2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第1章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.2 充分條件和必要條件講義（含解析）蘇教版選修2-1

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第1章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.2 充分條件和必要條件講義（含解析）蘇教版選修2-1充分條件和必要條件如圖：p：開關(guān)A閉合，q：燈泡B亮問題1：p與q有什么關(guān)系？提示：命題p成立，命題q一定成立p：兩三角形相似，q：對應(yīng)角相等問題2：p與q有什么關(guān)系？提示：命題p成立，命題q一定成立一般地，如果pq，那么稱p是q的充分條件，q是p的必要條件充要條件已知p：整數(shù)x是6的倍數(shù)；q：整數(shù)x是2和3的倍數(shù)問題1：“若p，則q”是真命題嗎？提示：是 問題2：“若q，則p”是真命題嗎？提示：是問題3：p是q的什么條件？提示：充要條件1如果pq，

2、且qp，那么稱p是q的充分必要條件簡稱p是q的充要條件，記作pq.2如果pq，且q / p，那么稱p是q的充分不必要條件3如果p / q，且qp，那么稱p是q的必要不充分條件4如果p / q，且q / p，那么稱p是q的既不充分又不必要條件原命題“若p，則q”，逆命題為“若q，則p”，則p與q的關(guān)系有以下四種情形：原命題逆命題p、q的關(guān)系真假p是q的充分不必要條件q是p的必要不充分條件假真p是q的必要不充分條件q是p的充分不必要條件真真p與q互為充要條件假假p是q的既不充分也不必要條件q是p的既不充分也不必要條件充分條件和必要條件的判斷例1對于二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)，下列結(jié)論正確

3、的是_b24ac0是函數(shù)f(x)有零點的充要條件；b24ac0是函數(shù)f(x)有零點的充分條件；b24ac0是函數(shù)f(x)有零點的必要條件；b24ac0；是錯誤的，因為函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)有零點時，方程ax2bxc0(a0)有實根，但未必有b24ac0，也有可能0；是正確的，因為b24ac1_x0；(2)ab_a2b2；(3)a2b22ab_ab；(4)A_A.解析：(1)由于命題“若x1，則x0”為真命題，則x1x0；(2)由于命題“若ab，則a2b2”為假命題，則ab/ a2b2；(3)由于命題“若a2b22ab，則ab”為真命題，且逆命題也為真命題，故a2b22abab；(4)

4、由于命題“若A，則A”為真命題，且逆命題也為真命題，故AA.答案：(1)(2) / (3)(4)2(福建高考改編)已知集合A1，a，B1,2,3，則“a3”是“AB”的_條件解析：因為A1，a，B1,2,3，若a3，則A1,3，所以AB；若AB，則a2或a3，所以AB / a3，所以“a3”是“AB”的充分不必要條件答案：充分不必要3指出下列各題中p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分又不必要條件”中選一個作答)：(1)p：x30，q：(x2)(x3)0；(2)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等；(3)p：ab，q：acbc；(4)p：ab，q：

5、acbc.解：(1)x30(x2)(x3)0，但(x2)(x3)0 / x30，故p是q的充分不必要條件(2)兩個三角形相似 / 兩個三角形全等，但兩個三角形全等兩個三角形相似，故p是q的必要不充分條件(3)abacbc，且acbcab，故p是q的充要條件(4)ab / acbc，且acbc / ab，故p是q的既不充分又不必要條件.充分條件、必要條件的應(yīng)用例2已知p：2x23x20，q：x22(a1)xa(a2)0，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍思路點撥先利用不等式的解法確定命題p、q成立的條件，再根據(jù)p是q的充分不必要條件確定a的不等式組，求得a的范圍精解詳析令Mx|2x23

6、x20x|(2x1)(x2)0x|x或x2，Nx|x22(a1)xa(a2)0x|(xa)x(a2)0x|xa2或xa由已知pq且q / p，得MN.或a2或a2a2.即所求a的取值范圍是，2一點通根據(jù)充分條件或必要條件求參數(shù)范圍：(1)記集合Mx|p(x)，Nx|q(x)；(2)若p是q的充分不必要條件，則MN，若p是q的必要不充分條件，則NM，若p是q的充要條件，則MN；(3)根據(jù)集合的關(guān)系列不等式(組)；(4)求參數(shù)范圍4已知p：關(guān)于x的不等式x，q：x(x3)0，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍解：記A，Bx|x(x3)0x|0x3，若p是q的充分不必要條件，則AB.注意到

7、Bx|0x3，分兩種情況討論：(1)若A，即，求得m0，此時AB，符合題意；(2)若A，即0，要使AB，應(yīng)有解得0m3.綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是(，3)5已知條件p：x2x60，條件q：mx10，且q是p的充分不必要條件，求m的值解：由題意得p：Ax|x3或x2，當(dāng)m0時，pB，當(dāng)m0時，P：B.q是p的充分不必要條件，BA.易知m0適合題意當(dāng)3或2，即m或m時，也適合題意m的值為或或0.求充要條件例3已知數(shù)列an的前n項和Snpnq(p0，p1)，求數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件思路點撥根據(jù)數(shù)列的前n項和Sn與數(shù)列通項an的關(guān)系，先求出數(shù)列的通項an，根據(jù)數(shù)列an為等比數(shù)列，探求q所滿足的

8、條件，同時要注意充分性的證明精解詳析a1S1pq.當(dāng)n2時，anSnSn1pn1(p1)，p0，p1，p.若an為等比數(shù)列，則p，p，p0，p1pq，q1.an為等比數(shù)列的必要條件是q1.下面證明q1是an為等比數(shù)列的充分條件當(dāng)q1時，Snpn1(p0，p1)，a1S1p1；當(dāng)n2時，anSnSn1pnpn1pn1(p1)，an(p1)pn1(p0，p1)，p為常數(shù)，q1時，數(shù)列an為等比數(shù)列即數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件為q1.一點通求充要條件一般有兩種方法：(1)等價轉(zhuǎn)化法將原命題進(jìn)行等價變形或轉(zhuǎn)化，直至獲得其成立的充要條件，求解的過程同時也是證明的過程，因為求解的過程的每一步都是等價的，

9、所以不需要將充分性和必要性分開來證(2)非等價轉(zhuǎn)化法先尋找必要條件，即將求充要條件的對象視為結(jié)論，尋找使之成立的條件；再證明此條件是該對象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明6使函數(shù)f(x)|xa|在區(qū)間1，)上為增函數(shù)的充分不必要條件為_解析：由函數(shù)f(x)|xa|的圖像知，函數(shù)f(x)|xa|在區(qū)間1，)上為增函數(shù)的充要條件為a1，所以使“函數(shù)f(x)|xa|在區(qū)間1，)上為增函數(shù)”的充分不必要條件即求使“a1”成立的充分不必要條件，即填寫形如ap，且pb”是“a2b2”的充分條件；“a5”是“ab是a2b2的既不充分也不必要條件，故錯正確答案：4(北京高考改編)“”是“曲線ysin(

10、2x)過坐標(biāo)原點”的_條件解析：由sin 0可得k(kZ)，此為曲線ysin(2x)過坐標(biāo)原點的充要條件，故“”是“曲線ysin(2x)過坐標(biāo)原點”的充分不必要條件答案：充分不必要5若p：x(x3)0是q：2x3m的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：p：0x3，q：x，若p是q的充分不必要條件，則3，即m3.答案：3，)6求證：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0，x1x20(x1，x2為方程的兩根)，所以ac0.(2)充分性：由ac0及x1x20(x1，x2為方程的兩根)所以方程ax2bxc0有兩個相異實根，且兩根異號，即方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根綜上所述，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0)，若q是p的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍解：p：6x462x10.q：x22x1m20x(1m)x(1m)0(m0)1mx1m(m0)因為q是p的充分不必要條件即x|1mx1mx|2x10，如圖，故有或解得m3.又m0，所以實數(shù)m的范圍為m|0m3