2020高考數(shù)學大一輪復(fù)習 第八章 解析幾何 課下層級訓練48 拋物線（含解析）文 新人教A版

課下層級訓練(四十八)拋物線A級基礎(chǔ)強化訓練1點M(5,3)到拋物線yax2(a0)的準線的距離為6，那么拋物線的方程是()Ay12x2By12x2或y36x2Cy36x2Dyx2或yx2D分兩類a>0，a<0，可得yx2或yx2.2已知AB是拋物線y28x的一條焦點弦，|AB|16，則AB中點C的橫坐標是()A3B4C6D8C設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2p16，又p4，所以x1x212，所以點C的橫坐標是6.3(2016·全國卷)設(shè)F為拋物線C：y24x的焦點，曲線y(k0)與C交于點P，PFx軸，則k()AB1CD2Dy24x，F(xiàn)(1,0)又曲線y(k0)與C交于點P，PFx軸，P(1,2)將點P(1,2)的坐標代入y(k0)得k2.4(2019·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)已知拋物線C：x22py(p>0)，若直線y2x被拋物線所截弦長為4，則拋物線C的方程為()Ax28yBx24yCx22yDx2yC由得或即兩交點坐標為(0,0)和(4p,8p)，則4，得p1(舍去負值)，故拋物線C的方程為x22y.5(2018·山東濰坊二模)直線yk(x2)(k0)與拋物線C：y28x交于A，B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若sin ABF2sin BAF，則k的值是()ABC1DB分別過A，B項拋物線的準線作垂線，垂足分別為M，N，則AFAM，BFBN. 設(shè)直線y(x2)(k0)與x軸交于點P，則P(2,0)拋物線的方程為y28x，拋物線的準線方程為x2，即點P在準線上sin ABF2sin BAF，根據(jù)正弦定理可得AF2BF，AM2BN，即B為PA的中點聯(lián)立方程組消去x可得y2160設(shè)A，B，則y1y216B為PA的中點，y12y2，即B(1,2)P(2,0)，直線AB的斜率為.6直線l過拋物線x22py(p>0)的焦點，且與拋物線交于A，B兩點，若線段AB的長是6，AB的中點到x軸的距離是1，則此拋物線方程是_x28y設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|y1y2p2p6，p4.即拋物線方程為x28y.7(2018·四川南充三模)已知斜率為2的直線l過拋物線y2ax的焦點F，且與y軸相交于點A，若OAF(O為坐標原點)的面積為4，則a_±8焦點坐標，|OF|，直線的點斜式方程y2在y軸的截距是，所以SOAF××4，解得a264，a>0，a8，y28x，故答案為±8.8(2018·全國卷)已知點M(1,1)和拋物線C：y24x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點若AMB90°，則k_2方法一設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yy4(x1x2)，k設(shè)AB中點M(x0，y0)，拋物線的焦點為F，分別過點A，B作準線x1的垂線，垂足為A，B，則|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)M(x0，y0)為AB中點，M為AB的中點，MM平行于x軸，y1y22，k2方法二由題意知，拋物線的焦點坐標為F(1,0)，設(shè)直線方程為yk(x1)，直線方程與y24x聯(lián)立，消去y，得k2x2(2k24)xk20設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，x1x2由M(1,1)，得(1x1,1y1)，(1x2,1y2)由AMB90°，得·0，(x11)(x21)(y11)(y21)0，x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10又y1y2k(x11)·k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，11k2k10，整理得10，解得k2.9已知拋物線y22px(p0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4，且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M(1)求拋物線的方程；(2)若過M作MNFA，垂足為N，求點N的坐標解(1)拋物線y22px的準線為x，于是45，p2，拋物線方程為y24x(2)由(1)知點A的坐標是(4,4)，由題意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFAMNFA，kMNFA的方程為y(x1)，MN的方程為yx2，聯(lián)立解方程組得x，y，點N的坐標為10(2019·河南鄭州月考)已知過拋物線y22px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點，且|AB|9(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標原點，C為拋物線上一點，若，求的值解(1)直線AB的方程是y2，與y22px聯(lián)立，從而有4x25pxp20由題易知，方程必有兩個不等實根所以x1x2，由拋物線定義得|AB|x1x2pp9，所以p4，從而拋物線方程為y28x(2)由于p4，則4x25pxp20，即x25x40，從而x11，x24，于是y12，y24，從而A(1，2)，B(4,4)設(shè)C(x3，y3)，則(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)又y8x3，即2(21)28(41)，整理得(21)241，解得0或2B級能力提升訓練11(2018·廣東茂名二模)若動圓的圓心在拋物線yx2上，且與直線y30相切，則此圓恒過定點()A(0,2)B(0，3)C(0,3)D(0,6)C直線y30是拋物線x212y的準線，由拋物線的定義知拋物線上的點到直線y3的距離與到焦點(0,3)的距離相等，所以此圓恒過定點(0,3)12如圖，過拋物線y22px(p>0)的焦點F的直線依次交拋物線及其準線于點A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則拋物線的方程為()Ay2xBy23xCy2xDy29xB如圖，分別過點A，B作準線的垂線，交準線于點E，D，設(shè)|BF|a，則|BC|2a，由拋物線的定義得，|BD|a，故BCD30°，在直角三角形ACE中，因為|AE|AF|3，|AC|33a,2|AE|AC|，所以633a，從而得a1，因為BDFG，所以.即，解得p，因此拋物線方程為y23x.13已知直線ya交拋物線yx2于A，B兩點若該拋物線上存在點C，使得ACB為直角，則實數(shù)a的取值范圍為_1，)如圖，設(shè)C(x0，x)(xa)，A(，a)，B(，a)，則(x0，ax)，(x0，ax)CACB，·0，即(ax)(ax)20，(ax)(1ax)0.xa10，a1.14(2017·全國卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|_6如圖，不妨設(shè)點M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準線交x軸于點A，過點M作準線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，PMOF由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|AO|2點M為FN的中點，PMOF，|MP|FO|1又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3由拋物線的定義知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.15如圖，已知拋物線Cy22px(p0)，焦點為F，過點G(p,0)作直線l交拋物線C于A，M兩點，設(shè)A(x1，y1)，M(x2，y2)(1)若y1y28，求拋物線C的方程；(2)若直線AF與x軸不垂直，直線AF交拋物線C于另一點B，直線BG交拋物線C于另一點N.求證：直線AB與直線MN斜率之比為定值(1)解設(shè)直線AM的方程為xmyp，代入y22px得y22mpy2p20，則y1y22p28，得p2拋物線C的方程為y24x(2)證明設(shè)B(x3，y3)，N(x4，y4)由(1)可知y3y42p2，y1y3p2又直線AB的斜率kAB，直線MN的斜率kMN，2故直線AB與直線MN斜率之比為定值16(2018·浙江卷)如圖，已知點P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點，拋物線C：y24x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上(1)設(shè)AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；(2)若P是半橢圓x21(x<0)上的動點，求PAB面積的取值范圍. (1)證明設(shè)P(x0，y0)，A，B因為PA，PB的中點在拋物線上，所以y1，y2為方程24·即y22y0y8x0y0的兩個不同的實根所以y1y22y0，因此，PM垂直于y軸(2)解由(1)可知，所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2因此，PAB的面積SPAB|PM|·|y1y2|(y4x0)因為x1(x0<0)，所以y4x04x4x044,5，因此，PAB面積的取值范圍是8