2014高考數(shù)學(xué)一輪匯總訓(xùn)練《數(shù)列求和》理新人教A版.doc
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備考方向要明了考 什 么怎 么 考熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.1.以選擇題或填空題的形式考查可轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列求和問題,如2012年新課標(biāo)全國T16等2.以解答題的形式考查利用錯位相減法、裂項(xiàng)相消法或分組求和法等求數(shù)列的前n項(xiàng)和,如2012年江西T16,湖北T18等.歸納知識整合數(shù)列求和的常用方法1公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:Snna1d;(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:Sn2倒序相加法如果一個數(shù)列an的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個常數(shù),那么求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法,如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的3錯位相減法如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求,如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的4裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得其和探究1.應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和的前提條件是什么?提示:應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和的前提條件是數(shù)列中的每一項(xiàng)均可分裂成一正一負(fù)兩項(xiàng),且在求和過程中能夠前后抵消2利用裂項(xiàng)相消法求和時應(yīng)注意哪些問題?提示:(1)在把通項(xiàng)裂開后,是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差;(2)在正負(fù)項(xiàng)抵消后,是否只剩下了第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),或前面剩下兩項(xiàng),后面也剩下兩項(xiàng)5分組求和法一個數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時可用分組求和法,分別求和后再相加減6并項(xiàng)求和法一個數(shù)列的前n項(xiàng)和,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項(xiàng)求和形如an(1)nf(n)類型,可采用兩項(xiàng)合并求解例如,Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.自測牛刀小試1.等于()A.B.C1 D3解析:選A,.2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an,其前n項(xiàng)和Sn,則項(xiàng)數(shù)n等于()A13B10C9D6解析:選Dan1,Snnnnn1.n15,解得n6.3(教材習(xí)題改編)(2351)(4352)(2n35n)_.解析:(2351)(4352)(2n35n)(242n)3(51525n)3n(n1)n2n5n.答案:n2n5n4若Sn1234(1)n1n,則S100_.解析:S10012345699100(12)(34)(56)(99100)50.答案:505已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且ann2n,則Sn_.解析:ann2n,Sn121222323n2n.2Sn122223(n1)2nn2n1.得Sn222232nn2n1n2n12n12n2n1(1n)2n12.Sn2n1(n1)2.答案:(n1)2n12分組轉(zhuǎn)化求和例1(2012山東高考)在等差數(shù)列an中,a3a4a584,a973.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)對任意mN*,將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項(xiàng)的個數(shù)記為bm,求數(shù)列bm的前m項(xiàng)和Sm.自主解答(1)因?yàn)閍n是一個等差數(shù)列,所以a3a4a53a484,a428.設(shè)數(shù)列an的公差為d,則5da9a4732845,故d9.由a4a13d,得28a139,即a11.所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)對mN*,若9man92m,則9m89n0,a10.由已知有化簡得又a10,故q2,a11.所以an2n1.(2)由(1)知,bn2a24n12.因此Tn(144n1)2n2n(4n41n)2n1.裂項(xiàng)相消法求和例2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a11,Snnann(n1)(n1,2,3,)(1)求證:數(shù)列an為等差數(shù)列,并寫出an關(guān)于n的表達(dá)式;(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,問滿足Tn的最小正整數(shù)n是多少?自主解答(1)當(dāng)n2時,anSnSn1nan(n1)an12(n1),得anan12(n2,3,4,)所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列所以an2n1.(2)Tn,由Tn,得n,所以滿足Tn的最小正整數(shù)n為12.用裂項(xiàng)相消法求和應(yīng)注意的問題利用裂項(xiàng)相消法求和時,應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面也剩兩項(xiàng),再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后,有時候需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開的兩項(xiàng)之差與系數(shù)相乘后與原項(xiàng)相等2等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且2a13a21,a9a2a6.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bnlog3a1log3a2log3an,求數(shù)列的前n項(xiàng)和解:(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q.由a9a2a6得a9a,所以q2.由條件可知q0,故q.由2a13a21得2a13a1q1,所以a1.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).故2.2.所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.錯位相減法求和例3(2012天津高考)已知an是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,bn是等比數(shù)列,且a1b12,a4b427,S4b410.(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式;(2)記Tna1b1a2b2anbn,nN*,證明Tn8an1bn1(nN*,n2)自主解答(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.由a1b12,得a423d,b42q3,S486d.由條件,得方程組解得所以an3n1,bn2n,nN*.(2)證明:由(1)得Tn22522823(3n1)2n,2Tn222523(3n4)2n(3n1)2n1.由,得Tn2232232332n(3n1)2n1(3n1)2n12(3n4)2n18,即Tn8(3n4)2n1.而當(dāng)n2時,an1bn1(3n4)2n1,所以Tn8an1bn1,nN*,n2.若本例(2)中Tnanb1an1b2a1bn,nN*,求證:Tn122an10bn(nN*)證明:由(1)得Tn2an22an123an22na1,2Tn22an23an12na22n1a1.,得Tn2(3n1)32232332n2n22n26n2102n6n10.而2an10bn122(3n1)102n12102n6n10,故Tn122an10bn,nN*. 用錯位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識別題目類型,特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形;(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式;(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時,若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解3已知等差數(shù)列an的前3項(xiàng)和為6,前8項(xiàng)和為4.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn(4an)qn1(q0,nN*),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解:(1)設(shè)an的公差為d.由已知得解得a13,d1.故an3(n1)(1)4n.(2)由(1)得,bnnqn1,于是Sn1q02q13q2nqn1.若q1,將上式兩邊同乘以q有qSn1q12q2(n1)qn1nqn.兩式相減得到(q1)Snnqn1q1q2qn1nqn.于是,Sn.若q1,則Sn123n.所以Sn1種思想轉(zhuǎn)化與化歸思想數(shù)列求和把數(shù)列通過分組、變換通項(xiàng)、變換次序、乘以常數(shù)等方法,把數(shù)列的求和轉(zhuǎn)化為能使用公式求解或者能通過基本運(yùn)算求解的形式,達(dá)到求和的目的2個注意“裂項(xiàng)相消法求和”與“錯位相減法求和”應(yīng)注意的問題(1)使用裂項(xiàng)相消法求和時,要注意正負(fù)項(xiàng)相消時,消去了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng),切不可漏寫未被消去的項(xiàng),未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)(2)在應(yīng)用錯位相減法求和時,若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解4個公式常見的拆項(xiàng)公式(1);(2);(3);(4)().答題模板利用錯位相減法解決數(shù)列求和典例(2012江西高考)(本小題滿分12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2kn(其中kN),且Sn的最大值為8.(1)確定常數(shù)k,求an;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.快速規(guī)范審題第(1)問1審條件,挖解題信息觀察條件:Snn2kn及Sn的最大值為8當(dāng)nk時,Sn取得最大值2審結(jié)論,明確解題方向觀察所求結(jié)論:求k的值及anSn的最大值為8,即Sk8,k4. Snn24n.3建聯(lián)系,找解題突破口根據(jù)已知條件,可利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式:求通項(xiàng)公式anSnSn1n(n2),a1S1ann.第(2)問1審條件,挖解題信息觀察條件:ann及數(shù)列.2審結(jié)論,明確解題方向觀察所求結(jié)論:求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn可利用錯位相減法求和3建聯(lián)系,找解題突破口條件具備,代入求和:Tn12Tn22:2TnTn214.準(zhǔn)確規(guī)范答題(1)當(dāng)nkN時,Snn2kn取得最大值,即8Skk2k2k2,(2分)利用anSnSn1時,易忽視條件n2.故k216,因此k4,(3分)從而anSnSn1n(n2)(4分)又a1S1,(5分)所以ann.(6分)(2)因?yàn)?,錯位相減時,易漏項(xiàng).所以Tn1,(7分)所以2Tn22,(8分):2TnTn2144.(11分)所以Tn4.(12分)答題模板速成用錯位相減法解決數(shù)列求和的步驟:第一步判斷結(jié)構(gòu)第二步乘公比第三步錯位相減第四步求和若數(shù)列anbn是由等差數(shù)列an與等比數(shù)列(公比q)的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,則可用此法求和設(shè)anbn的前n項(xiàng)和為Tn,然后兩邊同乘以q乘以公比q后,向后錯開一位,使含有qk(kN*)的項(xiàng)對應(yīng),然后兩邊同時作差將作差后的結(jié)果求和,從而表示出Tn一、選擇題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)1已知an是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,Sn是an的前n項(xiàng)和,且9S3S6,則數(shù)列的前5項(xiàng)和為()A.或5B.或5C. D.解析:選C設(shè)數(shù)列an的公比為q.由題意可知q1,且,解得q2,所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,由求和公式可得S5.2數(shù)列1,3,5,7,(2n1),的前n項(xiàng)和Sn的值等于()An21 B2n2n1Cn21 Dn2n1解析:選A該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an(2n1),則Sn135(2n1)n21.3設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若S830,S47,則a4的值等于()A. B.C. D.解析:選C由題意可得解得故a4a13.4.等于()A. B.C. D.解析:選B令Sn,則 Sn,得:Sn,故Sn.5已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2cos n(nN*),Sn為它的前n項(xiàng)和,則等于()A1 005 B1 006C2 011 D2 012解析:選B注意到cos n(1)n(nN*),故an(1)nn2.因此有S2 012(1222)(3242)(2011220122)1232 0112 0121 0062 013,所以1 006.6(2013錦州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)xmax的導(dǎo)函數(shù)f(x)2x1,則數(shù)列(nN*)的前n項(xiàng)和是()A. B.C. D.解析:選Af(x)mxm1a,m2,a1.f(x)x2x,f(n)n2n.,令Sn1.二、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分)7(2012江西高考)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,公比不為1.若a11,且對任意的nN*都有an2an12an0,則S5_.解析:由an2an12an0,得anq2anq2an0,顯然an0,所以q2q20.又q1,解得q2.又a11,所以S511.答案:118對于數(shù)列an,定義數(shù)列an1an為數(shù)列an的“差數(shù)列”,若a12,an的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為2n,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_.解析:an1an2n,an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.Sn2n12.答案:2n12.9數(shù)列an的通項(xiàng)ann(nN*),其前n項(xiàng)和為Sn,則S2 013_.解析:annncos n,a11,a22,a33,a44,S2 013(1)2(3)4(5)6(2 009)2 010(2 011)2 012(2 013)(1)2(3)4(5)6(2 009)2 010(2 011)2 012(2013)11112 0131 0062 0131 007.答案:1 007三、解答題(本大題共3小題,每小題12分,共36分)10(2012湖北高考)已知等差數(shù)列an前三項(xiàng)的和為3,前三項(xiàng)的積為8.(1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若a2,a3,a1成等比數(shù)列,求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則a2a1d,a3a12d,由題意得解得或所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.(2)當(dāng)an3n5時,a2,a3,a1分別為1,4,2,不成等比數(shù)列;當(dāng)an3n7時,a2,a3,a1分別為1,2,4,成等比數(shù)列,滿足條件故|an|3n7|記數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和為Sn.當(dāng)n1時,S1|a1|4;當(dāng)n2時,S2|a1|a2|5;當(dāng)n3時,SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5n2n10.當(dāng)n2時,滿足此式綜上可知,Sn11(2013合肥模擬)數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn,a1t,點(diǎn)(Sn,an1)在直線y3x1上,nN*.(1)當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時,數(shù)列an是等比數(shù)列(2)在(1)的結(jié)論下,設(shè)bnlog4an1,cnanbn,Tn是數(shù)列cn的前n項(xiàng)和,求Tn.解:(1)點(diǎn)(Sn,an1)在直線y3x1上,an13Sn1,an3Sn11(n1,且nN*)an1an3(SnSn1)3an,即an14an,n1.又a23S113a113t1,當(dāng)t1時,a24a1,數(shù)列an是等比數(shù)列(2)在(1)的結(jié)論下,an14an,an14n,bnlog4an1n.cnanbn4n1n,Tnc1c2cn(401)(412)(4n1n)(14424n1)(123n).12已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Snn2an(nN*)(1)證明:數(shù)列an1為等比數(shù)列,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若bn(2n1)an2n1,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn.求滿足不等式2 013的n的最小值解:(1)證明:因?yàn)镾nn2an,即Sn2ann,所以Sn12an1(n1)(n2,nN*)兩式相減化簡,得an2an11.所以an12(an11)(n2,nN*)所以數(shù)列an1為等比數(shù)列因?yàn)镾nn2an,令n1,得a11.a112,所以an12n,即an2n1.(2)因?yàn)閎n(2n1)an2n1,所以bn(2n1)2n.所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n,2Tn322523(2n1)2n(2n1)2n1,得Tn322(22232n)(2n1)2n162(2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1.所以Tn2(2n1)2n1.若2 013,則2 013,即2n12 013.由于2101 024,2112 048,所以n111,即n10.所以滿足不等式2 013的n的最小值是10.1設(shè)f(x),若Sfff,則S_.解析:f(x),f(1x),f(x)f(1x)1.Sfff,Sfff,得2S2 012,S1 006.答案:1 0062求和Sn.解:Sn(123n)n1.3在數(shù)列an中,a11,當(dāng)n2時,其前n項(xiàng)和Sn滿足San.(1)求Sn的表達(dá)式;(2)設(shè)bn,求bn的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)San,anSnSn1(n2),S(SnSn1),即2Sn1SnSn1Sn,由題意Sn1Sn0,式兩邊同除以Sn1Sn,得2,數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列12(n1)2n1.Sn.(2)又bn,故Tnb1b2bn.4設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1an,nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng);(2)設(shè)bn,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解:(1)a13a232a33n1an,當(dāng)n2時,a13a232a33n2an1,得3n1an,an.在中,令n1,得a1,適合an,an.(2)bn,bnn3n.Sn3232333n3n,3Sn32233334n3n1.得2Snn3n1(332333n),即2Snn3n1,Sn.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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