2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課下層級(jí)訓(xùn)練48 拋物線(含解析)文 新人教A版

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1、課下層級(jí)訓(xùn)練(四十八)拋物線A級(jí)基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練1點(diǎn)M(5,3)到拋物線yax2(a0)的準(zhǔn)線的距離為6,那么拋物線的方程是()Ay12x2By12x2或y36x2Cy36x2Dyx2或yx2D分兩類a0,a0),若直線y2x被拋物線所截弦長(zhǎng)為4,則拋物線C的方程為()Ax28yBx24yCx22yDx2yC由得或即兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(4p,8p),則4,得p1(舍去負(fù)值),故拋物線C的方程為x22y.5(2018山東濰坊二模)直線yk(x2)(k0)與拋物線C:y28x交于A,B兩點(diǎn),F(xiàn)為C的焦點(diǎn),若sin ABF2sin BAF,則k的值是()ABC1DB分別過(guò)A,B項(xiàng)拋物線的準(zhǔn)線作垂線

2、,垂足分別為M,N,則AFAM,BFBN. 設(shè)直線y(x2)(k0)與x軸交于點(diǎn)P,則P(2,0)拋物線的方程為y28x,拋物線的準(zhǔn)線方程為x2,即點(diǎn)P在準(zhǔn)線上sin ABF2sin BAF,根據(jù)正弦定理可得AF2BF,AM2BN,即B為PA的中點(diǎn)聯(lián)立方程組消去x可得y2160設(shè)A,B,則y1y216B為PA的中點(diǎn),y12y2,即B(1,2)P(2,0),直線AB的斜率為.6直線l過(guò)拋物線x22py(p0)的焦點(diǎn),且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若線段AB的長(zhǎng)是6,AB的中點(diǎn)到x軸的距離是1,則此拋物線方程是_x28y設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|y1y2p2p6,p4.即拋物線方

3、程為x28y.7(2018四川南充三模)已知斜率為2的直線l過(guò)拋物線y2ax的焦點(diǎn)F,且與y軸相交于點(diǎn)A,若OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,則a_8焦點(diǎn)坐標(biāo),|OF|,直線的點(diǎn)斜式方程y2在y軸的截距是,所以SOAF4,解得a264,a0,a8,y28x,故答案為8.8(2018全國(guó)卷)已知點(diǎn)M(1,1)和拋物線C:y24x,過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn)若AMB90,則k_2方法一設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則yy4(x1x2),k設(shè)AB中點(diǎn)M(x0,y0),拋物線的焦點(diǎn)為F,分別過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線x1的垂線,垂足為A,B,則|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA

4、|BB|)M(x0,y0)為AB中點(diǎn),M為AB的中點(diǎn),MM平行于x軸,y1y22,k2方法二由題意知,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),設(shè)直線方程為yk(x1),直線方程與y24x聯(lián)立,消去y,得k2x2(2k24)xk20設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x21,x1x2由M(1,1),得(1x1,1y1),(1x2,1y2)由AMB90,得0,(x11)(x21)(y11)(y21)0,x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10又y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1,y1y2k(x1x22),11k2k10,整理得10,解得k2.9已知拋物線y22px(p

5、0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4,且位于x軸上方的點(diǎn),A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過(guò)A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點(diǎn)為M(1)求拋物線的方程;(2)若過(guò)M作MNFA,垂足為N,求點(diǎn)N的坐標(biāo)解(1)拋物線y22px的準(zhǔn)線為x,于是45,p2,拋物線方程為y24x(2)由(1)知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,4),由題意得B(0,4),M(0,2)又F(1,0),kFAMNFA,kMNFA的方程為y(x1),MN的方程為yx2,聯(lián)立解方程組得x,y,點(diǎn)N的坐標(biāo)為10(2019河南鄭州月考)已知過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn),斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的

6、焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A,B,C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,則拋物線的方程為()Ay2xBy23xCy2xDy29xB如圖,分別過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線,交準(zhǔn)線于點(diǎn)E,D,設(shè)|BF|a,則|BC|2a,由拋物線的定義得,|BD|a,故BCD30,在直角三角形ACE中,因?yàn)閨AE|AF|3,|AC|33a,2|AE|AC|,所以633a,從而得a1,因?yàn)锽DFG,所以.即,解得p,因此拋物線方程為y23x.13已知直線ya交拋物線yx2于A,B兩點(diǎn)若該拋物線上存在點(diǎn)C,使得ACB為直角,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_1,)如圖,設(shè)C(x0,x)(xa),A(,a),B(,a),則(

7、x0,ax),(x0,ax)CACB,0,即(ax)(ax)20,(ax)(1ax)0.xa10,a1.14(2017全國(guó)卷)已知F是拋物線C:y28x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則|FN|_6如圖,不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi),拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線,垂足為點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)P,PMOF由題意知,F(xiàn)(2,0),|FO|AO|2點(diǎn)M為FN的中點(diǎn),PMOF,|MP|FO|1又|BP|AO|2,|MB|MP|BP|3由拋物線的定義知|MF|MB|3,故|FN|2|MF|6.15如圖,已知拋物線Cy22px(p0),焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)G(p,0)作

8、直線l交拋物線C于A,M兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),M(x2,y2)(1)若y1y28,求拋物線C的方程;(2)若直線AF與x軸不垂直,直線AF交拋物線C于另一點(diǎn)B,直線BG交拋物線C于另一點(diǎn)N.求證:直線AB與直線MN斜率之比為定值(1)解設(shè)直線AM的方程為xmyp,代入y22px得y22mpy2p20,則y1y22p28,得p2拋物線C的方程為y24x(2)證明設(shè)B(x3,y3),N(x4,y4)由(1)可知y3y42p2,y1y3p2又直線AB的斜率kAB,直線MN的斜率kMN,2故直線AB與直線MN斜率之比為定值16(2018浙江卷)如圖,已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn),拋物線C:y24x上存在不同的兩點(diǎn)A,B滿足PA,PB的中點(diǎn)均在C上(1)設(shè)AB中點(diǎn)為M,證明:PM垂直于y軸;(2)若P是半橢圓x21(x0)上的動(dòng)點(diǎn),求PAB面積的取值范圍. (1)證明設(shè)P(x0,y0),A,B因?yàn)镻A,PB的中點(diǎn)在拋物線上,所以y1,y2為方程24即y22y0y8x0y0的兩個(gè)不同的實(shí)根所以y1y22y0,因此,PM垂直于y軸(2)解由(1)可知,所以|PM|(yy)x0y3x0,|y1y2|2因此,PAB的面積SPAB|PM|y1y2|(y4x0)因?yàn)閤1(x00),所以y4x04x4x044,5,因此,PAB面積的取值范圍是8

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