《2020版高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破二 焦點弦的性質學案（含解析）新人教B版選修2-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破二 焦點弦的性質學案（含解析）新人教B版選修2-1（16頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、專題突破二焦點弦的性質拋物線的焦點弦是考試的熱點，有關拋物線的焦點弦性質較為豐富，對拋物線焦點弦性質進行研究獲得一些重要結論，往往能給解題帶來新思路，有利于解題過程的優(yōu)化一、焦點弦性質的推導例1拋物線y22px(p0)，設AB是拋物線的過焦點的一條弦(焦點弦)，F是拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，A，B在準線上的射影為A1，B1.證明：(1)x1x2，y1y2p2；(2)若直線AB的傾斜角為，則|AF|，|BF|；(3)|AB|x1x2p(其中為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長為2p，通徑是最短的焦點弦；(4)為定值；(5)SOAB(為直線AB的傾斜角)；
2、(6)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切；(7)A，O，B1三點共線，B，O，A1三點也共線考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關的其它問題證明(1)當ABx軸時，不妨設A，B，y1y2p2，x1x2.當AB的斜率存在時，設為k(k0)，則直線AB的方程為yk，代入拋物線方程y22px，消元得y22p，即y2p20，y1y2p2，x1x2.(2)當90時，過A作AGx軸，交x軸于G，由拋物線定義知|AF|AA1|，在RtAFG中，|FG|AF|cos，由圖知|GG1|AA1|，則p|AF|cos|AF|，得|AF|，同理得|BF|；當90時，可知|AF|BF|p，對于|AF|，|BF|亦成
3、立，|AF|，|BF|.(3)|AB|AF|BF|x1x2p2p，當且僅當90時取等號故通徑為最短的焦點弦(4)由(2)可得，.(5)當90時，SOAB2p，故滿足SOAB；當90時，設直線AB：ytan，原點O到直線AB的距離dsin，SOAB|AB|sin.(6)如圖：M的直徑為AB，過圓心M作MM1垂直于準線于點M1，則|MM1|，故以AB為直徑的圓與準線相切(7)設直線AB的方程：xmy，代入y22px得y22pmyp20.由(1)可得y1y2p2.因為BB1x軸，B1，即B1，kOA，所以且公共點為O，所以直線AB1過點O.所以A，O，B1三點共線，同理得B，O，A1三點共線二、焦點
4、弦性質的應用例2(1)設F為拋物線C：y23x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則OAB的面積為()A.B.C.D.考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關的其它問題答案D解析方法一由題意可知，直線AB的方程為y，代入拋物線的方程可得4y212y90，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y23，y1y2，故所求三角形的面積為.方法二運用焦點弦傾斜角相關的面積公式，則SOAB.(2)已知F為拋物線C：y24x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|DE|的最小值為()A16B14C12D
5、10考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關的其它問題答案A解析方法一拋物線C：y24x的焦點為F(1,0)，由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0.不妨設直線l1的斜率為k，l1：yk(x1)，l2：y(x1)，由消去y得k2x2(2k24)xk20，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22，由拋物線的定義可知，|AB|x1x22224.同理得|DE|44k2，|AB|DE|444k2848816，當且僅當k2，即k1時取等號，故|AB|DE|的最小值為16.方法二運用焦點弦的傾斜角公式，注意到兩條弦互相垂直，設直線AB的傾斜角為，則且0，因此|AB|DE|16.當且僅當或時，等
6、號成立點評上述兩道題目均是研究拋物線的焦點弦問題，涉及拋物線焦點弦長度與三角形面積，從高考客觀題快速解答的要求來看，常規(guī)解法顯然小題大做了，而利用焦點弦性質，可以快速解決此類小題跟蹤訓練過拋物線y22x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|，|AF|BF|，則|AF|_.考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關的其它問題答案解析由于y22x的焦點坐標為，由題意知A，B所在直線的斜率存在，設A，B所在直線的方程為yk，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，將yk代入y22x，得k222x，k2x2(k22)x0.x1x2.而|AB|x1x2px1x21，x1x2.又|AF|0)
7、的焦點，且與該拋物線交于A，B兩點，若線段AB的長是8，AB的中點到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是()Ay212xBy28xCy26xDy24x答案B解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，根據拋物線的定義可知|AB|(x1x2)p8.又AB的中點到y(tǒng)軸的距離為2，2，x1x24，p4，所求拋物線的方程為y28x.故選B.4過拋物線y24x的焦點作直線交拋物線于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，則AB的中點M到拋物線準線的距離為_考點題點答案解析拋物線的焦點為F(1,0)，準線方程為x1.由拋物線定義知|AB|AF|BF|x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦
8、AB的中點M的橫坐標為，又準線方程為x1，因此點M到拋物線準線的距離為1.5過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A，B兩點，若點A，B在拋物線準線上的射影分別為A1，B1，則A1FB1為_考點題點答案90解析設拋物線方程為y22px(p0)，如圖|AF|AA1|，|BF|BB1|，AA1FAFA1，BFB1FB1B.又AA1OxB1B，A1FOFA1A，B1FOFB1B，A1FB1AFB90.一、選擇題1已知AB是過拋物線y2x2的焦點的弦，若|AB|4，則AB的中點的縱坐標是()A1B2C.D.考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關的其它問題答案D解析如圖所示，設AB的中點為P(x0，y0
9、)，分別過A，P，B三點作準線l的垂線，垂足分別為A，Q，B，由題意得|AA|BB|AB|4，|PQ|2，又|PQ|y0，y02，y0.2若拋物線y22px(p0)上三個點的縱坐標的平方成等差數列，那么這三個點到拋物線焦點F的距離的關系是()A成等差數列B既成等差數列又成等比數列C成等比數列D既不成等比數列也不成等差數列考點題點答案A解析設三點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，則y2px1，y2px2，y2px3，因為2yyy，所以x1x32x2，即|P1F|P3F|2，所以|P1F|P3F|2|P2F|.3拋物線x24y的焦點為F，過點F作斜率為的直線l與拋物線在
10、y軸右側的部分相交于點A，過點A作拋物線準線的垂線，垂足為H，則AHF的面積是()A4B3C4D8答案C解析由拋物線的定義可得|AF|AH|，AF的斜率為，AF的傾斜角為30，AH垂直于準線，FAH60，故AHF為等邊三角形設A，m0，過F作FMAH于M，則在FAM中，|AM|AF|，1，解得m2，故等邊三角形AHF的邊長|AH|4，AHF的面積是44sin604.故選C.4過拋物線y22px(p0)的焦點F作傾斜角為60的直線l交拋物線于A，B兩點，且|AF|BF|，則的值為()A3B2C.D.考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關的其它問題答案A解析由拋物線的性質可知，|AF|，|BF
11、|，3.5已知拋物線y24x的焦點為F，過焦點F的直線與拋物線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yy的最小值為()A4B6C8D10考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關的其它問題答案C解析由焦點弦的性質知，y1y24，即|y1|y2|4，則yy2|y1|y2|8，當且僅當|y1|y2|2時，取等號故yy的最小值為8.6過拋物線y24x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是坐標原點，則|AF|BF|的最小值是()A2B.C4D2答案C解析設直線AB的傾斜角為，可得|AF|，|BF|，則|AF|BF|4.7.如圖，過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交
12、其準線于點C，若|BC|3|BF|，且|AF|4，則p的值為()A.B2C.D.考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關的其它問題答案C解析設直線l的傾斜角為，由焦點弦的性質知，|BF|，|AF|，解得8設拋物線C：y24x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點若|AF|3|BF|，則l的方程為()Ayx1或yx1By(x1)或y(x1)Cy(x1)或y(x1)Dy(x1)或y(x1)考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關的其它問題答案C解析當cos0時，|AF|，|BF|.由|AF|3|BF|，即cos，此時tan，當cos0)上一動點，A(a,0)(a0)為其對稱軸上一點，直線M
13、A與拋物線的另一個交點為N.當A為拋物線的焦點且直線MA與其對稱軸垂直時，OMN的面積為.(1)求拋物線的標準方程；(2)記t，若t的值與M點位置無關，則稱此時的點A為“穩(wěn)定點”，試求出所有“穩(wěn)定點”，若沒有，請說明理由考點題點解(1)由題意知，當直線MA與拋物線對稱軸垂直時，SMON|OA|MN|2p，p3，故拋物線C的標準方程為y26x.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線MN的方程為xmya，聯立得y26my6a0，所以36m224a0，y1y26m，y1y26a，由對稱性，不妨設m0，因為a0，所以y1y26a0，所以y1，y2異號，又tt2.所以，當且僅當10即a時，t與m無關，A為穩(wěn)定點16
2020版高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破二 焦點弦的性質學案（含解析）新人教B版選修2-1
