2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第1章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.2 充分條件和必要條件講義(含解析)蘇教版選修2-1

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第1章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.2 充分條件和必要條件講義(含解析)蘇教版選修2-1充分條件和必要條件如圖:p:開關(guān)A閉合,q:燈泡B亮問題1:p與q有什么關(guān)系?提示:命題p成立,命題q一定成立p:兩三角形相似,q:對應(yīng)角相等問題2:p與q有什么關(guān)系?提示:命題p成立,命題q一定成立一般地,如果pq,那么稱p是q的充分條件,q是p的必要條件充要條件已知p:整數(shù)x是6的倍數(shù);q:整數(shù)x是2和3的倍數(shù)問題1:“若p,則q”是真命題嗎?提示:是 問題2:“若q,則p”是真命題嗎?提示:是問題3:p是q的什么條件?提示:充要條件1如果pq,

2、且qp,那么稱p是q的充分必要條件簡稱p是q的充要條件,記作pq.2如果pq,且q / p,那么稱p是q的充分不必要條件3如果p / q,且qp,那么稱p是q的必要不充分條件4如果p / q,且q / p,那么稱p是q的既不充分又不必要條件原命題“若p,則q”,逆命題為“若q,則p”,則p與q的關(guān)系有以下四種情形:原命題逆命題p、q的關(guān)系真假p是q的充分不必要條件q是p的必要不充分條件假真p是q的必要不充分條件q是p的充分不必要條件真真p與q互為充要條件假假p是q的既不充分也不必要條件q是p的既不充分也不必要條件充分條件和必要條件的判斷例1對于二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0),下列結(jié)論正確

3、的是_b24ac0是函數(shù)f(x)有零點的充要條件;b24ac0是函數(shù)f(x)有零點的充分條件;b24ac0是函數(shù)f(x)有零點的必要條件;b24ac0;是錯誤的,因為函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)有零點時,方程ax2bxc0(a0)有實根,但未必有b24ac0,也有可能0;是正確的,因為b24ac1_x0;(2)ab_a2b2;(3)a2b22ab_ab;(4)A_A.解析:(1)由于命題“若x1,則x0”為真命題,則x1x0;(2)由于命題“若ab,則a2b2”為假命題,則ab/ a2b2;(3)由于命題“若a2b22ab,則ab”為真命題,且逆命題也為真命題,故a2b22abab;(4)

4、由于命題“若A,則A”為真命題,且逆命題也為真命題,故AA.答案:(1)(2) / (3)(4)2(福建高考改編)已知集合A1,a,B1,2,3,則“a3”是“AB”的_條件解析:因為A1,a,B1,2,3,若a3,則A1,3,所以AB;若AB,則a2或a3,所以AB / a3,所以“a3”是“AB”的充分不必要條件答案:充分不必要3指出下列各題中p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分又不必要條件”中選一個作答):(1)p:x30,q:(x2)(x3)0;(2)p:兩個三角形相似,q:兩個三角形全等;(3)p:ab,q:acbc;(4)p:ab,q:

5、acbc.解:(1)x30(x2)(x3)0,但(x2)(x3)0 / x30,故p是q的充分不必要條件(2)兩個三角形相似 / 兩個三角形全等,但兩個三角形全等兩個三角形相似,故p是q的必要不充分條件(3)abacbc,且acbcab,故p是q的充要條件(4)ab / acbc,且acbc / ab,故p是q的既不充分又不必要條件.充分條件、必要條件的應(yīng)用例2已知p:2x23x20,q:x22(a1)xa(a2)0,若p是q的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍思路點撥先利用不等式的解法確定命題p、q成立的條件,再根據(jù)p是q的充分不必要條件確定a的不等式組,求得a的范圍精解詳析令Mx|2x23

6、x20x|(2x1)(x2)0x|x或x2,Nx|x22(a1)xa(a2)0x|(xa)x(a2)0x|xa2或xa由已知pq且q / p,得MN.或a2或a2a2.即所求a的取值范圍是,2一點通根據(jù)充分條件或必要條件求參數(shù)范圍:(1)記集合Mx|p(x),Nx|q(x);(2)若p是q的充分不必要條件,則MN,若p是q的必要不充分條件,則NM,若p是q的充要條件,則MN;(3)根據(jù)集合的關(guān)系列不等式(組);(4)求參數(shù)范圍4已知p:關(guān)于x的不等式x,q:x(x3)0,若p是q的充分不必要條件,求實數(shù)m的取值范圍解:記A,Bx|x(x3)0x|0x3,若p是q的充分不必要條件,則AB.注意到

7、Bx|0x3,分兩種情況討論:(1)若A,即,求得m0,此時AB,符合題意;(2)若A,即0,要使AB,應(yīng)有解得0m3.綜上可得,實數(shù)m的取值范圍是(,3)5已知條件p:x2x60,條件q:mx10,且q是p的充分不必要條件,求m的值解:由題意得p:Ax|x3或x2,當(dāng)m0時,pB,當(dāng)m0時,P:B.q是p的充分不必要條件,BA.易知m0適合題意當(dāng)3或2,即m或m時,也適合題意m的值為或或0.求充要條件例3已知數(shù)列an的前n項和Snpnq(p0,p1),求數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件思路點撥根據(jù)數(shù)列的前n項和Sn與數(shù)列通項an的關(guān)系,先求出數(shù)列的通項an,根據(jù)數(shù)列an為等比數(shù)列,探求q所滿足的

8、條件,同時要注意充分性的證明精解詳析a1S1pq.當(dāng)n2時,anSnSn1pn1(p1),p0,p1,p.若an為等比數(shù)列,則p,p,p0,p1pq,q1.an為等比數(shù)列的必要條件是q1.下面證明q1是an為等比數(shù)列的充分條件當(dāng)q1時,Snpn1(p0,p1),a1S1p1;當(dāng)n2時,anSnSn1pnpn1pn1(p1),an(p1)pn1(p0,p1),p為常數(shù),q1時,數(shù)列an為等比數(shù)列即數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件為q1.一點通求充要條件一般有兩種方法:(1)等價轉(zhuǎn)化法將原命題進(jìn)行等價變形或轉(zhuǎn)化,直至獲得其成立的充要條件,求解的過程同時也是證明的過程,因為求解的過程的每一步都是等價的,

9、所以不需要將充分性和必要性分開來證(2)非等價轉(zhuǎn)化法先尋找必要條件,即將求充要條件的對象視為結(jié)論,尋找使之成立的條件;再證明此條件是該對象的充分條件,即從充分性和必要性兩方面說明6使函數(shù)f(x)|xa|在區(qū)間1,)上為增函數(shù)的充分不必要條件為_解析:由函數(shù)f(x)|xa|的圖像知,函數(shù)f(x)|xa|在區(qū)間1,)上為增函數(shù)的充要條件為a1,所以使“函數(shù)f(x)|xa|在區(qū)間1,)上為增函數(shù)”的充分不必要條件即求使“a1”成立的充分不必要條件,即填寫形如ap,且pb”是“a2b2”的充分條件;“a5”是“ab是a2b2的既不充分也不必要條件,故錯正確答案:4(北京高考改編)“”是“曲線ysin(

10、2x)過坐標(biāo)原點”的_條件解析:由sin 0可得k(kZ),此為曲線ysin(2x)過坐標(biāo)原點的充要條件,故“”是“曲線ysin(2x)過坐標(biāo)原點”的充分不必要條件答案:充分不必要5若p:x(x3)0是q:2x3m的充分不必要條件,則實數(shù)m的取值范圍是_解析:p:0x3,q:x,若p是q的充分不必要條件,則3,即m3.答案:3,)6求證:一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0,x1x20(x1,x2為方程的兩根),所以ac0.(2)充分性:由ac0及x1x20(x1,x2為方程的兩根)所以方程ax2bxc0有兩個相異實根,且兩根異號,即方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根綜上所述,一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0),若q是p的充分不必要條件,求實數(shù)m的取值范圍解:p:6x462x10.q:x22x1m20x(1m)x(1m)0(m0)1mx1m(m0)因為q是p的充分不必要條件即x|1mx1mx|2x10,如圖,故有或解得m3.又m0,所以實數(shù)m的范圍為m|0m3

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