《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)思想 第1講 數(shù)學(xué)文化學(xué)案 文 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)思想 第1講 數(shù)學(xué)文化學(xué)案 文 新人教A版（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第1講數(shù)學(xué)文化滲透數(shù)學(xué)的美 典型例題 (1)(2019高考全國卷)古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是(0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是()A165 cmB175 cmC185 cm D190 cm(2)(2019高考全國卷)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)半正多面
2、體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有_個面，其棱長為_【解析】(1)不妨設(shè)此人咽喉至肚臍的長度為x cm，則0.618，得x42，故此人身高大約為2642105173(cm)，考慮誤差，結(jié)合選項，可知選B.(2)依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個面都在正方體的表面上，且該半正多面體由18個正方形和8個正三角形圍成，因此題中的半正多面體共有26個面注意到該多面體的俯視圖的輪廓是一個正八邊形，設(shè)題中的半正多面體的棱長為x，則xxx1，
3、解得x1，故題中的半正多面體的棱長為1.【答案】(1)B(2)261數(shù)學(xué)文化的美學(xué)特征是構(gòu)成數(shù)學(xué)文化的重要內(nèi)容數(shù)學(xué)美表現(xiàn)為一種抽象、嚴謹、含蓄的理性美，從表現(xiàn)形式上分為數(shù)學(xué)內(nèi)容的和諧美、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的形式美、幾何圖形的構(gòu)造美、數(shù)學(xué)公式的簡潔美縱觀數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一切公式、公理和定理，無不是對客觀世界存在的秩序、對稱、和諧、統(tǒng)一的美的反映 對點訓(xùn)練太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圖案，它形象化地表達了陰陽輪轉(zhuǎn)、相反相成是萬物生成變化根源的哲理，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的形式美按照太極圖的構(gòu)圖方法，在平面直角坐標(biāo)系中，圓O被函數(shù)y3sinx的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案(如圖)，其中小圓的半徑均為1，現(xiàn)從
4、大圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為()A. B.C. D.解析：選B.函數(shù)y3sinx的圖象與x軸相交于點(6，0)和點(6，0)，則大圓的半徑為6，面積為36，而小圓的半徑為1，兩個小圓的面積和為2，所以所求的概率是，故選B.滲透古代名家(學(xué)派)的研究 典型例題 (1)兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題他們在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù)，按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類如圖中實心點的個數(shù)5，9，14，20，為梯形數(shù)根據(jù)圖形的構(gòu)成，記此數(shù)列的第2 017項為a2 017，則a2 0175()A2 0232 017B2 0232 016C1 0082
5、023 D2 0171 008(2)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率，理論上能把的值計算到任意精度祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將的值精確到小數(shù)點后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年“割圓術(shù)”的第一步是計算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6，S6_【解析】(1)觀察梯形數(shù)的前幾項，得523a1，9234a2，142345a3，an23(n2)(n1)(n4)，由此可得a2 0172 0182 0211 0092 021.所以a2 0175(1 0081)(2 0232)51 0082 023.(2)由題意，得S6611sin 60.【答案】(1)C(2)本例(1)以古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的研
6、究故事為背景，本例(2)以我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”為命題背景，分別考查了數(shù)列問題和圓內(nèi)接正六邊形的面積問題其中畢達哥拉斯學(xué)派的“形數(shù)”問題，備受命題者的青睞，已成為高考命題的熱點問題對點訓(xùn)練1(2019長沙市統(tǒng)一模擬考試)我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”“冪”是面積，“勢”是高，意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所載，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示三視圖對應(yīng)的幾何體滿足“冪勢同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為()A8 B8C8 D4解析：選B.題
7、中三視圖對應(yīng)的幾何體是一個棱長為2的正方體挖去一個底面半徑為1、高為2的半圓柱后剩余的部分，三視圖對應(yīng)的幾何體的體積V231228，由祖暅原理得不規(guī)則幾何體的體積為8，故選B.2(2019江西七校第一次聯(lián)考)意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列an稱為“斐波那契數(shù)列”，則a2 017a2 019a等于()A1 B1C2 017 D2 017解析：選A.因為a1a3a1211，a2a4a13221，a3a5a25321，a4a6a38
8、521，由此可知anan2a(1)n1，所以a2 017a2 019a(1)2 01711，故選A.滲透古代數(shù)學(xué)名著典型例題 (1)(2019湖南省五市十校聯(lián)考)算法統(tǒng)宗是中國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位所著，該書完善了珠算口訣，確立了算盤用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變，對我國民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識起到了很大的作用如圖所示程序框圖的算法思路源于該書中的“李白沽酒”問題，執(zhí)行該程序框圖，若輸入a的值為4，則輸出的m的值為()A19B35C67 D131(2)數(shù)書九章中對已知三角形三邊長求三角形面積的求法填補了我國數(shù)學(xué)史中的一個空白，雖與著名的海倫公式形式上有所不同，但實質(zhì)完全等價，由此可
9、以看出我國古代已經(jīng)具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積”把以上這段文字用數(shù)學(xué)公式表示，即S(S，a，b，c分別表示三角形的面積、大斜、中斜、小斜)現(xiàn)有周長為42的ABC滿足sin Asin Bsin C(1)(1)，試用上面給出的數(shù)學(xué)公式計算ABC的面積為()A. B2C. D2【解析】(1)由題意，執(zhí)行程序框圖，可得a4，m5，i1，m7，滿足條件i4，執(zhí)行循環(huán)體，i2，m11，滿足條件i4，執(zhí)行循環(huán)體，i3，m19，滿足條件i4，執(zhí)行循環(huán)體，i4，m35，滿足條件i4，執(zhí)行循環(huán)體，i5，m
10、67，此時，不滿足條件i4，退出循環(huán)體，輸出m的值為67，故選C.(2)因為sin Asin Bsin C(1)(1)，則由正弦定理得abc(1)(1)設(shè)a(1)x，bx，c(1)x，又周長為42，所以42(1)xx(1)x，解得x2.所以S.故選A.【答案】(1)C(2)A中國古代數(shù)學(xué)取得了極其輝煌的成就，出現(xiàn)了劉徽、祖沖之等偉大的數(shù)學(xué)家，以及九章算術(shù)等經(jīng)典的數(shù)學(xué)傳世之作，這些中國古代數(shù)學(xué)名著是我們的豐富寶庫，繼新課程改革以來，高考題中出現(xiàn)了一些以古代名著為命題背景的試題，涉及的有九章算術(shù)、數(shù)書九章、算法統(tǒng)宗等從某種意義上講，這些試題的價值實際上已遠遠超出了試題本身 對點訓(xùn)練1九章算術(shù)中有這
11、樣一個問題：“今有圓堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺問積幾何？術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”這里所說的圓堢壔就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圓柱體的體積為V底面圓的周長的平方高，由此可推得圓周率的取值為()A3B3.1C3.14 D3.2解析：選A.設(shè)圓柱體的底面半徑為r，高為h，由圓柱的體積公式得，體積為Vr2h.由題意知V(2r)2h，所以r2h(2r)2h，解得3.故選A.2周髀算經(jīng)中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大的正方形，如圖所示，若圖中直角三角形兩銳角分別為，且小正方形與大正方形的面積之比為49，則cos()
12、的值為()A. B.C. D0解析：選A.設(shè)大正方形的邊長為1，由小正方形與大正方形的面積之比為49，可得小正方形的邊長為，則cos sin ，sin cos .由題意可得，所以cos sin ，sin cos .，可得cos sin sin cos cos cos sin sin sin2cos2cos()1cos()，所以cos().故選A.一、選擇題1我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有一衰分問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣()A104人B108人C112人 D120人解析：選B.由題設(shè)可知這是一個分層抽樣的問題，其中北鄉(xiāng)可抽取的
13、人數(shù)為300300108.故選B.2如圖，半徑為1的圓形古幣內(nèi)有一陰影區(qū)域，在圓內(nèi)隨機撒一大把豆子，共n顆，其中，落在陰影區(qū)域內(nèi)的豆子共m顆，則陰影區(qū)域的面積約為()A. B.C. D.解析：選C.設(shè)陰影區(qū)域的面積為S，由幾何概型概率計算公式可得，所以S，故選C.3將元代著名數(shù)學(xué)家朱世杰的四元玉鑒中的一首詩改編如下：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當(dāng)原多少酒？”用程序框圖表示如圖，用x表示壺中原有酒的量，可知最終輸出的x0，則一開始輸入的x的值為()A. B.C4 D.解析：選D.這是一道函數(shù)與程序框圖相結(jié)合的題，當(dāng)i1時，酒量為2x1；當(dāng)
14、i2時，酒量為2(2x1)14x3；當(dāng)i3時，酒量為2(4x3)18x7；當(dāng)i4時，酒量為0，即2(4x3)10，解得x.故選D.4大衍數(shù)列，來源于乾坤譜中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列第20項為()A180 B200C128 D162解析：選B.根據(jù)前10項可得規(guī)律：每兩個數(shù)增加相同的數(shù)，且增加的數(shù)構(gòu)成首項為2，公差為2的等差數(shù)列可得從第11項到20項為60，72，84，
15、98，112，128，144，162，180，200.所以此數(shù)列第20項為200.5中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)”其意思為：“有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，走了六天后(第六天剛好用完)到達目的地”若將此問題改為“第6天到達目的地”，則此人第二天至少走了()A96里 B48里C72里 D24里解析：選A.根據(jù)題意知，此人每天行走的路程構(gòu)成了公比為的等比數(shù)列設(shè)第一天走a1里，則第二天走a2a1(里)易知378，則a1192.則第二天至少走96里故選A.6遠古時
16、期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計數(shù)”如圖所示的是一位母親記錄的孩子自出生后的天數(shù)，在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié)，滿七進一，根據(jù)圖示可知，孩子已經(jīng)出生的天數(shù)是()A336 B510C1 326 D3 603解析：選B.由題意滿七進一，可得該圖示為七進制數(shù)，化為十進制數(shù)為173372276510.7.漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解周髀算經(jīng)時給出的“趙爽弦圖”(如圖)，四個全等的直角三角形(朱實)，可以圍成一個大的正方形，中空部分為一個小正方形(黃實)若直角三角形中一條較長的直角邊長為8，直角三角形的面積為24，若在上面扔一顆玻璃小球，則小球落在“黃實”區(qū)域的概率為()A. B.C. D.
17、解析：選C.因為直角三角形中一條較長的直角邊長為8，直角三角形的面積為24，所以可得另外一條直角邊長為6，所以小正方形的邊長為862，則“黃實”區(qū)域的面積為224，因為大正方形的面積為8262100，所以小球落在“黃實”區(qū)域的概率為，故選C.8九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系其中方田章有弧田面積計算問題，術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一其大意是，弧田面積計算公式為：弧田面積(弦矢矢矢)弧田是由圓弧(弧田弧)和以圓弧的端點為端點的線段(弧田弦)圍成的平面圖形，公式中的“弦”指的是弧田弦的長，“矢”指的是弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之
18、差現(xiàn)有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圓為圓O，若用上述弧田面積計算公式算得該弧田的面積為平方米，則cosAOB()A. B.C. D.解析：選D.如圖，依題意AB6，設(shè)CDx(x0)，則(6xx2)，解得x1.設(shè)OAy，則(y1)29y2，解得y5.由余弦定理得cosAOB，故選D.9(2019昆明市質(zhì)量檢測)數(shù)列Fn：1，1，2，3，5，8，13，21，34，稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱為“兔子數(shù)列”該數(shù)列從第三項開始，每項等于其前相鄰兩項之和記數(shù)列Fn的前n項和為Sn，則下列結(jié)論正確的是()AS2 019F2 021
19、1 BS2 019F2 0212CS2 019F2 0201 DS2 019F2 0202解析：選A.根據(jù)題意有FnFn1Fn2(n3)，所以S3F1F2F31F1F2F31F3F2F31F4F31F51，S4F4S3F4F51F61，S5F5S4F5F61F71，所以S2 019F2 0211.10中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，關(guān)于“芻童”體積計算的描述，九章算術(shù)注曰：“倍上袤，下袤從之亦倍下袤，上袤從之各以其廣乘之，并，以高乘之，六而一”其計算方法是：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個數(shù)值相加，與
20、高相乘，再取其六分之一已知一個“芻童”的下底面是周長為18的矩形，上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為()A. B.C39 D.解析：選B.設(shè)下底面的長為x，則下底面的寬為9x.由題可知上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，所以其體積V3(32x)2(2x3)(9x)x2，故當(dāng)x時，體積取得最大值，最大值為.故選B.11我國古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章中有“天池盆測雨”題，與題中描繪的器具形狀一樣(大小不同)的器具的三視圖如圖所示(單位：寸)若在某地下雨天時利用該器具接的雨水深度為6寸，則這一天該地的平均降雨量約為(注：平均降雨量等于器具中積水的體積除以器
21、具口的面積參考公式：圓臺的體積Vh(R2r2Rr)，其中R，r分別表示上、下底面的半徑，h為高)()A2寸 B3寸C4寸 D5寸解析：選A.由三視圖可知，該器具的上底面半徑為12寸，下底面半徑為6寸，高為12寸因為所接雨水的深度為6寸，所以水面半徑為(126)9(寸)，則盆中水的體積為6(629269)342(立方寸)，所以這一天該地的平均降雨量約為2(寸)，故選A.12(2019江西玉山一中期中)在九章算術(shù)中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖在鱉臑ABCD中，AB平面BCD，且BDCD，ABBDCD，點P在棱AC上運動，設(shè)CP的長度為x，若PBD的面積為f(x)，則函數(shù)yf(x)
22、的圖象大致是()解析：選A.如圖，作PQBC于點Q，作QRBD于點R，連接PR，則PQAB，QRCD.因為PQBD，且PQQRQ，所以BD平面PQR，所以BDPR，即PR為PBD中BD邊上的高設(shè)ABBDCD1，則，即PQ.又，所以QR，所以PR，所以f(x)，故選A.13楊輝三角又稱“賈憲三角”，是因為賈憲約在公元11世紀首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，而1261年楊輝在詳解九章算法一書中，輯錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于楊輝三角該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是()A2 0
23、1722 016 B2 01822 015C2 01722 015 D2 01822 016解析：選B.由題意，最后一行為第2 017行，且第1行的最后一個數(shù)為221，第2行的最后一個數(shù)為320，第3行的最后一個數(shù)為421第n行的最后一個數(shù)為(n1)2n2，則第2 017行僅有的一個數(shù)為2 01822 015，故選B.14(2019蓉城名校第一次聯(lián)考)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽，以他的名字“高斯”命名的成果達110個，其中的一個成果是：設(shè)xR，則yx稱為高斯函數(shù)，x表示不超過x的最大整數(shù)，如1.71，1.22，并用x表示x的非負純小數(shù)，即xxx，若方程x1kx有且僅有4個實
24、數(shù)根，則正實數(shù)k的取值范圍為()A. B.C. D.解析：選D.根據(jù)題意可得函數(shù)yx在x軸正半軸的圖象如圖所示，函數(shù)y1kx為過定點P(0，1)的直線，所以要使方程x1kx有且僅有4個實數(shù)根且k為正實數(shù)，則直線y1kx應(yīng)在PA，PB之間以及恰好在PA處，所以k0，1)，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓如動點M與兩定點A，B(5，0)的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為x2y29.下面，我們來研究與此相關(guān)的一個問題已知圓O：x2y21上的動點M和定點A，B(1，1)，則2|MA|MB|的最小值為_解析：如圖，取點K(2，0)，連接OM，MK.因為|OM|1，|OA|，|OK|2，所以2.因為MOKAOM，所以MOKAOM，所以2，所以|MK|2|MA|，所以|MB|2|MA|MB|MK|，易知|MB|MK|BK|，所以|MB|2|MA|MB|MK|的最小值為|BK|的長因為B(1，1)，K(2，0)，所以|BK|.答案：- 15 -
（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)思想 第1講 數(shù)學(xué)文化學(xué)案 文 新人教A版
