2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-4 不等式的證明《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-4 不等式的證明教案1不等式證明的方法(1)比較法：作差比較法：知道abab0，ababb只要證明ab0即可，這種方法稱為作差比較法作商比較法：由ab01且a0，b0，因此當(dāng)a0，b0時(shí)，要證明ab，只要證明1即可，這種方法稱為作商比較法(2)綜合法：從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過推理論證，最終推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法叫綜合法即“由因?qū)Ч钡姆椒?3)分析法：從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等)，從而得出要證的不等式成立，這種證明

2、方法叫分析法即“執(zhí)果索因”的方法(4)反證法和放縮法：先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，這種方法叫做反證法在證明不等式時(shí)，有時(shí)要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，此利于化簡(jiǎn)并使它與不等式的另一邊的關(guān)系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱為放縮法(5)數(shù)學(xué)歸納法：一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：證明當(dāng)nn0時(shí)命題成立；假設(shè)當(dāng)nk (kN*，且kn0)時(shí)命題成立，

3、證明nk1時(shí)命題也成立在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法2幾個(gè)常用基本不等式(1)柯西不等式：柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2(當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)，等號(hào)成立)柯西不等式的向量形式：設(shè)，為平面上的兩個(gè)向量，則|，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，共線時(shí)成立柯西不等式的三角不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2，x3，y3R，則.柯西不等式的一般形式：設(shè)n為大于1的自然數(shù)，ai，bi (i1,2，n)為實(shí)數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立(當(dāng)ai0時(shí)，約定bi0，i1

4、,2，n)(2)算術(shù)幾何平均不等式若a1，a2，an為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)，等號(hào)成立1設(shè)a，b，m，nR，且a2b25，manb5，求的最小值解根據(jù)柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值為.2若a，b，c(0，)，且abc1，求的最大值解()2(111)2(121212)(abc)3.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立()23.故的最大值為.3設(shè)x0，y0，若不等式0恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值解x0，y0，原不等式可化為()(xy)2.2224，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立min4，即4，4.題型一用綜合法與分析法證明不等式例1(1)已知x，y均

5、為正數(shù)，且xy，求證：2x2y3；(2)設(shè)a，b，c0且abbcca1，求證：abc.證明(1)因?yàn)閤0，y0，xy0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33，所以2x2y3.(2)因?yàn)閍，b，c0，所以要證abc，只需證明(abc)23.即證：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需證明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即證：a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立)成立所以原不等式成立思維升華用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法綜合法往往是分析法的逆過程，表

6、述簡(jiǎn)單、條理清楚，所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開闊視野設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcac；(2)1.證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.題型二放縮法證明不等式例2若a，bR，求證：.證明當(dāng)|ab|0時(shí)，不等式顯然成立當(dāng)|ab|

7、0時(shí)，由0|ab|a|b|，所以.思維升華(1)在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧常見的放縮變換有：變換分式的分子和分母，如，.上面不等式中kN*，k1；利用函數(shù)的單調(diào)性；真分?jǐn)?shù)性質(zhì)“若0a0，則”(2)在用放縮法證明不等式時(shí)，“放”和“縮”均需把握一個(gè)度設(shè)n是正整數(shù)，求證：n(k1,2，n)，得.當(dāng)k1時(shí)，；當(dāng)k2時(shí)，；當(dāng)kn時(shí)，0，當(dāng)取得最小值時(shí)，求a的值解由于ab2，所以，由于b0，|a|0，所以21，因此當(dāng)a0時(shí)，的最小值是1；當(dāng)a0，所以abc(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))6已知a，b，cR，且2a2bc8，求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值解由柯西不等式得(441)(a1

8、)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32，9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2.2a2bc8，(a1)2(b2)2(c3)2，當(dāng)且僅當(dāng)c3時(shí)等號(hào)成立，(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)7(xx湖南)設(shè)a0，b0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a2與b2b2不可能同時(shí)成立證明由ab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假設(shè)a2a2與b2b2同時(shí)成立，則由a2a2及a0得0a1；同理，0b1，從而ab1，這與ab1矛盾故a2a2與b2b2不可能同時(shí)成立8已知：an(nN*)，求證：a

9、nn，an123n.，an(23n).綜上得an.9(1)關(guān)于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集，求a的取值范圍；(2)設(shè)x，y，zR，且1，求xyz的取值范圍解(1)|x3|x4|(x3)(x4)|1，且|x3|x4|1，即a的取值范圍是(1，)(2)由柯西不等式，得42()222()2()2()2(42)2(xyz)2，即251(xyz)2.5|xyz|，5xyz5.xyz的取值范圍是5,510已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)(1)求的最小值；(2)求證：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.(1)解因?yàn)閍，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以33336，當(dāng)

10、且僅當(dāng)且ab，即ab且x1x21時(shí)，有最小值6.(2)證明方法一由a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，及柯西不等式可得：(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2)2()2(ab)2x1x2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x1x2時(shí)取得等號(hào)所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.方法二因?yàn)閍，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以(ax1bx2)(ax2bx1)a2x1x2abxabxb2x1x2x1x2(a2b2)ab(xx)x1x2(a2b2)ab(2x1x2)x1x2(a2b22ab)x1x2(ab)2x1x2，當(dāng)且僅當(dāng)x1x2時(shí)，取得等號(hào)所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.