2022年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末測試B 新人教B版選修1-1

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末測試B 新人教B版選修1-1一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()Ax0R，f(x0)0B函數(shù)yf(x)的圖象是中心對稱圖形C若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(，x0)單調(diào)遞減D若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f(x0)02已知曲線yx4ax21在點(diǎn)(1，a2)處切線的斜率為8，則a()A9 B6 C9 D63已知函數(shù)f(x)x(ln xax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，0) B.C(0,1) D(0，)

2、4設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，x0(x00)是f(x)的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的極小值點(diǎn)Cx0是f(x)的極小值點(diǎn)Dx0是f(x)的極小值點(diǎn)5已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2.若f(x1)x1x2，則關(guān)于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為()A3 B4 C5 D66已知f(x)x36x29xabc，abc，且f(a)f(b)f(c)0.現(xiàn)給出如下結(jié)論：f(0)f(1)0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0；f(0)f(3)0.其中正確結(jié)論的序號是()A B C D7已知函數(shù)yf(x)的圖象是下列

3、四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如下圖所示，則該函數(shù)的圖象是()8若函數(shù)f(x)kxln x在區(qū)間(1，)單調(diào)遞增，則k的取值范圍是()A(，2 B(，1 C2，) D1，)9設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)f(x)在x2處取得極小值，則函數(shù)yxf(x)的圖象可能是()10若0x1x21，則()Aex2ex1ln x2ln x1 Bex2ex1ln x2ln x1Cx2ex1x1ex2 Dx2ex1x1ex2第卷(非選擇題共50分)二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分把答案填在題中的橫線上)11設(shè)函數(shù)f(x)在(0，)內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)xex，則f(

4、1)_.12曲線y5ex3在點(diǎn)(0，2)處的切線方程為_13在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線yax2(a，b為常數(shù))過點(diǎn)P(2，5)，且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_14若曲線yxln x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2xy10，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_15若函數(shù)f(x)(1x2)(x2axb)的圖象關(guān)于直線x2對稱，則f(x)的最大值為_三、解答題(本大題共4個(gè)小題，共25分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16(6分)已知aR，函數(shù)f(x)2x33(a1)x26ax.(1)若a1，求曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程；(2)若|a|1，求f(x)在閉區(qū)間0,

5、2|a|上的最小值17(6分)某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率)(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大18(6分)已知函數(shù)f(x)x33x2ax2，曲線yf(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.(1)求a；(2)證明：當(dāng)k1時(shí)，曲線yf(x)與直線ykx2只有一個(gè)交點(diǎn)19(7分)(1)證明：

6、當(dāng)x0,1時(shí)，xsin xx；(2)若不等式axx22(x2)cos x4對x0,1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍參考答案1. 解析：若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則yf(x)的圖象大致如下圖所示，則在(，x0)上不單調(diào)，故C不正確答案：C2. 解析：由題意知y|x1(4x32ax)|x142a8，則a6.故選D.答案：D3. 解析：f(x)ln xaxxln x2ax1，函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即ln x2ax10有兩個(gè)不同的根(在正實(shí)數(shù)集上)，即函數(shù)g(x)與函數(shù)y2a在(0，)上有兩個(gè)不同交點(diǎn)因?yàn)間(x)，所以g(x)在(0,1)上遞增，在(1，)上遞減，所以g(x)maxg(1)1，如圖若

7、g(x)與y2a有兩個(gè)不同交點(diǎn)，須02a1.即0a，故選B.答案：B4. 解析：由函數(shù)極大值的概念知A錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以x0是f(x)的極大值點(diǎn)B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)閒(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱，所以x0是f(x)的極小值點(diǎn)故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)閒(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，所以x0是f(x)的極小值點(diǎn)故D正確答案：D5. 解析：由f(x)3x22axb0，得xx1或xx2，即3(f(x)22af(x)b0的根為f(x)x1或f(x)x2的解，由題可知f(x)的草圖為：由數(shù)形結(jié)合及x1x2可知滿足f(x)x1的解有2個(gè)，滿足f

8、(x)x2的解僅有1個(gè)，因此3(f(x)22af(x)b0的不同實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為3.答案：A6. 解析：設(shè)g(x)=x3-6x2+9x=0，則x1=0，x2=x3=3，其圖象如下圖：要使f(x)=x3-6x2+9x-abc有3個(gè)零點(diǎn)，需將g(x)的圖象向下平移，如圖所示：又f(x)3x212x90時(shí)，x11，x23，即得f(1)是極大值，f(3)是極小值故由圖象可知f(0)f(1)0，f(0)f(3)0.答案：C7. 解析：由導(dǎo)函數(shù)圖象知，函數(shù)f(x)在1,1上為增函數(shù)當(dāng)x(1,0)時(shí)f(x)由小到大，則f(x)圖象的增長趨勢由緩到快，當(dāng)x(0,1)時(shí)f(x)由大到小，則f(x)的圖象增長趨勢由快

9、到緩，故選B.答案：B8. 解析：由f(x)k，又f(x)在(1，)上單調(diào)遞增，則f(x)0在x(1，)上恒成立，即k在x(1，)上恒成立又當(dāng)x(1，)時(shí)，01，故k1.故選D.答案：D9. 解析：由題意可得f(2)0，而且當(dāng)x(，2)時(shí)，f(x)0，此時(shí)xf(x)0；當(dāng)x(2，)時(shí)，f(x)0，此時(shí)若x(2,0)，xf(x)0，若x(0，)，xf(x)0，所以函數(shù)yxf(x)的圖象可能是C.答案：C10. 解析：設(shè)f(x)exln x，則f(x).當(dāng)x0且x趨近于0時(shí)，xex10；當(dāng)x1時(shí)，xex10，因此在(0,1)上必然存在x1x2，使得f(x1)f(x2)，因此A，B不正確；設(shè)g(x)

10、，當(dāng)0x1時(shí)，g(x)0，所以g(x)在(0,1)上為減函數(shù)所以g(x1)g(x2)，即，所以x2ex1x1ex2.故選C.答案：C11. 解析：令ext，則xln t，所以f(t)ln tt，所以f(t)1，所以f(1)2.答案：212. 解析：y5ex，所求曲線的切線斜率ky5e05，切線方程為y(2)5(x0)，即5xy20.答案：5xy2013. 解析：由曲線yax2過點(diǎn)P(2，5)，得4a5.又y2ax，所以當(dāng)x2時(shí)，4a，由得所以ab3.答案：314. 解析：設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，由yxln x，得yln x1，則切線的斜率kln x01.由已知可得ln x012.x0e

11、.y0x0ln x0e.切點(diǎn)的坐標(biāo)為(e，e)答案：(e，e)15. 解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x2對稱，所以f(x)滿足f(0)f(4)，f(1)f(3)，即解得所以f(x)x48x314x28x15.由f(x)4x324x228x80，得x12，x22，x32.易知，f(x)在(，2)上為增函數(shù)，在(2，2)上為減函數(shù)，在(2，2)上為增函數(shù)，在(2，)上為減函數(shù)所以f(2)1(2)2(2)28(2)15(8)(8)806416.f(2)1(2)2(2)28(2)153(41615)9.f(2)1(2)2(2)28(2)15(8)(8)806416.故f(x)的最大值為16.答案

12、：1616. 解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)6x212x6，所以f(2)6.又因?yàn)閒(2)4，所以切線方程為y6x8.(2)記g(a)為f(x)在閉區(qū)間0,2|a|上的最小值f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令f(x)0，得到x11，x2a.當(dāng)a1時(shí)，x0(0,1)1(1，a)a(a,2a)2af(x)00f(x)0單調(diào)遞增極大值3a1單調(diào)遞減極小值a2(3a)單調(diào)遞增4a3比較f(0)0和f(a)a2(3a)的大小可得g(a)當(dāng)a1時(shí)，x0(0,1)1(1，2a)2af(x)0f(x)0單調(diào)遞減極小值3a1單調(diào)遞增28a324a2得g(a)3a1.綜上所述，f(x)在閉區(qū)間0,2

13、|a|上的最小值為g(a)17. 解：(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為1002rh200rh元，底面的總成本為160r2元，所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元又據(jù)題意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，從而V(r)r2h(300r4r3)因r0，又由h0可得r，故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0, )(2)因V(r)(300r4r3)，故V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(因r25不在定義域內(nèi)，舍去)當(dāng)r(0,5)時(shí)，V(r)0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；當(dāng)r(5, )時(shí)，V(r)0，故V(r)在(5, )上為減函數(shù)由此可知，V(r)在

14、r5處取得最大值，此時(shí)h8.即當(dāng)r5，h8時(shí)，該蓄水池的體積最大18. 分析：(1)由條件曲線yf(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，這就說明要表示出切線方程，需要求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，求出f(0)，從而得到切線斜率，表示出切線方程，把點(diǎn)(2,0)代入可得關(guān)于a的方程，求得a的值對于(2)，欲證曲線yf(x)與直線ykx2只有一個(gè)交點(diǎn)，可構(gòu)造函數(shù)g(x)f(x)kx2，只需證明函數(shù)g(x)與x軸有唯一的交點(diǎn)，這就需要利用函數(shù)的單調(diào)性研究g(x)的圖象來解決解：(1)f(x)3x26xa，f(0)a，曲線yf(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為yax2，由題設(shè)得2，所以a1.(2)

15、由(1)知，f(x)x33x2x2，設(shè)g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4，由題設(shè)知1k0.當(dāng)x0時(shí)，g(x)3x26x1k0，g(x)單調(diào)遞增，g(1)k10，g(0)4，所以g(x)0在(，0有唯一實(shí)根當(dāng)x0時(shí)，令h(x)x33x24，則g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2，)單調(diào)遞增，所以g(x)h(x)h(2)0，所以g(x)0在(0，)沒有實(shí)根綜上，g(x)0在R有唯一實(shí)根，即曲線yf(x)與直線ykx2只有一個(gè)交點(diǎn)19. (1)證明：記F(x)sin xx，則F(x)cos x.當(dāng)x時(shí)，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)在

16、上是增函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)在上是減函數(shù)又F(0)0，F(xiàn)(1)0，所以當(dāng)x0,1時(shí)，F(xiàn)(x)0，即sin xx.記H(x)sin xx，則當(dāng)x(0,1)時(shí)，H(x)cos x10，所以，H(x)在0,1上是減函數(shù)，則H(x)H(0)0，即sin xx.綜上，xsin xx，x0,1(2)解法一：因?yàn)楫?dāng)x0,1時(shí)，axx22(x2)cos x4(a2)xx24(x2)sin2(a2)xx24(x2)2(a2)x.所以，當(dāng)a2時(shí)，不等式axx22(x2)cos x4對x0,1恒成立下面證明，當(dāng)a2時(shí)，不等式axx22(x2)cos x4對x0,1不恒成立因?yàn)楫?dāng)x0,1時(shí)，axx22(x

17、2)cos x4(a2)xx24(x2)sin2(a2)xx24(x2)2(a2)xx2(a2)xx2x.所以存在x0(0,1) 滿足ax02(x02)cos x040，即當(dāng)a2時(shí)，不等式axx22(x2)cos x40對x0,1不恒成立綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，2解法二：記f(x)axx22(x2)cos x4，則f(x)a2x2cos x2(x2)sin x.記G(x)f(x)，則G(x)23x4sin x2(x2)cos x.當(dāng)x(0,1)時(shí)，cos x，因此G(x)23x4x(x2)(2)x0.于是f(x)在0,1上是減函數(shù)，因此，當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)f(0)a2，故當(dāng)a2時(shí)，

18、f(x)0，從而f(x)在0,1上是減函數(shù)，所以f(x)f(0)0，即當(dāng)a2時(shí)，不等式axx22(x2)cos x4對x0,1恒成立下面證明，當(dāng)a2時(shí)，不等式axx22(x2)cos x4對x0,1不恒成立由于f(x)在0,1上是減函數(shù)，且f(0)a20，f(1)a2cos 16sin 1.當(dāng)a6sin 12cos 1時(shí)，f(1)0，所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0，因此f(x)在0,1上是增函數(shù)，故f(1)f(0)0；當(dāng)2a6sin 12cos 1時(shí)，f(1)0，又f(0)0，故存在x0(0,1)使f(x0)0，則當(dāng)0xx0時(shí)，f(x)f(x0)0.所以f(x)在0，x0上是增函數(shù)，所以當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)f(0)0.所以，當(dāng)a2時(shí)，不等式axx22(x2)cos x4對x0,1不恒成立綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，2