2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1.1 弧度制學(xué)案 新人教A版必修4

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1.1 弧度制學(xué)案 新人教A版必修4學(xué)習(xí)目標1.結(jié)合實際問題,了解角的概念的推廣及其實際意義.2.掌握象限角的概念(重點).3.掌握終邊相同的角的表示(重、難點)知識點1任意角的概念1角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形2角的表示頂點:用O表示;始邊:用OA表示,用語言可表示為起始位置終邊:用OB表示,用語言可表示為終止位置3角的分類類型定義圖示正角按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負角按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn),稱它形成了一個零角【預(yù)習(xí)評價】(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)經(jīng)過1小

2、時,時針轉(zhuǎn)過30.()(2)終邊與始邊重合的角是零角()(3)小于90的角是銳角()提示(1),因為是順時針旋轉(zhuǎn),所以時針轉(zhuǎn)過30(2),終邊與始邊重合的角是k360(kZ)(3),銳角是指大于0且小于90的角知識點2象限角如果角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,那么,角的終邊(除端點外)在第幾象限,就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限【預(yù)習(xí)評價】思考銳角屬于第幾象限角?鈍角又屬于第幾象限角?提示銳角屬于第一象限角,鈍角屬于第二象限角知識點3終邊相同的角所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S|k360,kZ,即任一與角終邊

3、相同的角,都可以表示成角與整數(shù)個周角的和【預(yù)習(xí)評價】與457角的終邊相同的角的集合是()A|457k360,kZB|97k360,kZC|263k360,kZD|263k360,kZ解析由于4571360972360263,故與457角的終邊相同的角的集合是|457k360,kZ|263k360,kZ答案C題型一與任意角有關(guān)的概念辨析【例1】(1)下列說法中,正確的是_(填序號)終邊落在第一象限的角為銳角;銳角是第一象限的角;第二象限的角為鈍角;小于90的角一定為銳角;角與的終邊關(guān)于x軸對稱解析終邊落在第一象限的角不一定是銳角,如400的角是第一象限的角,但不是銳角,故的說法是錯誤的;同理第二

4、象限的角也不一定是鈍角,故的說法也是錯誤的;小于90的角不一定為銳角,比如負角,故的說法是錯誤的答案(2)如圖,射線OA先繞端點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)60到OB處,再按順時針方向旋轉(zhuǎn)820至OC處,則_解析AOC60(820)760,(760720)40答案40規(guī)律方法判斷角的概念問題的關(guān)鍵與技巧(1)關(guān)鍵:正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念(2)技巧:判斷一種說法正確需要證明,而判斷一種說法錯誤只要舉出反例即可【訓(xùn)練1】寫出圖(1),(2)中的角,的度數(shù)解題干圖(1)中,36030330;題干圖(2)中,36060150150,36060()36060150570題型二終邊相同的角

5、的表示及應(yīng)用【例2】寫出終邊落在直線yx上的角的集合S,并把S中適合不等式360720的元素寫出來解直線yx與x軸的夾角是45,在0360范圍內(nèi),終邊在直線yx上的角有兩個:45,225.因此,終邊在直線yx上的角的集合:S|45k360,kZ|225k360,kZ|452k180,kZ|45(2k1)180,kZ|45n180,nZS中適合360720的元素是:452180315;451180135;45018045;451180225;452180405;453180585規(guī)律方法解答本題關(guān)鍵是找到0360范圍內(nèi),終邊落在直線yx的角:45,225,再利用終邊相同的角的關(guān)系寫出符合條件的所

6、有角的集合,如果集合能化簡的還要化成最簡【訓(xùn)練2】寫出終邊落在x軸上的角的集合S解S|k360,kZ|k360180,kZ|2k180,kZ|(2k1)180,kZ|n180,nZ.典例遷移題型三象限角和區(qū)域角的表示【例3】(1)2 017是第_象限角解析2 0176360143,143是第二象限角,所以2017為第二象限角答案二(2)已知,如圖所示分別寫出終邊落在OA,OB位置上的角的集合寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合解終邊落在OA位置上的角的集合為|9045k360,kZ|135k360,kZ,終邊落在OB位置上的角的集合為|30k360,kZ由題干圖可知,陰影部分(包括邊界)

7、的角的集合是由所有介于30到135之間的與之終邊相同的角組成的集合,故可表示為|30k360135k360,kZ【遷移1】若將例3(2)題改為如圖所示的圖形,那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示?解在0360范圍內(nèi)、陰影部分(包括邊界)表示的范圍是:150225,則滿足條件的角為|k360150k360225,kZ【遷移2】若將例3(2)題改為如圖所示的圖形,那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示?解由題干圖可知滿足題意的角的集合為|k36060k360105,kZk360240k360285,kZ|2k180602k180105,kZ|(2k1)18060(2

8、k1)180105,kZ|n18060n180105,nZ即所求的集合為|n18060n180105,nZ規(guī)律方法表示區(qū)域角的三個步驟第一步:先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界第二步:按由小到大分別標出起始和終止邊界對應(yīng)的360360范圍內(nèi)的角和,寫出最簡區(qū)間x|x,其中360第三步:起始、終止邊界對應(yīng)角,再加上360的整數(shù)倍,即得區(qū)域角集合課堂達標1下列說法正確的是()A三角形的內(nèi)角一定是第一、二象限角B鈍角不一定是第二象限角C終邊相同的角之間相差180的整數(shù)倍D鐘表的時針旋轉(zhuǎn)而成的角是負角解析A錯,如90既不是第一象限角,也不是第二象限角;B錯,鈍角在90到180之間,是第二象限角;

9、C錯,終邊相同的角之間相差360的整數(shù)倍;D正確,鐘表的時針是順時針旋轉(zhuǎn),故是負角答案D2378是第_象限角()A一 B二 C三 D四解析37836018,因為18是第四象限角,所以378是第四象限角答案D3把936化為k360(0360,kZ)的形式為_解析9363360144,故936化為k360(0360,kZ)的形式為144(3)360答案144(3)3604終邊在直線yx上的角的集合S_解析由于直線yx是第二、四象限的角平分線,在0360間所對應(yīng)的兩個角分別是135和315,從而S|k360135,kZ|k360315,kZ|2k180135,kZ|(2k1)180135,kZ|n1

10、80135,nZ答案|n180135,nZ5已知,如圖所示,(1)寫出終邊落在射線OA,OB上的角的集合;(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合解(1)終邊落在射線OA上的角的集合是|k360210,kZ終邊落在射線OB上的角的集合是|k360300,kZ(2)終邊落在陰影部分(含邊界)角的集合是|k360210k360300,kZ課堂小結(jié)1象限角的概念是以“角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸正半軸重合”為前提的,否則不能從終邊位置來判斷某角是第幾象限角2“銳角”,“090的角”,“小于90的角”,“第一象限角”這幾個概念注意區(qū)分:銳角是090;090的角是090;小于90的角為

11、90;第一象限的角是|k36090k360,kZ3關(guān)于終邊相同角的認識一般地,所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S|k360,kZ,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角與整數(shù)個周角的和注意:(1)為任意角;(2)k360與之間是“”號,k360可理解為k360();(3)相等的角,終邊一定相同;終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數(shù)多個,它們相差360的整數(shù)倍;(4)kZ這一條件不能少基礎(chǔ)過關(guān)1下列說法中,正確的是()A第二象限的角都是鈍角B第二象限角大于第一象限的角C若角與角不相等,則與的終邊不可能重合D若角與角的終邊在一條直線上,則k180(kZ)解析A錯,495135

12、360是第二象限的角,但不是鈍角;B錯,135是第二象限角,36045是第一象限的角,但;C錯,360,720,則,但二者終邊重合;D正確,與的終邊在一條直線上,則二者的終邊重合或相差180的整數(shù)倍,故k180(kZ)答案D2在160;480;960;1 530這四個角中,屬于第二象限角的是()A B C D解析480120360是第二象限的角;9603360120是第二象限的角;1 530436090不是第二象限的角,故選C答案C3若是第四象限角,則180是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析可以給賦一特殊值60,則180240,故180是第三象限角答案C4角,的終邊

13、關(guān)于y軸對稱,若30,則_解析30與150的終邊關(guān)于y軸對稱,的終邊與150角的終邊相同150k360,kZ答案150k360,kZ512點過小時的時候,時鐘分針與時針的夾角是_解析時鐘上每個大刻度為30,12點過小時,分針轉(zhuǎn)過90,時針轉(zhuǎn)過7.5,故時針與分針的夾角為82.5答案82.56如圖所示,寫出終邊落在直線yx上的角的集合(用0到360間的角表示)解終邊落在yx(x0)上的角的集合是S1|60k360,kZ,終邊落在yx(x0)上的角的集合是S|240k360,kZ,于是終邊在yx上角的集合是S|60k360,kZ|240k360,kZ|602k180,kZ|60(2k1)180,k

14、Z|60n180,nZ7已知角2 010(1)把改寫成k360(kZ,0360)的形式,并指出它是第幾象限角;(2)求,使與終邊相同,且360720解(1)由2 010除以360,得商為5,余數(shù)為210取k5,210,5360210又210是第三象限角,為第三象限角(2)與2 010終邊相同的角為k3602 010(kZ)令360k3602 010720(kZ),解得6k3(kZ)所以k6,5,4將k的值代入k3602 010中,得角的值為150,210,570能力提升8若A|k360,kZ,B|k180,kZ,C|k90,kZ,則下列關(guān)系中正確的是()AABC BABC CABC DABC解

15、析由題意知集合A是終邊在x軸的非負半軸上的角的集合,集合B是終邊在x軸上的角的集合,集合C是終邊在坐標軸上的角的集合,故ABC答案D9角與角的終邊關(guān)于y軸對稱,則與的關(guān)系為()Ak360,kZBk360180,kZCk360180,kZDk360,kZ解析方法一(特值法):令30,150,則180方法二(直接法):因為角與角的終邊關(guān)于y軸對稱,所以180k360,kZ,即k360180,kZ答案B10集合A|k9036,kZ,B|180180,則AB_解析當k1時,126;當k0時,36;當k1時,54;當k2時,144AB126,36,54,144答案126,36,54,14411若角的終邊

16、與60角的終邊相同,則在0360內(nèi)終邊與角的終邊相同的角為_解析由題意設(shè)60k360(kZ),則20k120(kZ),則當k0,1,2時,20,140,260答案20,140,26012寫出如圖所示陰影部分的角的范圍解(1)因為與45角終邊相同的角可寫成45k360,kZ的形式,與18030150角終邊相同的角可寫成150k360,kZ的形式所以圖(1)陰影部分的角的范圍可表示為|150k36045k360,kZ(2)同理可表示圖(2)中角的范圍為|45k360300k360,kZ13(選做題)如圖所示,半徑為1的圓的圓心位于坐標原點,點P從點A(1,0)出發(fā),以逆時針方向等速沿單位圓周旋轉(zhuǎn),已知P點在1 s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為 (0180),經(jīng)過2 s達到第三象限,經(jīng)過14 s后又回到了出發(fā)點A處,求解0180,且k3601802k360270,kZ,則一定有k0,于是90135又14n360(nZ),從而90135,n,n4或5當n4時,;當n5時,

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