2022年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題25 平面向量的模長問題

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1、2022年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題25 平面向量的模長問題平面向量中涉及模長的問題，常用解法是將模長進行平方，利用向量數(shù)量積的知識進行解答；另外，向量是一個工具型的知識，具備代數(shù)和幾何特征，因此，解答這類問題時可以利用數(shù)形結合的思想，利用代數(shù)和幾何特征，會加快解題速度. 本專題擬通過典型例題，介紹代數(shù)法和幾何法兩種思路，以期對大家有所啟發(fā).（一）代數(shù)法 利用代數(shù)方法處理向量的模長問題，主要采取模長平方數(shù)量積和坐標兩種方式1、模長平方：通過可得：，將模長問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題，從而能夠與條件中的已知向量（已知模長，夾角的基向量）找到聯(lián)系.要注意計算完向量數(shù)量積后別忘記開方2、坐標運

2、算：若，則.某些題目如果能把幾何圖形放入坐標系中，則只要確定所求向量的坐標，即可求出（或表示）出模長3、有關模長的不等問題：通?？紤]利用“模長平方”或“坐標化”得到模長與某個變量間的函數(shù)關系，從而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題（二）幾何法1、向量和差的幾何意義：已知向量，則有：（1）若共起點，則利用平行四邊形法則求，可得是以為鄰邊的平行四邊形的對角線（2）若首尾相接，則利用三角形法則求出，可得，圍成一個三角形2、向量數(shù)乘的幾何意義：對于（1）共線（平行）特點：與為共線向量，其中時，與同向；時，與反向（2）模長關系：3、與向量模長問題相關的定理：（1）三角形中的相關定理：設三個內(nèi)角所對的邊為 正弦定

3、理： 余弦定理：（2）菱形：對角線垂直平分，且為內(nèi)角的角平分線特別的，對于底角的菱形，其中一條對角線將此菱形分割為兩個全等的等邊三角形.（3）矩形：若四邊形的平行四邊形，則對角線相等是該四邊形為矩形的充要條件4、利用幾何法求模長的條件：條件中的向量運算可構成特殊的幾何圖形，且所求向量與幾何圖形中的某條線段相關，則可考慮利用條件中的幾何知識處理模長 【經(jīng)典例題】例1.【浙江省部分市學校（新昌一中、臺州中學等）2018屆高三上學期9+1聯(lián)考】如圖，點在以為直徑的圓上，其中，過向點處的切線作垂線，垂足為，則的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】連結，則的最大值為1故選B點睛：（1

4、）向量的運算將向量與代數(shù)有機結合起來，這就為向量和函數(shù)的結合提供了前提，運用向量的有關知識可以解決某些函數(shù)問題；（2）以向量為載體求相關變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結合的一類綜合問題；（3）向量的兩個作用：載體作用：關鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學問題；工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.例2.已知向量的夾角為，且，則（ ）A. B. C. D. 【答案】【解析】思路：本題利用幾何圖形可解，運用向量加減運算作出如下圖形：可知，只需利用余弦定理求出 即可.解1：如圖可得：，在中，有： 例3. 已知向量，且，則的取值范圍是（

5、 ）A. B. C. D. 【答案】解2：因為 即例4.【2018屆浙江省杭州市高三第二次檢測】記的最大值和最小值分別為和.若平面向量滿足 則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知可得：，建立平面直角坐標系，可得：點睛：本題主要考查的知識點是向量的數(shù)量積及模的關系.通過建立平面直角坐標系將其轉(zhuǎn)化為點與圓的位置關系，就可以求出距離的最值，解答本題的關鍵是轉(zhuǎn)化，理解并掌握本題的解題方法.有一定的難度.例5.【2018屆北京市城六區(qū)高三一模】已知點在圓 上，點在圓 上，則下列說法錯誤的是A. 的取值范圍為B. 取值范圍為C. 的取值范圍為D. 若，則實數(shù)的取值范圍為【答案】B【解析】

6、M在圓C1上，點N在圓C2上，MON90，0，又OM+1，ON+1，當OM=+1，ON=+1時，取得最小值（+1）2cos=32，故A正確；設M（1+cos，1+sin），N（1+cos，1+sin），則=（cos+cos，sin+sin），2=2coscos+2sinsin+2=2cos（）+2，02，故B錯誤；故選B例6.【2017浙江，15】已知向量a，b滿足則的最小值是_，最大值是_【答案】4，【解析】 【名師點睛】本題通過設入向量的夾角，結合模長公式， 解得，再利用三角有界性求出最大、最小值，屬中檔題，對學生的轉(zhuǎn)化能力和最值處理能力有一定的要求例7.【2017課標1，理13】已知向量

7、a，b的夾角為60，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= .【答案】【解析】試題分析：所以.秒殺解析：利用如下圖形，可以判斷出的模長是以2為邊長的菱形對角線的長度，則為.例8.【2018屆山西省孝義市高三下學期一?！恳阎蛄颗c的夾角是，且，則向量與的夾角是_【答案】【解析】分析：先根據(jù)題意畫出平行四邊形，再解三角形得解.詳解：如圖所示，所以向量與的夾角是120. 故填120. 例9.【2018屆湖北省高三4月調(diào)研】已知向量與的夾角為30，則的最大值為_【答案】【解析】分析：由題意，利用基本不等式和向量的運算，求的，進而可求得的最大值.所以，當且僅當時，等號成立，所以.點睛：平面向量

8、的計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担善鸬交睘楹喌拿钣?，利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關角度問題、線段長問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決例10.已知平面向量滿足，且，若向量的夾角為，則的最大值是_.【答案】，即答案：【精選精練】1已知正方形ABCD的邊長為1， 則等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根據(jù)平面向量的基本定理，得到，即可求解其模詳解：因為正方形的邊長為，則，因為，所以，故選C點睛：本題考查了兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，向量的模

9、模的方法，運用向量和三角形法則求出向量的和是解題的關鍵2.【2018屆山東省棲霞市第一中學高三4月模擬】已知向量，且，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D3.【浙江省嘉興第一中學2018屆高三9月基礎知識測試】若，且，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】故選：D.4對于任意向量，下列說法正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由題意，根據(jù)向量加法的三角形法則，且三角形兩邊之差小于第三邊，則，同理，所以，故正確答案為A.5已知向量， 滿足： 則A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用向量的數(shù)量積運算及向量的模運算即可求出詳解：|=

10、3，|=2，|+|=4，|+|2=|2+|2+2=16，2=3，|2=|2+|22=9+43=10，|=，故選：D6【2018屆四川省綿陽市三診】中， ， ， ，點是內(nèi)（包括邊界）的一動點，且 ，則的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B因為，所以的最大值為，故，選B.點睛：本題中向量的模長、數(shù)量積都是已知的，故以其為基底計算，其中的取值范圍可以由的位置來確定.7【2018屆遼寧省部分重點中學協(xié)作體高考模擬】已知是邊長為1的正三角形，若點滿足，則的最小值為（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】分析：以為原點，以為軸，建立坐標系，可得， ，利用配方法可得的最小值.，故選C

11、.點睛：本題主要考查向量的模與平面向量的坐標運算，屬于難題向量的運算有兩種方法，一是幾何運算，往往結合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運算法則是：（）平行四邊形法則；（）三角形法則；二是坐標運算：建立坐標系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答（求最值與求范圍問題往往運用坐標運算來解答）. 8【2018屆湖南省永州市三模】在中，是上一點，且，則等于（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】 在中，是是上一點，且， 如圖所示， 設，所以， 所以， 解得，所以，故選C 8.【浙江省臺州市2018屆高三上學期期末】已知， 是兩個非零向量，且， ，則的最大值為（ ）A. B. C. 4 D. 【答

12、案】B【解析】9【2018屆四川省蓉城名校高三4月聯(lián)考】已知圓： ， ： ，動圓滿足與外切且與內(nèi)切，若為上的動點，且，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】圓： ，圓： ， ，選A.10設向量， ， 滿足， ， 則的最大值等于（ ）A. 2 B. C. D. 1【答案】A【解析】，且，的夾角為120，設 則 如圖所示，則AOB=120；ACB=60AOB+AOC=180A，O，B，C四點共圓， 由三角形的正弦定理得外接圓的直徑2R=.當OC為直徑時， 最大，最大為2故選：A點睛：本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式、余弦定理的應用，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角， （此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量 的模（平方后需求）.11.，與的夾角為，則的最小值是_,的最小值是_【答案】 ,即的最小值是.12.【2018屆天津市十二校二?！恳阎苯翘菪沃?，是腰上的動點，則的最小值為_【答案】【解析】分析：以為軸，為原點,過與垂直的直線為軸，建立坐標系，可設，可得，利用二次函數(shù)配方法可得結果.詳解：以為軸，為原點,過與垂直的直線為軸，建立坐標系，即的最小值為，故答案為.