高中數(shù)學(xué)中集合的概念與運(yùn)算的解題歸納.doc
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1.1 集合的概念與運(yùn)算一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.集合:一般地,一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合.2.元素:集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素,簡(jiǎn)稱元.3.子集:如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素(若則),則稱集合A為集合B的子集,記為AB或BA;如果AB,并且AB,這時(shí)集合A稱為集合B的真子集,記為AB或BA.4.集合的相等:如果集合A、B同時(shí)滿足AB、BA,則A=B.5.補(bǔ)集:設(shè)AS,由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補(bǔ)集,記為 .6.全集:如果集合S包含所要研究的各個(gè)集合,這時(shí)S可以看做一個(gè)全集,全集通常記作U.7.交集:一般地,由所有屬于集合A且屬于B的元素構(gòu)成的集合,稱為A與B的交集,記作AB.8.并集:一般地,由所有屬于集合A或者屬于B的元素構(gòu)成的集合,稱為A與B的并集,記作AB.9.空集:不含任何元素的集合稱為空集,記作.10.有限集:含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集.11.無限集:含有無限個(gè)元素的集合稱為無限集.12.集合的常用表示方法:列舉法、描述法、圖示法(Venn圖).13.常用數(shù)集的記法:自然數(shù)集記作N,正整數(shù)集記作N+或N,整數(shù)集記作Z,有理數(shù)集記作Q,實(shí)數(shù)集記作R. 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.符號(hào),=,表示集合與集合之間的關(guān)系,其中“”包括“”和“=”兩種情況,同樣“”包括“”和“=”兩種情況.符號(hào),表示元素與集合之間的關(guān)系.要注意兩類不同符號(hào)的區(qū)別.2.在判斷給定對(duì)象能否構(gòu)成集合時(shí),特別要注意它的“確定性”,在表示一個(gè)集合時(shí),要特別注意它的“互異性”、“無序性”.3.在集合運(yùn)算中必須注意組成集合的元素應(yīng)具備的性質(zhì).4.對(duì)由條件給出的集合要明白它所表示的意義,即元素指什么,是什么范圍用集合表示不等式(組)的解集時(shí),要注意分辨是交集還是并集,結(jié)合數(shù)軸或文氏圖的直觀性幫助思維判斷空集是任何集合的子集,但因?yàn)椴缓糜梦氖蠄D形表示,容易被忽視,如在關(guān)系式中,B=易漏掉的情況.5.若集合中的元素是用坐標(biāo)形式表示的,要注意滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形是什么,用數(shù)形結(jié)合法解之.6.若集合中含有參數(shù),須對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,討論時(shí)既不重復(fù)又不遺漏.7.在集合運(yùn)算過程中要借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)平面、Venn圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來.8.要注意集合與方程、函數(shù)、不等式、三角、幾何等知識(shí)的密切聯(lián)系與綜合使用. 9.含有n個(gè)元素的集合的所有子集個(gè)數(shù)為:,所有真子集個(gè)數(shù)為:-1 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 已知集合M=y|y =x21,xR,N=y|y =x1,xR,則MN=( )A(0,1),(1,2) B(0,1),(1,2)Cy|y=1,或y=2 Dy|y1錯(cuò)解:求MN及解方程組 得 或 選B錯(cuò)因:在集合概念的理解上,僅注意了構(gòu)成集合元素的共同屬性,而忽視了集合的元素是什么事實(shí)上M、N的元素是數(shù)而不是實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),因此M、N是數(shù)集而不是點(diǎn)集,M、N分別表示函數(shù)y=x21(xR),y=x1(xR)的值域,求MN即求兩函數(shù)值域的交集正解:M=y|y=x21,xR=y|y1, N=y|y=x1,xR=y|yRMN=y|y1y|(yR)=y|y1, 應(yīng)選D注:集合是由元素構(gòu)成的,認(rèn)識(shí)集合要從認(rèn)識(shí)元素開始,要注意區(qū)分x|y=x21、y|y=x21,xR、(x,y)|y=x21,xR,這三個(gè)集合是不同的例2 已知A=x|x23x2=0,B=x|ax2=0且AB=A,求實(shí)數(shù)a組成的集合C錯(cuò)解:由x23x2=0得x=1或2當(dāng)x=1時(shí),a=2, 當(dāng)x=2時(shí),a=1錯(cuò)因:上述解答只注意了B為非空集合,實(shí)際上,B=時(shí),仍滿足AB=A.當(dāng)a=0時(shí),B=,符合題設(shè),應(yīng)補(bǔ)上,故正確答案為C=0,1,2正解:AB=A BA 又A=x|x23x2=0=1,2B=或 C=0,1,2例3已知mA,nB, 且集合A=,B=,又C=,則有: ( )Am+nA B. m+nB C.m+nC D. m+n不屬于A,B,C中任意一個(gè)錯(cuò)解:mA,m=2a,a,同理n=2a+1,aZ, m+n=4a+1,故選C錯(cuò)因是上述解法縮小了m+n的取值范圍.正解:mA, 設(shè)m=2a1,a1Z, 又n,n=2a2+1,a2 Z ,m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , m+nB, 故選B.例4 已知集合A=x|x23x100,集合B=x|p1x2p1若BA,求實(shí)數(shù)p的取值范圍錯(cuò)解:由x23x100得2x5欲使BA,只須 p的取值范圍是3p3.錯(cuò)因:上述解答忽略了空集是任何集合的子集這一結(jié)論,即B=時(shí),符合題設(shè) 正解:當(dāng)B時(shí),即p12p1p2.由BA得:2p1且2p15.由3p3. 2p3當(dāng)B=時(shí),即p12p1p2.由、得:p3.點(diǎn)評(píng):從以上解答應(yīng)看到:解決有關(guān)AB=、AB=,AB等集合問題易忽視空集的情況而出現(xiàn)漏解,這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題例5 已知集合A=a,ab,a2b,B=a,ac,ac2若A=B,求c的值分析:要解決c的求值問題,關(guān)鍵是要有方程的數(shù)學(xué)思想,此題應(yīng)根據(jù)相等的兩個(gè)集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性,無序性建立關(guān)系式 解:分兩種情況進(jìn)行討論 (1)若ab=ac且a2b=ac2,消去b得:aac22ac=0,a=0時(shí),集合B中的三元素均為零,和元素的互異性相矛盾,故a0c22c1=0,即c=1,但c=1時(shí),B中的三元素又相同,此時(shí)無解(2)若ab=ac2且a2b=ac,消去b得:2ac2aca=0,a0,2c2c1=0,即(c1)(2c1)=0,又c1,故c=點(diǎn)評(píng):解決集合相等的問題易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解,這需要解題后進(jìn)行檢驗(yàn).例6 設(shè)A是實(shí)數(shù)集,滿足若aA,則A,且1A.若2A,則A中至少還有幾個(gè)元素?求出這幾個(gè)元素.A能否為單元素集合?請(qǐng)說明理由.若aA,證明:1A.求證:集合A中至少含有三個(gè)不同的元素.解:2A 1A A 2A A中至少還有兩個(gè)元素:1和如果A為單元素集合,則a即0該方程無實(shí)數(shù)解,故在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),A不可能是單元素集aA A AA,即1A由知aA時(shí),A, 1A .現(xiàn)在證明a,1, 三數(shù)互不相等.若a=,即a2-a+1=0 ,方程無解,a若a=1,即a2-a+1=0,方程無解a1 若1 =,即a2-a+1=0,方程無解1.綜上所述,集合A中至少有三個(gè)不同的元素.點(diǎn)評(píng):的證明中要說明三個(gè)數(shù)互不相等,否則證明欠嚴(yán)謹(jǐn).例7 設(shè)集合A=|=,N+,集合B=|=,N+,試證:AB證明:任設(shè)A, 則=(2)24(2)5 (N+), nN*, n2N* aB故 顯然,1,而由B=|=,N+=|=,N+知1B,于是AB 由、 得AB點(diǎn)評(píng):(1)判定集合間的關(guān)系,其基本方法是歸結(jié)為判定元素與集合之間關(guān)系(2)判定兩集合相等,主要是根據(jù)集合相等的定義四、典型習(xí)題導(dǎo)練1集合A=x|x23x100,xZ,B=x|2x2x60,xZ,則AB的非空真子集的個(gè)數(shù)為() A16 B14 C15D322數(shù)集1,2,x23中的x不能取的數(shù)值的集合是()A2,-2B2, C2,D,3. 若P=y|y=x2,xR,Q=y|y=x21,xR,則PQ等于( )APBQ C D不知道4. 若P=y|y=x2,xR,Q=(x,y)|y=x2,xR,則必有( )APQ= BP Q CP=Q DP Q5若集合M,N|,則MN( )A BC D6.已知集合A=x|x2(m2)x1=0,xR,若AR=,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_7.(06高考全國(guó)II卷)設(shè),函數(shù)若的解集為A,求實(shí)數(shù)的取值范圍。8.已知集合A=和B=滿足AB=,AB=,I=R,求實(shí)數(shù)a,b的值.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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