江蘇省啟東市2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題強(qiáng)化訓(xùn)練7

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1、專題強(qiáng)化訓(xùn)練71.在中,三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知, ,且。 (1)求角B的大??; (2)若的外接圓的半徑為1,求的面積。解(1)(2)2.已知函數(shù)f(x)=cos2(x+)3(0,0)的最大值為2,最小正周期為(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;(2)當(dāng)x0,時(shí),求函數(shù)f(x)的值域解:(1)f(x)=cos2(x+)3(0,0)=3=cos(2x+)+3,(2分)又函數(shù)f(x)的最大值為2,可得:+3=2,解得:=5,最小正周期為=,解得:=,f(x)=cos(3x+)(6分)(2),(9分),(13分),所以f(x)的值域是(14分)3.已知向量=(sin(x+),1),=(1,cos(

2、x+)(0,0),記函數(shù)f(x)=(+)()若函數(shù)y=f(x)的周期為4,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,)(1)求的值;(2)當(dāng)1x1時(shí),求函數(shù)f(x)的最值解:(1)f(x)=(+)()=cos(x+2)由題意得:周期,故;(2)圖象過(guò)點(diǎn)M(1,),cos(2)=,即sin2=,而0,故2=,則f(x)=cos()當(dāng)1x1時(shí),當(dāng)x=時(shí),f(x)min=1,當(dāng)x=1時(shí),4.在三角形ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為,且(1)求角A的值;(2)若三角形面積為,且,求三角形ABC的周長(zhǎng).解:(1)因?yàn)?,由正弦定理得, 即=sin(A+C) 4分 因?yàn)锽AC,所以sinB=sin(A+C),所以因?yàn)锽(0,),

3、所以sinB0, 所以,因?yàn)?,所?7分(2)ABC的面積為,且由,所以12分 周長(zhǎng) 14分ABCxO5.如圖已知四邊形AOCB中,點(diǎn)B位于第一象限,若BOC為正三角形.(1)若求點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)記向量與的夾角為,求的值. 解:(1)2分5分點(diǎn)坐標(biāo)為7分(2)向量9分12分因此,14分6在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且asinB+acosB=c()求角A的大??;()已知函數(shù)f(x)=cos2(x+)3(0,0)的最大值為2,將y=f(x)的圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍后便得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若函數(shù)y=g(x)的最小正周期為當(dāng)x0,時(shí),求函數(shù)f(x)的值域

4、解:()ABC中,C=(A+B),=,0A,()由()得:=,3=2,從而=5,從而,當(dāng)時(shí),從而,f(x)的值域?yàn)?.如圖所示,角為鈍角,且,點(diǎn)分別在角的兩邊上()若,求的長(zhǎng);()設(shè),且,求的值解:()因?yàn)榻菫殁g角,且,所以2分在中,由,得5分解得或(舍),即的長(zhǎng)為27分()由,得9分又,11分所以14分8.在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知A=,b2a2=c2(1)求tanC的值;(2)若ABC的面積為3,求b的值解:(1)A=,由余弦定理可得:,b2a2=bcc2,又b2a2=c2bcc2=c2b=c可得,a2=b2=,即a=cosC=C(0,),sinC=tanC=

5、2(2)=3,解得c=2=39.在銳角中,角、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、向量,且.(1)求角的大小;(2)若面積為,求的值.解:(1) 為銳角三角形, , , (2)由,得, 代入得,得 由題設(shè),得 聯(lián)立, 解得或 10. 已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A0,0,|,xR),且函數(shù)f(x)的最大值為2,最小正周期為,并且函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(,0)(1)求函數(shù)f(x)解析式;(2)設(shè)ABC的角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且f()=2,c=,求a+2b的取值范圍解:(1)根據(jù)題意得:A=2,=4,即f(x)=2sin(4x+),把(,0)代入得:2sin(+)=0,即sin(+)=0,+=

6、0,即=,則f(x)=2sin(4x);(2)由f()=2sin(C)=2,即sin(C)=1,C=,即C=,由正弦定理得: =2R,即=2R=1,a+2b=2RsinA+4RsinB=sinA+2sinB=sinA+2sin(A)=sinA+2sincosA2cossinA=sinA+cosAsinA=cosA,cosA1,即cosA,a+2b的范圍為(,)11. 已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),=(1,0)(1)求向量的長(zhǎng)度的最大值;(2)設(shè)=,且(),求cos的值解:(1)=(cos1,sin),則|2=(cos1)2+sin2=2(1cos)1cos1,0|24,即

7、0|2當(dāng)cos=1時(shí),有|b+c|=2,所以向量的長(zhǎng)度的最大值為2(2)由(1)可得=(cos1,sin),()=coscos+sinsincos=cos()cos(),()=0,即cos()=cos由=,得cos()=cos,即=2k(kZ),=2k+或=2k,kZ,于是cos=0或cos=112. 已知函數(shù)(1)設(shè),且,求的值;(2)在ABC中,AB=1,且ABC的面積為,求sinA+sinB的值解:(1)=(3分)由 得 于是(kZ) 因?yàn)?所以 (7分)(2)因?yàn)镃(0,),由(1)知(9分)因?yàn)锳BC的面積為,所以,于是在ABC中,設(shè)內(nèi)角A、B的對(duì)邊分別是a,b由余弦定理得,所以a2

8、+b2=7由可得或于是(12分)由正弦定理得,所以(14分)15.在三角形中,角,所對(duì)的邊分別是,已知,(1)若,求的值;(2)若,求的值【解】(1)由余弦定理,3分將,代入,解得:6分(2)由正弦定理,由正弦定理可得,將,代入解得14分16.如圖,是等邊三角形,點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上,且,.(1)求長(zhǎng)度;(2)求的值.解:(1)設(shè),中有余弦定理:,即;(2),中由余弦定理:,.17.如圖,在平面上,點(diǎn),點(diǎn)在單位圓上,()(1)若點(diǎn),求的值;(2)若,求.(1)由于,所以, , 所以, 所以 ;(2)由于, 所以, . 所以,所以, 所以.18.已知向量=(5cos,4),=(3,4tan),其中(

9、,)(1)若,求sin2的值;(2)若|=5,向量=(2,0),求證:(+)(1)解:=(5cos,4),=(3,4tan),且,5cos4tan12=0,得20sin=12,sin,(,),cos=,sin2=2sincos=;(2)證明:,得cos=,則sin=,tan=,=(5cos,4)=(3,4),=(3,4tan)=(3,),則,=(2,0),(+)=0則(+)19.已知ABC的角A,B,C的對(duì)邊依次為a,b,c,若滿足,()求C大??;()若c=2,且ABC為銳角三角形,求a2+b2取值范圍解:()tanAtanBtanAtanB=,=,即tan(A+B)=tanC=,tanC=,

10、C為三角形的內(nèi)角,則C=;(II)A與B為銳角,且A+B=C=,即B=A,A,2A,c=2,sinC=,由正弦定理=得:a=sinA,b=sinB,a2+b2=(sinA+sinB)=sinA+sin(A)=+sin(2A),2A,sin(2A)1,即+sin(2A)8,則a2+b2的范圍為(,820.已知(0,),(,),cos=,sin(+)=(1)求tan的值;(2)求sin的值解:(1),且,解得,(2),又,故,sin=sin(+)=sin(+)coscos(+)sin=21.已知PQ是半徑為1的圓A的直徑,B,C為不同于P,Q的兩點(diǎn),如圖所示,記PAB=(1)若BC=,求四邊形PB

11、CQ的面積的最大值;(2)若BC=1,求的最大值解:(1),BAC=;由PAB=得CAQ=;S四邊形PBCQ=SPAB+SABC+SCAQ=;,當(dāng)時(shí),S四邊形PBCQ取得最大值;(2)當(dāng)BC=1時(shí),BAC=,PAC=;=1=;時(shí),取得最大值江蘇省啟東中學(xué)高三數(shù)學(xué)二輪專題強(qiáng)化訓(xùn)練2020.1 題型二實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題1.如圖,某城市有一塊半徑為40 m的半圓形綠化區(qū)域(以O(shè) 為圓心,AB為直徑),現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行改建在AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D,OD80 m,在半圓上選定一點(diǎn)C,改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成,其面積為S m2設(shè)AOCx rad(1)寫(xiě)出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S(x),并

12、指出x的取值范圍; (2)試問(wèn)AOC多大時(shí),改建后的綠化區(qū)域面積S取得最大值A(chǔ)BOCD (1)因?yàn)樯刃蜛OC的半徑為40 m,AOCxrad,所以扇形AOC的面積S扇形AOC800x,0x 2分在COD中,OD80,OC40,CODx,所以COD 的面積SCODOCODsinCOD1600sin(x)1600sinx 5分從而 SSCODS扇形AOC1600sinx800x,0x 7分2. 無(wú)錫市政府決定規(guī)劃地鐵三號(hào)線,該線起于惠山區(qū)惠山城鐵站,止于無(wú)錫新區(qū)碩放空港產(chǎn)業(yè)園內(nèi)的無(wú)錫機(jī)場(chǎng)站,全長(zhǎng)28公里,目前惠山城鐵站和無(wú)錫機(jī)場(chǎng)站兩個(gè)站點(diǎn)已經(jīng)建好,余下的工程是在已經(jīng)建好的站點(diǎn)之間鋪設(shè)軌道和等距離修

13、建??空荆?jīng)有關(guān)部門(mén)預(yù)算,修建一個(gè)??空镜馁M(fèi)用為6400萬(wàn)元,鋪設(shè)距離為公里的相鄰兩個(gè)停靠站之間的軌道費(fèi)用為,設(shè)余下工程的總費(fèi)用為萬(wàn)元.(停靠站位于軌道兩側(cè),不影響軌道總長(zhǎng)度)(1)試將表示成的函數(shù);(2)需要建多少個(gè)??空静拍苁构こ藤M(fèi)用最小,并求最小值.(1)設(shè)需要修建個(gè)??空?,則個(gè)停靠站將28公里的軌道分成相等的段,化簡(jiǎn)得(萬(wàn)元)當(dāng)且僅當(dāng),即,取等號(hào),答:需要建13個(gè)停車(chē)站才能使工程費(fèi)用最小,最小值費(fèi)用為128028萬(wàn)元.3.如圖所示,某街道居委會(huì)擬在地段的居民樓正南方向的空白地段上建一個(gè)活動(dòng)中心,其中米活動(dòng)中心東西走向,與居民樓平行. 從東向西看活動(dòng)中心的截面圖的下部分是長(zhǎng)方形,上部分是

14、以為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求,活動(dòng)中心在與半圓相切的太陽(yáng)光線照射下落在居民樓上的影長(zhǎng)不超過(guò)米,其中該太陽(yáng)光線與水平線的夾角滿足.(1)若設(shè)計(jì)米,米,問(wèn)能否保證上述采光要求?FABEDGC南居民樓活動(dòng)中心(2)在保證上述采光要求的前提下,如何設(shè)計(jì)與的長(zhǎng)度,可使得活動(dòng)中心的截面面積最大?(注:計(jì)算中取3) 解:如圖所示,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系(1)因?yàn)?,所以半圓的圓心為,半徑設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為,即, .2分則由,解得或(舍).故太陽(yáng)光線所在直線方程為, .5分令,得米米.所以此時(shí)能保證上述采光要求. .7分(2)設(shè)米,米,則半圓的圓心為,半

15、徑為方法一:設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為,即,由,解得或(舍). .9分故太陽(yáng)光線所在直線方程為, 令,得,由,得. .11分所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 所以當(dāng)米且米時(shí),可使得活動(dòng)中心的截面面積最大. .16分方法二:欲使活動(dòng)中心內(nèi)部空間盡可能大,則影長(zhǎng)EG恰為米,則此時(shí)點(diǎn)為,設(shè)過(guò)點(diǎn)G的上述太陽(yáng)光線為,則所在直線方程為y(x30),即 .10分由直線與半圓H相切,得而點(diǎn)H(r,h)在直線的下方,則3r4h1000,即,從而 .13分又.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)米且米時(shí),可使得活動(dòng)中心的截面面積最大. .16分LABOMLLab4.如圖,某城市有一條公路從正西方通過(guò)市中心后轉(zhuǎn)向東偏北角方向的位于該市的

16、某大學(xué)與市中心的距離,且現(xiàn)要修筑一條鐵路L,L在OA上設(shè)一站,在OB上設(shè)一站B,鐵路在部分為直線段,且經(jīng)過(guò)大學(xué)其中,(1)求大學(xué)與站的距離;(2)求鐵路段的長(zhǎng)(1)在中,且, 由余弦定理得, ,即大學(xué)與站的距離為; (2),且為銳角, 在中,由正弦定理得,, 即, , , 又, , 在中, 由正弦定理得,即,即鐵路段的長(zhǎng)為 5.一個(gè)玩具盤(pán)由一個(gè)直徑為2米的半圓O和一個(gè)矩形ABCD構(gòu)成,AB=1米,如圖所示,小球從A點(diǎn)出發(fā)以大小為5v的速度沿半圓O軌道滾到某點(diǎn)E處,經(jīng)彈射器以6v的速度沿與點(diǎn)E切線垂直的方向彈射到落袋區(qū)BC內(nèi),落點(diǎn)記為F,設(shè)AOE=弧度,小球從A到F所需時(shí)間為T(mén)(1)試將T表示為

17、的函數(shù)T(),并寫(xiě)出定義域;(2)求時(shí)間T最短時(shí)的值6.如圖,O為總信號(hào)源點(diǎn),A,B,C是三個(gè)居民區(qū),已知A,B都在O的正東方向上,OA = 10 ,OB = 20 ,C在O的北偏西45 方向上,CO =(1)求居民區(qū)A與C的距離;(2)現(xiàn)要經(jīng)過(guò)點(diǎn)O鋪設(shè)一條總光纜直線EF(E在直線OA的上方),并從A,B,C分別鋪設(shè)三條最短分光纜連接到總光纜EF假設(shè)鋪設(shè)每條分光纜的費(fèi)用與其長(zhǎng)度的平方成正比,比例系數(shù)為m(m為常數(shù))設(shè)AOE = (0 1, 12分則SOAB,所以SOAB的最小值為,在k0時(shí)取得,此時(shí)AB .14分2. 在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直

18、線交橢圓于兩點(diǎn),為弦的中點(diǎn),記直線的斜率分別為,當(dāng)時(shí),求的值.解:(1)因,所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上,又圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn),所以橢圓的半焦距, 3分所以,即,所以橢圓的方程為. 6分(2)方法一:設(shè),聯(lián)立,消去,得,所以,又,所以,所以, 10分. 方法二:設(shè), 則,兩式作差,得,又,又,在直線上,又在直線上,由可得,. 10分3. 已知橢圓E: +=1過(guò)點(diǎn)D(1,),且右焦點(diǎn)為F(1,0)右頂點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)F的弦為BC,直線BA,直線CA分別交直線l:x=m(m2)于P、Q兩點(diǎn)(1)求橢圓方程;(2)若FPFQ,求m的值解:(1)右焦點(diǎn)為F(1,0),可得c=1,左焦點(diǎn)F為(1,0),由橢圓的定義可

19、得2a=|DF|+|DF|=+=4,即有a=2,b=,則橢圓的方程為+=1;(2)當(dāng)BC垂直于x軸,即有B(1,),C(1,),設(shè)P(m,s),Q(m,t),A(2,0),F(xiàn)(1,0),由B,A,P共線,可得kAB=kAP,即為=,即有s=(m2),即有P(m,(m2),=(m1,(m2),同樣可得Q(m,(m2),=(m1,(m2),F(xiàn)PFQ即為=0,即有(m1)2(m2)2=0,解得m=4;當(dāng)直線CB與x軸不垂直,則設(shè)直線CB的斜率為k,(k0)直線CB的方程為y=k(x1),k0,又設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),P(m,y3),Q(m,y4),聯(lián)立,消y得(3+4k2)x28k2

20、x+4k212=0,x1+x2=,x1x2=,y1y2=k2(x11)(x21)=,又A、B、P三點(diǎn)共線,y3=(m2),同理y4=(m2),=(m1,(m2),=(m1,(m2),由于=0,即為=(m1)2+(m2)2=0,分別代入x1+x2,x1x2,y1y2,可得(m1)2(m2)2=0,解得m=4綜上可得m=44. 設(shè)橢圓的離心率為,直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),以線段為直徑作圓若圓與軸相交于不同的兩點(diǎn),求的面積;(3)如圖,、是橢圓的頂點(diǎn),是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn),直線交軸于點(diǎn),直線交于點(diǎn)設(shè)的斜率為,的斜率為,求

21、證:為定值(1)圓的方程為, 直線與圓O相切,即,又, , 橢圓的方程為; (2)由題意,可得, 圓的半徑, 的面積為; (3)由題意可知,的斜率為,直線的方程為,由,得,其中, 則直線的方程為,令,則, 即, 直線的方程為,由,解得, 的斜率 , (定值)5. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中, 已知圓,橢圓, 為橢圓右頂點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn),直線與圓的另一交點(diǎn)為,直線與圓的另一交點(diǎn)為,其中設(shè)直線的斜率分別為(1)求的值;(2)記直線的斜率分別為,是否存在常數(shù),使得?若存在,求值;若不存在,說(shuō)明理由;(3)求證:直線必過(guò)點(diǎn)6.橢圓的方程為,為坐標(biāo)原點(diǎn),直線與橢圓交于點(diǎn),點(diǎn)為線段的

22、中點(diǎn).(1)若分別為的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),且的斜率為,求的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若,且,求面積的最大值.解:(1)設(shè),則,兩式相減,得,即,又,代入化簡(jiǎn),得,故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)直線,由方程組 , 設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為,則,令,設(shè),則:.當(dāng)時(shí),即時(shí),的面積取得最大值1.7. 在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)為橢圓上的點(diǎn),直線與圓:均相切.(1)若橢圓的兩條準(zhǔn)線間的距離為8,焦距為2 .求橢圓的方程;若,且,求圓的方程.(2)若橢圓的離心率為,求的最小值.8. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓:()的離心率為,點(diǎn),分別為橢圓的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn),過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn),交于點(diǎn),其中點(diǎn)在第一象限,設(shè)直線的斜率為(

23、1)當(dāng)時(shí),證明直線平分線段;(2)已知點(diǎn),則:若,求;求四邊形面積的最大值【解】(1)點(diǎn) 橢圓的方程為設(shè),則,的直線方程為:(2)設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,則6分,即由,解得;由,解得8分,即 或10分點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離12分14分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以四邊形面積的最大值為16分9. 已知圓O:與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A,點(diǎn)P在直線l:上,過(guò)點(diǎn)P作圓O的切線,切點(diǎn)為T(mén).(1)若a8,切點(diǎn),求直線AP的方程;(2)若PA=2PT,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)由題意,直線PT切于點(diǎn)T,則OTPT,又切點(diǎn)T的坐標(biāo)為,所以, 3分故直線PT的方程為,即.所以解得即, 5分所以直線AP的斜率為,故直線AP

24、的方程為,即. 7分(2)設(shè),由PA2PT,可得,即,滿足PA2PT的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓, 11分所以,即,解得. 15分10. )已知橢圓E:的離心率為,且過(guò)點(diǎn),設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A,橢圓的上頂點(diǎn)為B,直線AB被以原點(diǎn)為圓心的圓O所截得的弦長(zhǎng)為(1)求橢圓E的方程及圓O的方程;(2)若M是準(zhǔn)線l上縱坐標(biāo)為t的點(diǎn),求證:存在一個(gè)異于M的點(diǎn)Q,對(duì)于圓O上任意一點(diǎn)N,有為定值;且當(dāng)M在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q在一個(gè)定圓上(1)解:橢圓E:的離心率為,a=2k,c=,b2=2k2,橢圓E:,把點(diǎn)代入得k2=2,橢圓E方程:圓的方程:x2+y2=4(2)證明:橢圓E的右準(zhǔn)線l的方程為x=4設(shè)l

25、上取定的點(diǎn)M為(4,t),圓O上任意的一點(diǎn)N為(x0,y0),定點(diǎn)Q為(x,y)NM與NQ的比是常數(shù)且Q不同于M,NQ2=NM2,是正的常數(shù)(1),即(x0x)2+(y0y)2=(x04)2+(y0t)2,即x02+y022xx02yy0+x2+y2=(x02+y02+16+t28x02ty0)將x02+y02=4代入,有2xx02yy0+x2+y2+4=8x02ty0+(20+t2)又有無(wú)數(shù)組(x0,y0),由代入,得162+t22+4=(20+t2),即(16+t2)2(20+t2)+4=0,(1)(16+t2)4=0又1,=,即存在一個(gè)定點(diǎn)Q(不同于點(diǎn)M),使得對(duì)于圓O上的任意一點(diǎn)N,均

26、有為定值將16+t2=代入,得x2+y2+4=(+4),即x2+y2=4,于是x2+y2=x,即(x)2+y2=,故點(diǎn)Q在圓心(,0),半徑為的定圓上定值為:,Q在圓心,半徑為的定圓上11.如圖所示,已知圓的圓心在直線上,且該圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,又圓與直線相切,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于兩點(diǎn),是的中點(diǎn),直線與相交于點(diǎn)(1)求圓的方程;(2)當(dāng)時(shí),求直線的方程;(3)是否為定值?如果是,求出其定值;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由(2)當(dāng)直線與軸垂直時(shí),易知符合題意6分當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),設(shè)直線的方程為,即連接,則,由,得8分直線的方程為9分所求直線的方程為或10分12. 如圖,橢圓E:的左焦點(diǎn)為F1,右焦

27、點(diǎn)為F2,離心率e=過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),且ABF2的周長(zhǎng)為8()求橢圓E的方程()設(shè)動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由解:()過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),且ABF2的周長(zhǎng)為84a=8,a=2e=,c=1b2=a2c2=3橢圓E的方程為()由,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m212=0動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0,y0)m0,=0,(8km)24(4k2+3)(4m212)=04k2m2+3=0

28、此時(shí)x0=,y0=,即P(,)由得Q(4,4k+m)取k=0,m=,此時(shí)P(0,),Q(4,),以PQ為直徑的圓為(x2)2+(y)2=4,交x軸于點(diǎn)M1(1,0)或M2(3,0)取k=,m=2,此時(shí)P(1,),Q(4,0),以PQ為直徑的圓為(x)2+(y)2=,交x軸于點(diǎn)M3(1,0)或M4(4,0)故若滿足條件的點(diǎn)M存在,只能是M(1,0),證明如下故以PQ為直徑的圓恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)M(1,0)13.已知橢圓1(ab0)上頂點(diǎn)A(0,2),右焦點(diǎn)F(1,0),設(shè)橢圓上任一點(diǎn)到點(diǎn)Q(0,6)的距離為d (1)求d的最大值; (2)過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于點(diǎn)S,T兩點(diǎn),P為直線l上一動(dòng)點(diǎn),l為橢

29、圓的右準(zhǔn)線 若PFST,求證:直線OP平分線段ST; 設(shè)直線PS,PF,PT的斜率分別為k1,k2,k3,問(wèn):k1,k2,k3能否成等差數(shù)列?xOyPFTAlS已知點(diǎn)P是橢圓C上的任一點(diǎn),P到直線l1:x=2的距離為d1,到點(diǎn)F(1,0)的距離為d2,且=(1)求橢圓C的方程;(2)如圖,直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B(A,B都在x軸上方),且OFA+OFB=180(i)當(dāng)A為橢圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線l的方程;(ii)是否存在一個(gè)定點(diǎn),無(wú)論OFA如何變化,直線l總過(guò)該定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解:(1)設(shè)P(x,y),點(diǎn)P是橢圓C上的任一點(diǎn),P到

30、直線l1:x=2的距離為d1,到點(diǎn)F(1,0)的距離為d2,且=,d1=|x+2|,d2=,=,化簡(jiǎn),得=1橢圓C的方程為=1(2)(i)由(1)知A(0,1),又F(1,0),kAF=1,OFA+OFB=180,kBF=1,直線BF的方程為:y=(x+1)=x1,代入=1,得3x2+4x=0,解得x1=0,代入y=x1,得(舍),或,B(,),kAB=,直線AB的方程為y=(ii)OFA+OFB=180,kAF+kBF=0,設(shè)直線AB的方程為y=kx+b,代入=1,得,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則,kAF+kBF=+=+=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)

31、=2kx1x2+(k+b)(x1+x2)+2b=2k(k+b)+2b=0,b2k=0,直線AB的方程為y=k(x+2),直線AB總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(2,0) 15. 已知橢圓的離心率為,一個(gè)交點(diǎn)到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為3,圓N的方程為為半焦距)直線與橢圓M和圓N均只有一個(gè)公共點(diǎn),分別設(shè)為A、B。 (1)求橢圓方程和直線方程; (2)試在圓N上求一點(diǎn)P,使。16.如圖,已知單位圓(為直角坐標(biāo)原點(diǎn)),是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在直線上,且為正三角形.(1)若點(diǎn)是第一象限的點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求的最小值.解: 由題意,兩點(diǎn)的坐標(biāo)為. 2分(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則有,且,. 4分由已知得, 6分解得,或 ,即的坐標(biāo)為

32、或. 8分(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,且,. 10分所以 江蘇省啟東中學(xué)高三數(shù)學(xué)二輪專題強(qiáng)化訓(xùn)練2020.1 題型四函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1. 已知函數(shù)f(x)=x22alnx(aR),g(x)=2ax(1)求函數(shù)f(x)的極值;(2)若a0,函數(shù)h(x)=f(x)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值;(3)若0a1,對(duì)于區(qū)間1,2上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有|f(x1)f(x2)|g(x1)g(x2)|成立,求a的取值范圍【解答】解:(1)f(x)=,當(dāng)a0時(shí),f(x)0,f(x)在(0,+)遞增,f(x)無(wú)極值,當(dāng)a0時(shí),x(0,)時(shí),f(x)0,f(x)遞減,x(,+)時(shí),f(x)0,f(

33、x)遞增,f(x)有極小值f()=aalna,綜上:a0時(shí),f(x)無(wú)極值,a0時(shí),f(x)極小值=aalna,無(wú)極大值;(2)令h(x)=x22alnx2ax,則h(x)=,a0,令h(x)=0,解得x0=,h(x)在(0,)遞減,在(,+)遞增,h(x)在x0處取得極小值h(x0)=0,2alnx02ax0=0且22ax02a=0,聯(lián)立可得:2lnx0+x01=0,令m(x)=2lnx+x1得m(x)=+10,故m(x)在(0,+)遞增又m(1)=0,x0=1,即=1,解得:a=;(3)不妨令1x1x22,則由(1)得f(x1)f(x2)|f(x1)f(x2)|g(x1)g(x2)f(x2

34、)f(x1)g(x2)g(x1)f(x2)g(x2)f(x1)g(x1),則h(x)在1,2遞增,h(x)=0在1,2恒成立,即2x22ax2a0在1,2恒成立,a在1,2恒成立,令t=x+12,3,則=t+2,0a,a的范圍是(0,2. 已知數(shù)列an和bn滿足a1a2a3an=(nN*)若an為等比數(shù)列,且a1=2,b3=6+b2()求an和bn;()設(shè)cn=(nN*)記數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn (i)求Sn; (ii)求正整數(shù)k,使得對(duì)任意nN*均有SkSn【解答】解:()a1a2a3an=(nN*) ,當(dāng)n2,nN*時(shí),由知:,令n=3,則有b3=6+b2,a3=8an為等比數(shù)列,且a1

35、=2,an的公比為q,則=4,由題意知an0,q0,q=2(nN*)又由a1a2a3an=(nN*)得:,bn=n(n+1)(nN*)()(i)cn=Sn=c1+c2+c3+cn=;(ii)因?yàn)閏1=0,c20,c30,c40;當(dāng)n5時(shí),而=0,得,所以,當(dāng)n5時(shí),cn0,綜上,對(duì)任意nN*恒有S4Sn,故k=4 3. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列滿足,且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (3)設(shè),數(shù)列的前n項(xiàng)和為.求. (2) 由 且 所以:,則:, ,(7分)以上n-1個(gè)等式相加得: 則:2,又 (9分) 所以: (10分)(3) 由題意知 (11分)則 以上兩式

36、相減得 (13分) 則 恒成立, (16分)4.已知數(shù)列的前項(xiàng)積為,即,(1)若數(shù)列為首項(xiàng)為2020,公比為的等比數(shù)列,求的表達(dá)式;當(dāng)為何值時(shí),取得最大值;(2)當(dāng)時(shí),數(shù)列都有且成立,求證:為等比數(shù)列.解(1)由題意知,所以,(3分)記,即,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),又因?yàn)?,所以,?dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以的最大值是,(6分)此時(shí),而,,所以,而,所以,當(dāng)時(shí),取得最大值,(9分)(2)當(dāng)2時(shí),所以,即,(10分)已知當(dāng)時(shí),兩式相除得,化簡(jiǎn)得,又因?yàn)閮墒较喑?,?2分)式可化為,令,所以,所以,即,都成立,所以為等比數(shù)列.(16分)(當(dāng)然令,則轉(zhuǎn)而證明為等差數(shù)列,方法雷同,不再贅述)5. 設(shè)函數(shù),().(1)當(dāng)時(shí),解

37、關(guān)于的方程(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù));(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;(3)當(dāng)時(shí),記,是否存在整數(shù),使得關(guān)于的不等式有解?若存在,請(qǐng)求出的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù):,)解:(1)當(dāng)時(shí),方程即為,去分母,得,解得或, 2分故所求方程的根為或. 4分(2)因?yàn)?,所以()?6分當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由,解得.綜上所述,當(dāng)時(shí),的增區(qū)間為;當(dāng)時(shí),的增區(qū)間為;時(shí),的增區(qū)間為. .10分(3)方法一:當(dāng)時(shí),所以單調(diào)遞增,所以存在唯一,使得,即, .12分當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以,記函數(shù),則在上單調(diào)遞增, .14分所以,即,由,且為整數(shù),得,所以存在整數(shù)滿足題

38、意,且的最小值為. .16分 方法二:當(dāng)時(shí),所以,由得,當(dāng)時(shí),不等式有解, .12分下證:當(dāng)時(shí),恒成立,即證恒成立.顯然當(dāng)時(shí),不等式恒成立,只需證明當(dāng)時(shí),恒成立.即證明.令,所以,由,得, .14分當(dāng),;當(dāng),;所以.所以當(dāng)時(shí),恒成立.綜上所述,存在整數(shù)滿足題意,且的最小值為. .16分6.若存在常數(shù)、,使得無(wú)窮數(shù)列滿足 則稱數(shù)列為“段比差數(shù)列”,其中常數(shù)、分別叫做段長(zhǎng)、段比、段差. 設(shè)數(shù)列為“段比差數(shù)列”.(1)若的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差分別為1、3、3.當(dāng)時(shí),求;當(dāng)時(shí),設(shè)的前項(xiàng)和為,若不等式對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)設(shè)為等比數(shù)列,且首項(xiàng)為,試寫(xiě)出所有滿足條件的,并說(shuō)明理由.(1)方法

39、一:的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差分別為1、3、0、3,. 3分方法二:的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差分別為1、3、0、3,當(dāng)時(shí),是周期為3的周期數(shù)列. 方法一:的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差分別為1、3、1、3,是以為首項(xiàng)、6為公差的等差數(shù)列,又, ,設(shè),則,又,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), 9分 方法二:的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差分別為1、3、1、3,是首項(xiàng)為、公差為6的等差數(shù)列,易知中刪掉的項(xiàng)后按原來(lái)的順序構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1公差為3的等差數(shù)列, 6分以下同方法一.(2)方法一:設(shè)的段長(zhǎng)、段比、段差分別為、,則等比數(shù)列的公比為,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式有,當(dāng)時(shí),即恒成立, 12分若,則,;若,則,則為常數(shù),則,為偶數(shù),;經(jīng)檢驗(yàn),滿足條件的的通項(xiàng)公式為或. 16分方法二:設(shè)的段長(zhǎng)、段比、段差分別為、,若,則,由,得;由,得,聯(lián)立兩式,得或,則或,經(jīng)檢驗(yàn)均合題意.

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