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1、（通用版）2022年高考數學二輪復習 專題檢測（二十三）“函數與導數”壓軸大題的搶分策略 理（普通生，含解析）1(2018武漢調研)已知函數f(x)ln x(aR)(1)討論函數f(x)的單調性；(2)當a0時，證明：f(x).解：(1)f(x)(x0)當a0時，f(x)0，f(x)在(0，)上單調遞增當a0時，若xa，則f(x)0，函數f(x)在(a，)上單調遞增；若0xa，則f(x)0時，f(x)minf(a)ln a1.要證f(x)，只需證ln a1，即證ln a10.令函數g(a)ln a1，則g(a)(a0)，當0a1時，g(a)1時，g(a)0，所以g(a)在(0,1)上單調遞減，
2、在(1，)上單調遞增，所以g(a)ming(1)0.所以ln a10恒成立，所以f(x).2(2018全國卷)已知函數f(x)exax2.(1)若a1，證明：當x0時，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一個零點，求a.解：(1)證明：當a1時，f(x)1等價于(x21)ex10.設函數g(x)(x21)ex1，則g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.當x1時，g(x)0，h(x)沒有零點；()當a0時，h(x)ax(x2)ex.當x(0,2)時，h(x)0.所以h(x)在(0,2)上單調遞減，在(2，)上單調遞增故h(2)1是h(x)在(0，)上的最小值當h(2)0，即a時，h(x
3、)在(0，)上沒有零點當h(2)0，即a時，h(x)在(0，)上只有一個零點當h(2)時，因為h(0)1，所以h(x)在(0,2)上有一個零點由(1)知，當x0時，exx2，所以h(4a)11110，故h(x)在(2,4a)上有一個零點因此h(x)在(0，)上有兩個零點綜上，當f(x)在(0，)上只有一個零點時，a.3(2018西安質檢)設函數f(x)ln x(kR)(1)若曲線yf(x)在點(e，f(e)處的切線與直線x20垂直，求f(x)的單調性和極小值(其中e為自然對數的底數)；(2)若對任意的x1x20，f(x1)f(x2)0)，曲線yf(x)在點(e，f(e)處的切線與直線x20垂直
4、，f(e)0，即0，得ke，f(x)(x0)由f(x)0，得0x0，得xe，f(x)在(0，e)上單調遞減，在(e，)上單調遞增，當xe時，f(x)取得極小值，且f(e)ln e2.f(x)的極小值為2.(2)由題意知對任意的x1x20，f(x1)x10)，則h(x)在(0，)上單調遞減，h(x)10在(0，)上恒成立，即當x0時，kx2x2恒成立，k.故k的取值范圍是.4(2018全國卷)已知函數f(x)(2xax2)ln(1x)2x.(1)若a0，證明：當1x0時，f(x)0時，f(x)0；(2)若x0是f(x)的極大值點，求a.解：(1)證明：當a0時，f(x)(2x)ln(1x)2x，
5、f(x)ln(1x).設函數g(x)ln(1x)，則g(x).當1x0時，g(x)0時，g(x)0，故當x1時，g(x)g(0)0，且僅當x0時，g(x)0，從而f(x)0，且僅當x0時，f(x)0.所以f(x)在(1，)上單調遞增又f(0)0，故當1x0時，f(x)0時，f(x)0.(2)若a0，由(1)知，當x0時，f(x)(2x)ln(1x)2x0f(0)，這與x0是f(x)的極大值點矛盾若a0，設函數h(x)ln(1x).由于當|x|0，故h(x)與f(x)符號相同又h(0)f(0)0，故x0是f(x)的極大值點，當且僅當x0是h(x)的極大值點h(x).若6a10，則當0x，且|x|0，故x0不是h(x)的極大值點若6a10，則a2x24ax6a10存在根x10，故當x(x1,0)，且|x|min時，h(x)0；當x(0,1)時，h(x)0.所以x0是 h(x)的極大值點，從而x0是 f(x)的極大值點綜上，a
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