓的性質有BD=CD=AB.又因為在RtABC中,AB=12AC=r=OD,所以四邊形ABDO為菱形,所以AD=AB+AO=a+12b.故選C.3.(2019寧夏平羅中學高三期中)已知數列an是正項等差數列,在ABC中,BD=tBC(tR),若AD=a3AB+a5AC,則a3a5的最大值為()

5、A.1B.12C.14D.18答案C解析BD=tBC,故B,C,D三點共線.AD=a3AB+a5AC,a3+a5=1,數列an是正項等差數列,故a30,a50,1=a3+a52a3a5,解得a3a514,故選C.4.(2019山東德州高三模擬)設向量a,b不平行,向量a+14b與-a+b平行,則實數=.答案-4解析由a,b不平行,知-a+b0,又a+14b與-a+b平行,故存在實數,使a+14b=(-a+b).根據平面向量基本定理得,-=1,14=,=-4.5.如圖,有5個全等的小正方形,BD=xAE+yAF,則x+y的值是.答案1解析由平面向量的運算可知BD=AD-AB,而AD=2AE,AB

6、=AH+HB=2AF-AE,所以BD=AD-AB=2AE-(2AF-AE)=3AE-2AF,注意到AE,AF不共線,且BD=xAE+yAF,即xAE+yAF=3AE-2AF,所以x=3,y=-2,即x+y=1.6.在平面向量中有如下定理:設點O,P,Q,R為同一平面內的點,則P、Q、R三點共線的充要條件是:存在實數t,使OP=(1-t)OQ+tOR.試利用該定理解答下列問題:如圖,在ABC中,點E為AB邊的中點,點F在AC邊上,且CF=2FA,BF交CE于點M,設AM=xAE+yAF,則x+y=.答案75解析B,M,F三點共線,存在實數t,使得AM=(1-t)AB+tAF,又AB=2AE,AF

7、=13AC,AM=2(1-t)AE+13tAC,又E,M,C三點共線,2(1-t)+13t=1,解得t=35.AM=2(1-t)AE+tAF=45AE+35AF,x=45,y=35,x+y=75.命題角度2平面向量的坐標運算高考真題體驗對方向1.(2019全國3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=()A.2B.2C.52D.50答案A解析由題意,得a-b=(-1,1),則|a-b|=(-1)2+12=2,故選A.2.(2019全國13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則cos=.答案-210解析cos=ab|a|b|=2(-8)+2622+22(-8)2+62=-

8、42210=-210.3.(2019北京9)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,則m=.答案8解析a=(-4,3),b=(6,m),ab,ab=0,即-46+3m=0,即m=8.4.(2018全國13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),則=.答案12解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,),由c(2a+b),得4-2=0,得=12.5.(2017全國13)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,則m=.答案2解析ab,ab=(-2,3)(3,m)=-23+3m=0,解得m=2.典題演練提能刷高分1.已知向

9、量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)(2a+tb),則t=()A.0B.12C.-2D.-3答案C解析因為a-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t),又因為(a-b)(2a+tb),所以2(2+2t)=-(2-t),t=-2,故選C.2.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b與3a-b平行,則實數x的值是.答案2解析a=(1,1),b=(2,x),a+b與3a-b平行,a+b=(3,x+1),3a-b=(1,3-x),所以3(3-x)-(x+1)=0,解得x=2.3.已知向量a=(2,-1),b=(6,x),且ab,則|a-b|=.答案25解析由題得2x+6=

10、0,即x=-3.則a-b=(-4,2),|a-b|=42+(-2)2=25.4.已知a=(-1,1),b=(2,-1),c=(1,2),若a=b+c,則=.答案-3解析由a=b+c可知(-1,1)=(2,-1)+(1,2)=(2+,-+2),2+=-1,-+2=1,解得=-35,=15,=-3.5.向量BA=(1,2),CABA,且|CA|=25,則BC的坐標為.答案(3,6)或(-1,-2)解析CABA,CA=tBA=(t,2t).又|CA|=25,t2+4t2=5t2=20,解得t=2.當t=2時,BC=BA+AC=(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2);當t=-2時,BC=BA+AC

11、=(1,2)+(2,4)=(3,6).命題角度3計算平面向量的數量積高考真題體驗對方向1.(2018全國4)已知向量a,b滿足|a|=1,ab=-1,則a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案B解析a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.2.(2016天津7)已知ABC是邊長為1的等邊三角形,點D,E分別是邊AB,BC的中點,連接DE并延長到點F,使得DE=2EF,則AFBC的值為()A.-58B.18C.14D.118答案B解析方法1(基向量法):如圖所示,選取AB,AC為基底,則AF=AB+BE+EF=AB+12BC+12DE=AB+12(AC-AB)+1212AC=12A

12、B+34AC,BC=AC-AB.故AFBC=12AB+34AC(AC-AB)=34AC2-14ACAB-12AB2=34-141112-12=18.方法2(坐標法):建立如圖所示的平面直角坐標系,則A0,32,B-12,0,C12,0,F18,-38,于是AF=18,-583,BC=(1,0),AFBC=18.3.(2017北京12)已知點P在圓x2+y2=1上,點A的坐標為(-2,0),O為原點,則AOAP的最大值為.答案6解析方法1:設P(cos,sin),R,則AO=(2,0),AP=(cos+2,sin),AOAP=2cos+4.當=2k,kZ時,2cos+4取得最大值,最大值為6.故

13、AOAP的最大值為6.方法2:設P(x,y),x2+y2=1,-1x1,AO=(2,0),AP=(x+2,y),AOAP=2x+4,故AOAP的最大值為6.4.(2017天津14)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2,若BD=2DC,AE=AC-AB(R),且ADAE=-4,則的值為.答案311解析BD=2DC,AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=23AC+13AB.又AE=AC-AB,A=60,AB=3,AC=2,ADAE=-4.ABAC=3212=3,23AC+13AB(AC-AB)=-4,即23AC2-13AB2+3-23ABAC=-4,234-139+3-2

14、33=-4,即113-5=-4,解得=311.典題演練提能刷高分1.點B是以線段AC為直徑的圓上的一點,其中|AB|=2,則ACAB=()A.1B.2C.3D.4答案D解析由圓的性質知ABC=90,所以cosBAC=BAAC=|BA|AC|,所以ACAB=|AC|AB|cosBAC=|AC|AB|AB|AC|=|AB|2=4,故選D.2.在ABC中,已知|AB+AC|=|AB-AC|,AB=1,AC=3,M,N分別為BC的三等分點,則AMAN=()A.109B.209C.89D.83答案B解析|AB+AC|=|AB-AC|,BAC=90.又M,N分別為BC的三等分點,AMAN=AB+13BCA

15、C+13CB=ABAC+13ABCB+13BCAC+19BCCB=0+13110110+13103310-191010=13+3-109=209.故選B.3.(2019山東臨沂高三三模)在ABC中,|AB+AC|=|AB-AC|,AB=2,AC=1,E,F為AB的三等分點,則CECF=()A.89B.109C.179D.259答案C解析因為|AB+AC|=|AB-AC|,所以|AB+AC|2=|AB-AC|2,整理得ABAC=0.因為AB=2,AC=1,所以AB2=4,AC2=1,又因為E,F為AB的三等分點,所以CECF=(CA+AE)(CA+AF)=CA+13ABCA+23AB=CA2+2

16、9AB2+CAAB=1+294+0=179,故選C.4.(2019河北棗強中學高三一模)已知ABC中,|BC|=2,BABC=-2.點P為BC邊上的動點,則PC(PA+PB+PC)的最小值為()A.2B.-34C.-2D.-2512答案D解析以BC的中點為坐標原點,建立如圖的直角坐標系.可得B(-1,0),C(1,0),設P(a,0),A(x,y),由BABC=-2,可得(x+1,y)(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,y0,則PC(PA+PB+PC)=(1-a,0)(x-a-1-a+1-a,y+0+0)=(1-a)(x-3a)=(1-a)(-2-3a)=3a2-a-2=3a-162-25

17、12,當a=16時,PC(PA+PB+PC)的最小值為-2512.故選D.5.如圖,在正方形ABCD中,AB=2,點E為BC的中點,點F為CD的中點,則AEBF的值是.答案0解析由題得AEBF=AB+12BCBC-12AB=ABBC+12BC2-12AB2-14ABBC=0+2-2-0=0,所以AEBF=0,故填0.6.(2019福建廈門高三質檢)在ABC中,AB=4,AC=2,A=3,動點P在以點A為圓心,半徑為1的圓上,則PBPC的最小值為.答案5-27解析如圖,以點A為原點,AB邊所在直線為x軸建立平面直角坐標系.則A(0,0),B(4,0),C(1,3),設P(x,y),則PB=(4-

18、x,-y),PC=(1-x,3-y),PBPC=(4-x)(1-x)-y(3-y)=x2-5x+y2-3y+4=(x-52)2+(y-32)2-3,其中(x-52)2+(y-32)2表示圓A上的點P與點M52,32之間的距離|PM|的平方.由幾何圖形可得|PM|min=|AM|-1=522+322-1=7-1,(PBPC)min=(7-1)2-3=5-27.故答案為5-27.命題角度4平面向量數量積的應用高考真題體驗對方向1.(2019全國8)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)b,則a與b的夾角為()A.6B.3C.23D.56答案B解析因為(a-b)b,所以(a-b)b=a

19、b-b2=0,所以ab=b2.設a與b的夾角為,則cos=ab|a|b|=|b|22|b|2=12,所以a與b的夾角為3,故選B.2.(2014全國4)設向量a,b滿足|a+b|=10,|a-b|=6,則ab=()A.1B.2C.3D.5答案A解析|a+b|=10,(a+b)2=10.|a|2+|b|2+2ab=10,|a-b|=6,(a-b)2=6,|a|2+|b|2-2ab=6,由-得ab=1,故選A.典題演練提能刷高分1.(2019黑龍江哈爾濱第三中學高三二模)向量a=(2,t),b=(-1,3),若a,b的夾角為鈍角,則t的取值范圍是()A.t23C.t23且t-6D.t-6答案C解析

20、若a,b的夾角為鈍角,則ab0且不反向共線,ab=-2+3t0,得t23.向量a=(2,t),b=(-1,3)共線時,23=-t,得t=-6,此時a=-2b.所以t23且t-6.故選C.2.已知在ABC中,A=120,且AB=3,AC=4,若AP=AB+AC,且APBC,則實數的值為()A.2215B.103C.6D.127答案A解析因為APBC,所以APBC=AB+ACAC-AB=-AB2+AC2+(-1)ACAB=0,因此-32+42+(-1)34cos120=0,所以=2215.3.在ABC中,若AB2=ABAC+BABC+CACB,則ABC是()A.等邊三角形B.銳角三角形C.鈍角三角

21、形D.直角三角形答案D解析在ABC中,AB2=ABAC+BABC+CACB,AB2=ABAC-ABBC+CACB=AB(AC-BC)+CACB,AB2=AB2+CACB,CACB=0,C=90,ABC為直角三角形,故選D.4.(2019北京清華大學附中高三三模)已知向量a=(1,2),b=(x,1),c=(1,3),若(a+b)c,則x=.答案-10解析因為a=(1,2),b=(x,1),c=(1,3),所以a+b=(x+1,3).(a+b)c,(a+b)c=x+1+9=0.x=-10.故答案為-10.5.已知向量a,b滿足|b|=5,|2a+b|=53,|a-b|=52,則|a|=.答案563解析由已知有4a2+4ab+b2=75,a2-2ab+b2=50,將b2=|b|2=25代入方程組,解得|a|=563.6.(2019安徽高三聯(lián)考)在四邊形ABCD中,AD=BC,AB=(2,4),BD=(-3,-5),則AC在AB上的投影為.答案755解析由AD=BC,得四邊形ABCD是平行四邊形,且AD=AB+BD=(2,4)+(-3,-5)=(-1,-1),則AC=AB+AD=(2,4)+(-1,-1)=(1,3),AC在AB上的投影為|AC|cos=ABAC|AB|=1425=755.17