（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學二輪復習 理科附加題 第3講 計數(shù)原理與二項式定理練習

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1、第3講 計數(shù)原理與二項式定理1記n的展開式中第m項的系數(shù)為bm.(1)求bm的表達式；(2)若n6，求展開式中的常數(shù)項；(3)若b32b4，求n.解：(1)n的展開式中第m項為C(2x)nm1m12n1mCxn22m，所以bm2n1mC.(2)當n6時，n的展開式的通項為Tr1C(2x)6rr26rCx62r.依題意，62r0，得r3，故展開式中的常數(shù)項為T423C160.(3)由(1)及已知b32b4，得2n2C22n3C，從而CC，即n5.2已知數(shù)列an的通項公式為ann1.等式(x22x2)10b0b1(x1)b2(x1)2b20(x1)20，其中bi(i0,1,2，20)為實常數(shù)(1)

2、求2n的值；(2)求nb2n的值解：法一：(1)令x1，得b01，令x0，得b0b1b2b202101 024，令x2，得b0b1b2b3b19b202101 024，所以2nb2b4b6b201 023.(2)對等式兩邊求導，得20(x1)(x22x2)9b12b2(x1)3b3(x1)220b20(x1)19，令x0，得b12b220b20202910 240，令x2，得b12b23b34b419b1920b20202910 240，所以b2n(2b24b46b620b20)5 120.所以nb2n(n1)b2nb2n2n5 1201 0236 143.法二：由二項式定理易知(x22x2)

3、101(x1)210CC(x1)2C(x1)4C(x1)20b0b1(x1)b2(x1)2b20(x1)20，比較可知b2nC(n1,2，10)(1)2nCCC21011 023.(2)因為ann1, 所以nb2n(n1)CC，設TC0C1C2C10C，T也可以寫成TC0C10101C9102C81010C，相加得2T10210，即T5210，所以nb2nC521021016 143.3(1)閱讀以下案例，利用此案例的想法化簡CCCCCCCC.【案例】考察恒等式(1x)5(1x)2(x1)3左右兩邊x2的系數(shù)因為右邊(1x)2(x1)3(CCxCx2)(Cx3Cx2CxC)，所以右邊x2的系數(shù)

4、為CCCCCC，而左邊x2的系數(shù)為C，所以CCCCCCC.(2)求證：(r1)2(C)2n2C(n1)C.解：(1)考察恒等式(1x)7(1x)3(x1)4左右兩邊x3的系數(shù)因為右邊(1x)3(x1)4(CCxCx2Cx3)(Cx4Cx3Cx2CxC)，所以右邊x3的系數(shù)為CCCCCCCC，而左邊x3的系數(shù)為C，所以CCCCCCCCC.(2)證明：由rCrnnC，可得(r1)2(C)2(rC)2r(C)2(C)2n2(C)22nC(C)2.考察恒等式(1x)2n(1x)n(x1)n左右兩邊xn的系數(shù)因為右邊(1x)n(x1)n(CCxCxn)(CxnCxn1C)，所以右邊xn的系數(shù)為CCCCC

5、C(C)2，而左邊的xn的系數(shù)為C，所以(C)2C.同理可求得(C)2C.考察恒等式(1x)2n1(1x)n1(x1)n左右兩邊xn1的系數(shù)因為右邊(1x)n1(x1)n(CCxCxn1)(CxnCxn1C)，所以右邊xn1的系數(shù)為CCCCCCC，而左邊的xn1的系數(shù)為C，所以CC，所以(r1)2(C)2n2Cn2C2nCCn2C2nCCn(CC)Cn(CC)CnCC(n1)C.4(2019蘇北四市調(diào)研)在楊輝三角形中，從第3行開始，除1以外，其他每一個數(shù)值是它上面的兩個數(shù)值之和，這個三角形數(shù)陣開頭幾行如圖所示(1)在楊輝三角形中是否存在某一行，且該行中三個相鄰的數(shù)之比為345？若存在，試求出

6、是第幾行；若不存在，請說明理由；(2)已知n，r為正整數(shù)，且nr3.求證：任何四個相鄰的組合數(shù)C，C，C，C不能構成等差數(shù)列解：(1)楊輝三角形的第n行由二項式系數(shù)C，k0,1,2，n組成如果第n行中有，那么3n7k3,4n9k5，解得k27，n62.即第62行有三個相鄰的數(shù)C，C，C的比為345.(2)證明：若有n，r(nr3)，使得C，C，C，C成等差數(shù)列，則2CCC，2CCC，即，.有，化簡整理得，n2(4r5)n4r(r2)20，n2(4r9)n4(r1)(r3)20.兩式相減得，n2r3，于是C，C，C，C成等差數(shù)列而由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知CCCC，這與等差數(shù)列的性質(zhì)矛盾，從而要證明

7、的結論成立5已知Anx0|xk12k222kn2n，其中nN*，n2，ki1,1(i1，2，n)，記集合An的所有元素之和為Sn.(1)求S2，S3的值；(2)求Sn.解：(1)當n2時，A2x0|xk12k222x0|x2k14k22,6，所以S2268.當n3時，A3x0|xk12k222k323x0|x2k14k28k32,6,10,14所以S326101432.(2)若kn1，且k1k2kn11，n2，nN*，則x2222n12n2n20，此時xAn.所以kn必然等于1，且當k1k2kn11，n2，nN*時，x2222n12n2n20，此時xAn.所以當kn1，k1，k2，kn11,1，n2，nN*時，都有xAn.根據(jù)乘法原理知，使得ki1(i1,2,3，n1，n2，nN*)的x共有2n2個，使得ki1(i1,2,3，n1，n2，nN*)的x也共有2n2個，所以Sn中的所有ki2i(i1,2,3，n1，n2，nN*)項的和為0，又因為使得kn1的x共有2n1個，所以Sn2n12n22n1.- 6 -