2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 8 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像與性質(zhì)(二)學(xué)案 北師大版必修4

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2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 8 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像與性質(zhì)(二)學(xué)案 北師大版必修4_第1頁
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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 8 函數(shù)yAsin(x)的圖像與性質(zhì)(二)學(xué)案 北師大版必修4學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)yAsin(x)的圖像.2.能根據(jù)yAsin(x)的部分圖像,確定其解析式.3.了解yAsin(x)的圖像的物理意義,能指出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的振幅、周期、相位、初相.知識(shí)點(diǎn)一“五點(diǎn)法”作函數(shù)yAsin(x)(A0,0)的圖像思考1用“五點(diǎn)法”作ysin x,x0,2時(shí),五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次取哪幾個(gè)值?答案依次為0,2.思考2用“五點(diǎn)法”作yAsin(x)時(shí),五個(gè)關(guān)鍵的橫坐標(biāo)取哪幾個(gè)值?答案用“五點(diǎn)法”作函數(shù)yAsin(x)(xR)的簡(jiǎn)圖,先令tx,再由t取

2、0,2即可得到所取五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為,.梳理用“五點(diǎn)法”作yAsin(x) 的圖像的步驟:第一步:列表:x02xy0A0A0第二步:在同一坐標(biāo)系中描出各點(diǎn).第三步:用光滑曲線連接這些點(diǎn),形成圖像.知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)yAsin(x),A0,0的性質(zhì)名稱性質(zhì)定義域R值域A,A周期性T對(duì)稱性對(duì)稱中心(kZ)對(duì)稱軸x(kZ)奇偶性當(dāng)k(kZ)時(shí)是奇函數(shù);當(dāng)k(kZ)時(shí)是偶函數(shù)單調(diào)性通過整體代換可求出其單調(diào)區(qū)間知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)yAsin(x),A0,0中參數(shù)的物理意義1.函數(shù)y2sin的振幅是2.()提示振幅是2.2.函數(shù)ysin的初相是.()提示初相是.3.函數(shù)ysin的圖像的對(duì)稱軸方程是xk,kZ.()

3、提示令xk,kZ,解得xk,kZ,即f(x)的圖像的對(duì)稱軸方程是xk,kZ.類型一用“五點(diǎn)法”畫yAsin(x)的圖像例1利用五點(diǎn)法作出函數(shù)y3sin在一個(gè)周期內(nèi)的圖像.考點(diǎn)用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡(jiǎn)圖題點(diǎn)用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡(jiǎn)圖解依次令0,2,列出下表:02xy03030描點(diǎn),連線,如圖所示.反思與感悟(1)用“五點(diǎn)法”作圖時(shí),五點(diǎn)的確定,應(yīng)先令x分別為0,2,解出x,從而確定這五點(diǎn).(2)作給定區(qū)間上yAsin(x)的圖像時(shí),若xm,n,則應(yīng)先求出x的相應(yīng)范圍,在求出的范圍內(nèi)確定關(guān)鍵點(diǎn),再確定x,y的值,描點(diǎn)、連線并作出函數(shù)的圖像.跟蹤訓(xùn)練1已知f(x)1sin,畫出f(x)在x上的圖

4、像.考點(diǎn)用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡(jiǎn)圖題點(diǎn)用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的簡(jiǎn)圖解(1)x,2x.列表如下:x2x0f(x)211112(2)描點(diǎn),連線,如圖所示.類型二由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式例2如圖是函數(shù)yAsin(x)的圖像,求A,的值,并確定其函數(shù)解析式.考點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式題點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式解方法一(逐一定參法)由圖像知振幅A3,又T,2.由點(diǎn)可知,20,得,y3sin.方法二(待定系數(shù)法)由圖像知A3,又圖像過點(diǎn)和,根據(jù)五點(diǎn)作圖法原理(以上兩點(diǎn)可判為“五點(diǎn)法”中的第三點(diǎn)和第五點(diǎn)),有解得y3sin.方法三(圖像變換法)由T,點(diǎn),A3可知,圖

5、像是由y3sin 2x向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的,y3sin,即y3sin.反思與感悟若設(shè)所求解析式為yAsin(x),則在觀察函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上,可按以下規(guī)律來確定A,.(1)由函數(shù)圖像上的最大值、最小值來確定|A|.(2)由函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)確定T,由T,確定.(3)確定函數(shù)yAsin(x)的初相的值的兩種方法代入法:把圖像上的一個(gè)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入(此時(shí)A,已知)或代入圖像與x軸的交點(diǎn)求解.(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法:確定值時(shí),往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口.“五點(diǎn)”的x的值具體如下:“第一點(diǎn)”(即圖像上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x0;“第二點(diǎn)”(即

6、圖像的“峰點(diǎn)”)為x;“第三點(diǎn)”(即圖像下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x;“第四點(diǎn)”(即圖像的“谷點(diǎn)”)為x;“第五點(diǎn)”為x2.跟蹤訓(xùn)練2(2017貴州貴陽一中期末考試)已知函數(shù)f(x)sin(x)(0)的部分圖像如圖所示,則 .考點(diǎn)求三角函數(shù)的解析式題點(diǎn)根據(jù)三角函數(shù)的圖像求解析式答案解析由圖,知,T,又T,.類型三函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用例3已知曲線yAsin(x)上最高點(diǎn)為(2,),該最高點(diǎn)與相鄰的最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)(6,0).(1)求函數(shù)的解析式;(2)求函數(shù)在x6,0上的值域.考點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用解(1)由題意可知A,624,T16,即16,ysi

7、n.又圖像過最高點(diǎn)(2,),sin1,故2k,kZ,2k,kZ,由|,得,ysin.(2)6x0,x,sin1.即函數(shù)在x6,0上的值域?yàn)椋?.跟蹤訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x)(0),函數(shù)yf(x)的圖像的一條對(duì)稱軸是直線x.(1)求的值;(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間及最值.考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用解(1)由2xk,kZ,得x,令,得k,kZ.0,.(2)由(1)知,f(x)sin.由2k2x2k(kZ),得kxk(kZ),故函數(shù)的遞增區(qū)間是(kZ).同理可得函數(shù)的遞減區(qū)間是(kZ)當(dāng)2x2k(kZ),即xk(kZ)時(shí),函數(shù)取得最大值1;當(dāng)2x

8、2k(kZ),即xk(kZ)時(shí),函數(shù)取得最小值1.1.函數(shù)yAsin(x)(A0,0)的圖像的一段如圖所示,它的解析式可以是()A.ysinB.ysinC.ysinD.ysin考點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式題點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式答案A解析由圖像可得A,所以T,所以2,所以ysin(2x).將點(diǎn)的坐標(biāo)代入ysin(2x),得sin,則sin1,所以2k(kZ),即2k(kZ).又00)的最小正周期為,則該函數(shù)的圖像()A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于直線x對(duì)稱C.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.關(guān)于直線x對(duì)稱考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案A解析2,所以f

9、(x)sin.將x代入f(x)sin,得f0,故選A.5.已知函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖像如圖所示.(1)求f(x)的解析式;(2)寫出f(x)的遞增區(qū)間.考點(diǎn)三角函數(shù)yAsin(x)的綜合問題題點(diǎn)三角函數(shù)yAsin(x)的綜合問題解(1)易知A,T42(2)16,f(x)sin,將點(diǎn)(2,0)代入得sin0,令0,f(x)sin.(2)由2kx2k,kZ,解得16k6x16k2,kZ,f(x)的遞增區(qū)間為16k6,16k2,kZ.1.利用“五點(diǎn)”法作函數(shù)yAsin(x)的圖像時(shí),要先令“x”這一個(gè)整體依次取0,2,再求出x的值,這樣才能得到確定圖像的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),而不是先確定x的值,后

10、求“x”的值.2.由函數(shù)yAsin(x)的部分圖像確定解析式關(guān)鍵在于確定參數(shù)A,的值.(1)一般可由圖像上的最大值、最小值來確定|A|.(2)因?yàn)門,所以往往通過求得周期T來確定,可通過已知曲線與x軸的交點(diǎn)從而確定T,即相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為;相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))之間的距離為T.(3)從尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)(也叫初始點(diǎn))作為突破口,以yAsin(x) (A0,0)為例,位于遞增區(qū)間上離y軸最近的那個(gè)零點(diǎn)最適合作為“五點(diǎn)”中的第一個(gè)點(diǎn).3.在研究yAsin(x)(A0,0)的性質(zhì)時(shí),注意采用整體代換的思想,如函數(shù)在x2k(kZ)時(shí)取得最大值,在x2k(kZ)時(shí)取得最小值

11、.一、選擇題1.若函數(shù)f(x)3sin(x)對(duì)任意x都有ff,則有f等于()A.3或0 B.3或0C.0 D.3或3考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案D解析由ff知,x是函數(shù)的對(duì)稱軸,解得f3或3,故選D.2.如圖所示,函數(shù)的解析式為()A.ysin B.ysinC.ycos D.ycos考點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式題點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式答案D解析由圖知T4,2.又當(dāng)x時(shí),y1,經(jīng)驗(yàn)證,可得D項(xiàng)解析式符合題目要求.3.函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖像如圖所示,為了得到g(x)sin 3x的圖像,則只要將f(x)的圖像()A.向

12、右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度考點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用答案B解析由圖像知,函數(shù)f(x)的周期T4,所以3.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像過圖中最小值點(diǎn),所以A1且sin1,又因?yàn)閨0,0)的圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,然后再向左平移個(gè)單位,得到一個(gè)最小正周期為2的奇函數(shù)g(x),則和的值分別為()A.1, B.2, C., D.,考點(diǎn)函數(shù)yAcos(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAcos(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案B解析依題意得f(x)第一次變換得到的函數(shù)解析式為m(x)2cos,則函數(shù)g(x)2cos.因?yàn)楹瘮?shù)g(x

13、)的最小正周期為2,所以2,則g(x)2cos.又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),0,所以k(kZ),則.5.函數(shù)f(x)cos(x)的部分圖像如圖所示,則f(x)的遞減區(qū)間為()A.,kZB.,kZC.,kZD.,kZ考點(diǎn)函數(shù)yAcos(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAcos(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案D解析由圖像知,周期T22,2,.由2k,kZ,不妨取,f(x)cos.由2kx2k,kZ,得2kx0,0,0)為奇函數(shù),該函數(shù)的部分圖像如圖所示,EFG是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,則f(1)的值為()A. B.C. D.考點(diǎn)函數(shù)yAcos(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAcos(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案D解析由函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且00,)

14、的圖像如圖所示,則 .考點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式題點(diǎn)由圖像求函數(shù)yAsin(x)的解析式答案解析由圖像知函數(shù)ysin(x)的周期為2,.當(dāng)x時(shí),y有最小值1,2k(kZ),即2k(kZ).0,0)上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為,此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn),若.(1)試求這條曲線的函數(shù)表達(dá)式;(2)用“五點(diǎn)法”畫出(1)中函數(shù)在0,上的圖像.考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的綜合問題題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的綜合問題解(1)由題意知A,T4,2,ysin(2x).又sin1,2k,kZ,2k,kZ.又,ysin.(2)列出x,y的對(duì)應(yīng)值表:x02x2y1001描點(diǎn),連線,如圖所示.12.

15、已知函數(shù)f(x)2sin1(00)為偶函數(shù),且函數(shù)f(x)的圖像的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為.(1)求f的值;(2)將函數(shù)f(x)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,再將得到的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的4倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)g(x)的圖像,求函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間.考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用解(1)f(x)為偶函數(shù),k(kZ),k(kZ).又0,f(x)2sin12cos x1.又函數(shù)f(x)的圖像的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為,T2,2,f(x)2cos 2x1,f2cos11.(2)將f(x)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)f的圖像,再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐

16、標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的4倍,縱坐標(biāo)不變,得到f的圖像.所以g(x)f2cos 212cos1.當(dāng)2k2k(kZ),即4kx4k(kZ)時(shí),g(x)是減函數(shù).函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是(kZ).四、探究與拓展13.設(shè)函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖像如圖所示,若x1,x2,且f(x1)f(x2),則f(x1x2)等于()A.1 B. C. D.考點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)題點(diǎn)函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的應(yīng)用答案D解析由圖像可得A1,解得2,f(x)sin(2x).點(diǎn)相當(dāng)于ysin x中的(0,0),令20,解得,滿足|0,0,|),在同一周期內(nèi),當(dāng)x時(shí),f(x)取得最大值3;當(dāng)x時(shí),f(x)取得最小值3.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間;(3)若x時(shí),函數(shù)h(x)2f(x)1m有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.考點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用題點(diǎn)三角函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用解(1)由題意,易知A3,T2,2,由22k,kZ,得2k,kZ.又|,f(x)3sin.(2)由2k2x2k,kZ,得kxk,kZ,函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為,kZ.(3)由題意知,方程sin在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)根.x,2x,sin,又方程有兩個(gè)實(shí)根,m13,7).

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