（課標專用）天津市2020高考數學二輪復習 專題能力訓練10 等差數列與等比數列

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1、專題能力訓練10等差數列與等比數列專題能力訓練第26頁一、能力突破訓練1.在等差數列an中,a4+a10+a16=30,則a18-2a14的值為()A.20B.-20C.10D.-10答案:D解析:因為a4+a10+a16=30,所以3a10=30,即a10=10,所以a18-2a14=-a10=-10.故選D.2.在各項均為正數的等比數列an中,若log2(a2a3a5a7a8)=5,則a1a9=()A.4B.5C.2D.25答案:A解析:由題意得log2(a2a3a5a7a8)=log2a55=5log2a5=5,所以a5=2.所以a1a9=a52=4.故選A.3.設an是等比數列,Sn是

2、an的前n項和.對任意正整數n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,則S101的值為()A.2B.200C.-2D.0答案:A解析:設公比為q,an+2an+1+an+2=0,a1+2a2+a3=0,a1+2a1q+a1q2=0,q2+2q+1=0,q=-1.又a1=2,S101=a1(1-q101)1-q=21-(-1)1011+1=2.4.已知an是等差數列,公差d不為零,前n項和是Sn,若a3,a4,a8成等比數列,則()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40,dS40D.a1d0答案:B解析:設an的首項為a1,公差為d,則a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1

3、+7d.a3,a4,a8成等比數列,(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.d0,a1d=-53d20,且a1=-53d.dS4=4d(a1+a4)2=2d(2a1+3d)=-23d20,a80,所以a3a8a3+a822=822=16,當且僅當a3=a8=4時取等號.7.設等比數列an滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2an的最大值為.答案:64解析:由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,兩式相除得a1+a3q(a1+a3)=105,解得q=12,a1=8,所以a1a2an=8n121+2+(n-1)=2-12n2+7n2,拋物線

4、f(n)=-12n2+72n的對稱軸為直線n=-722-12=3.5,又nN*,所以當n=3或4時,a1a2an取最大值為2-1232+732=26=64.8.設x,y,z是實數,若9x,12y,15z成等比數列,且1x,1y,1z成等差數列,則xz+zx=.答案:3415解析:由題意知(12y)2=9x15z,2y=1x+1z,解得xz=122915y2=1615y2,x+z=3215y,從而xz+zx=x2+z2xz=(x+z)2-2xzxz=(x+z)2xz-2=32152y21615y2-2=3415.9.已知Sn為數列an的前n項和,且a2+S2=31,an+1=3an-2n(nN*

5、).(1)求證:an-2n為等比數列;(2)求數列an的前n項和Sn.(1)證明由an+1=3an-2n可得an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-32n=3(an-2n).又a2=3a1-2,則S2=a1+a2=4a1-2,得a2+S2=7a1-4=31,得a1=5,則a1-21=30.故an-2n為等比數列.(2)解由(1)可知an-2n=3n-1(a1-2)=3n,an=2n+3n,Sn=2(1-2n)1-2+3(1-3n)1-3=2n+1+3n+12-72.10.記Sn為等差數列an的前n項和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通項公式;(2)求Sn,并求Sn的最

6、小值.解:(1)設an的公差為d,由題意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通項公式為an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以當n=4時,Sn取得最小值,最小值為-16.11.已知數列an是等比數列.設a2=2,a5=16.(1)若a1+a2+a2n=t(a12+a22+an2),nN*,求實數t的值;(2)若在1a1與1a4之間插入k個數b1,b2,bk,使得1a1,b1,b2,bk,1a4,1a5成等差數列,求k的值.解:設等比數列an的公比為q,由a2=2,a5=16,得q=2,a1=1.(1)a1+a2+a2n=t(a12+a22+

7、an2),a1(1-q2n)1-q=ta12(1-q2n)1-q2,即1-22n1-2=t1-22n1-4對nN*都成立,t=3.(2)1a1=1,1a4=18,1a5=116,且1a1,b1,b2,bk,1a4,1a5成等差數列,公差d=1a5-1a4=-116,且1a4-1a1=(k+1)d,即18-1=(k+1)-116,解得k=13.二、思維提升訓練12.幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數學的興趣,他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案已知數列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一

8、項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數N:N100且該數列的前N項和為2的整數冪.那么該款軟件的激活碼是()A.440B.330C.220D.110答案:A解析:設數列的首項為第1組,接下來兩項為第2組,再接下來三項為第3組,以此類推,設第n組的項數為n,則前n組的項數和為n(1+n)2.第n組的和為1-2n1-2=2n-1,前n組總共的和為2(1-2n)1-2-n=2n+1-2-n.由題意,N100,令n(1+n)2100,得n14且nN*,即N出現在第13組之后.若要使最小整數N滿足:N100且前N項和為2的整數冪,則SN-

9、Sn(1+n)2應與-2-n互為相反數,即2k-1=2+n(kN*,n14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=29(1+29)2+5=440,故選A.13.設等比數列an的前n項和為Sn,若8a2+a5=0,則下列式子中數值不能確定的是()A.a5a3B.S5S3C.an+1anD.Sn+1Sn答案:D解析:等比數列an中,8a2+a5=0,a5=-8a2,q=-2,a5a3=4,an+1an=q=-2,S5S3=a11-(-2)51+2a11-(-2)31+2=113,Sn+1Sn不能確定.14.若存在等比數列an,使得a1(a2+a3)=6a1-9,則公比q的取值

10、范圍為.答案:-1-52,00,-1+52解析:因為a2+a3=a1(q+q2),所以a12(q+q2)-6a1+9=0.當q+q2=0時,易知q=-1滿足題意,但q0;當q+q20時,=36-36(q+q2)0,解得-1-52q-1+52,綜上,q-1-52,00,-1+52.15.設Sn為等差數列an的前n項和,a2+a3=8,S9=81.(1)求an的通項公式;(2)若S3,a14,Sm成等比數列,求S2m.解:(1)S9=9a5=9(a1+4d)=81,a2+a3=2a1+3d=8,a1=1,d=2,故an=1+(n-1)2=2n-1.(2)由(1)知,Sn=n(1+2n-1)2=n2

11、.S3,a14,Sm成等比數列,S3Sm=a142,即9m2=272,解得m=9,故S2m=182=324.16.等比數列an的各項均為正數,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6.(1)求數列an的通項公式;(2)設bn=log3a1+log3a2+log3an,求數列1bn的前n項和.解:(1)設數列an的公比為q.由a32=9a2a6得a32=9a42,所以q2=19.由條件可知q0,故q=13.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=13.故數列an的通項公式為an=13n.(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-n(n+1)2.故1b

12、n=-2n(n+1)=-21n-1n+1,1b1+1b2+1bn=-21-12+12-13+(1n-1n+1)=-2nn+1.所以數列1bn的前n項和為-2nn+1.17.若數列an是公差為正數的等差數列,且對任意nN*有anSn=2n3-n2.(1)求數列an的通項公式.(2)是否存在數列bn,使得數列anbn的前n項和為An=5+(2n-3)2n-1(nN*)?若存在,求出數列bn的通項公式及其前n項和Tn;若不存在,請說明理由.解:(1)設等差數列an的公差為d,則d0,an=dn+(a1-d),Sn=12dn2+a1-12dn.對任意nN*,恒有anSn=2n3-n2,則dn+(a1-

13、d)12dn2+a1-12dn=2n3-n2,即dn+(a1-d)12dn+a1-12d=2n2-n.12d2=2,12d(a1-d)+da1-12d=-1,(a1-d)a1-12d=0.d0,a1=1,d=2,an=2n-1.(2)數列anbn的前n項和為An=5+(2n-3)2n-1(nN*),當n=1時,a1b1=A1=4,b1=4,當n2時,anbn=An-An-1=5+(2n-3)2n-1-5+(2n-5)2n-2=(2n-1)2n-2.bn=2n-2.假設存在數列bn滿足題設,且數列bn的通項公式bn=4,n=1,2n-2,n2,T1=4,當n2時,Tn=4+1-2n-11-2=2n-1+3,當n=1時也適合,數列bn的前n項和為Tn=2n-1+3.7