2014高考數(shù)學(xué)一輪匯總訓(xùn)練《數(shù)列求和》理新人教A版.doc

備考方向要明了考 什 么怎 么 考熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.1.以選擇題或填空題的形式考查可轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列求和問(wèn)題，如2012年新課標(biāo)全國(guó)T16等2.以解答題的形式考查利用錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法或分組求和法等求數(shù)列的前n項(xiàng)和，如2012年江西T16，湖北T18等.歸納知識(shí)整合數(shù)列求和的常用方法1公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Snna1d；(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn2倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的3錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的4裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和探究1.應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和的前提條件是什么？提示：應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和的前提條件是數(shù)列中的每一項(xiàng)均可分裂成一正一負(fù)兩項(xiàng)，且在求和過(guò)程中能夠前后抵消2利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)應(yīng)注意哪些問(wèn)題？提示：(1)在把通項(xiàng)裂開(kāi)后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差；(2)在正負(fù)項(xiàng)抵消后，是否只剩下了第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，或前面剩下兩項(xiàng)，后面也剩下兩項(xiàng)5分組求和法一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后再相加減6并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和形如an(1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.自測(cè)牛刀小試1.等于()A.B.C1 D3解析：選A，.2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an，其前n項(xiàng)和Sn，則項(xiàng)數(shù)n等于()A13B10C9D6解析：選Dan1，Snnnnn1.n15，解得n6.3(教材習(xí)題改編)(2351)(4352)(2n35n)_.解析：(2351)(4352)(2n35n)(242n)3(51525n)3n(n1)n2n5n.答案：n2n5n4若Sn1234(1)n1n，則S100_.解析：S10012345699100(12)(34)(56)(99100)50.答案：505已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且ann2n，則Sn_.解析：ann2n，Sn121222323n2n.2Sn122223(n1)2nn2n1.得Sn222232nn2n1n2n12n12n2n1(1n)2n12.Sn2n1(n1)2.答案：(n1)2n12分組轉(zhuǎn)化求和例1(2012山東高考)在等差數(shù)列an中，a3a4a584，a973.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)任意mN*，將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm，求數(shù)列bm的前m項(xiàng)和Sm.自主解答(1)因?yàn)閍n是一個(gè)等差數(shù)列，所以a3a4a53a484，a428.設(shè)數(shù)列an的公差為d，則5da9a4732845，故d9.由a4a13d，得28a139，即a11.所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)對(duì)mN*，若9m<an<92m，則9m8<9n<92m8.因此9m11n92m1.故得bm92m19m1.于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1).分組轉(zhuǎn)化求和的通法數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求數(shù)列的前n項(xiàng)和的數(shù)列求和1已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1a22，a3a4a564.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn2，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)設(shè)公比為q，則ana1qn1，且q>0，a1>0.由已知有化簡(jiǎn)得又a1>0，故q2，a11.所以an2n1.(2)由(1)知，bn2a24n12.因此Tn(144n1)2n2n(4n41n)2n1.裂項(xiàng)相消法求和例2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，Snnann(n1)(n1,2,3，)(1)求證：數(shù)列an為等差數(shù)列，并寫(xiě)出an關(guān)于n的表達(dá)式；(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，問(wèn)滿(mǎn)足Tn>的最小正整數(shù)n是多少？自主解答(1)當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1nan(n1)an12(n1)，得anan12(n2,3,4，)所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列所以an2n1.(2)Tn，由Tn>，得n>，所以滿(mǎn)足Tn>的最小正整數(shù)n為12.用裂項(xiàng)相消法求和應(yīng)注意的問(wèn)題利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差與系數(shù)相乘后與原項(xiàng)相等2等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a13a21，a9a2a6.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog3a1log3a2log3an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q.由a9a2a6得a9a，所以q2.由條件可知q>0，故q.由2a13a21得2a13a1q1，所以a1.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).故2.2.所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.錯(cuò)位相減法求和例3(2012天津高考)已知an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，bn是等比數(shù)列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)記Tna1b1a2b2anbn，nN*，證明Tn8an1bn1(nN*，n2)自主解答(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由條件，得方程組解得所以an3n1，bn2n，nN*.(2)證明：由(1)得Tn22522823(3n1)2n，2Tn222523(3n4)2n(3n1)2n1.由，得Tn2232232332n(3n1)2n1(3n1)2n12(3n4)2n18，即Tn8(3n4)2n1.而當(dāng)n2時(shí)，an1bn1(3n4)2n1，所以Tn8an1bn1，nN*，n2.若本例(2)中Tnanb1an1b2a1bn，nN*，求證：Tn122an10bn(nN*)證明：由(1)得Tn2an22an123an22na1，2Tn22an23an12na22n1a1.，得Tn2(3n1)32232332n2n22n26n2102n6n10.而2an10bn122(3n1)102n12102n6n10，故Tn122an10bn，nN*. 用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問(wèn)題(1)要善于識(shí)別題目類(lèi)型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“SnqSn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解3已知等差數(shù)列an的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為4.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(4an)qn1(q0，nN*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)設(shè)an的公差為d.由已知得解得a13，d1.故an3(n1)(1)4n.(2)由(1)得，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1.若q1，將上式兩邊同乘以q有qSn1q12q2(n1)qn1nqn.兩式相減得到(q1)Snnqn1q1q2qn1nqn.于是，Sn.若q1，則Sn123n.所以Sn1種思想轉(zhuǎn)化與化歸思想數(shù)列求和把數(shù)列通過(guò)分組、變換通項(xiàng)、變換次序、乘以常數(shù)等方法，把數(shù)列的求和轉(zhuǎn)化為能使用公式求解或者能通過(guò)基本運(yùn)算求解的形式，達(dá)到求和的目的2個(gè)注意“裂項(xiàng)相消法求和”與“錯(cuò)位相減法求和”應(yīng)注意的問(wèn)題(1)使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)(2)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解4個(gè)公式常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式(1)；(2)；(3)；(4)().答題模板利用錯(cuò)位相減法解決數(shù)列求和典例(2012江西高考)(本小題滿(mǎn)分12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2kn(其中kN)，且Sn的最大值為8.(1)確定常數(shù)k，求an；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.快速規(guī)范審題第(1)問(wèn)1審條件，挖解題信息觀察條件：Snn2kn及Sn的最大值為8當(dāng)nk時(shí)，Sn取得最大值2審結(jié)論，明確解題方向觀察所求結(jié)論：求k的值及anSn的最大值為8，即Sk8，k4. Snn24n.3建聯(lián)系，找解題突破口根據(jù)已知條件，可利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式：求通項(xiàng)公式anSnSn1n(n2)，a1S1ann.第(2)問(wèn)1審條件，挖解題信息觀察條件：ann及數(shù)列.2審結(jié)論，明確解題方向觀察所求結(jié)論：求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn可利用錯(cuò)位相減法求和3建聯(lián)系，找解題突破口條件具備，代入求和：Tn12Tn22：2TnTn214.準(zhǔn)確規(guī)范答題(1)當(dāng)nkN時(shí)，Snn2kn取得最大值，即8Skk2k2k2，(2分)利用anSnSn1時(shí)，易忽視條件n2.故k216，因此k4，(3分)從而anSnSn1n(n2)(4分)又a1S1，(5分)所以ann.(6分)(2)因?yàn)?，錯(cuò)位相減時(shí)，易漏項(xiàng).所以Tn1，(7分)所以2Tn22，(8分)：2TnTn2144.(11分)所以Tn4.(12分)答題模板速成用錯(cuò)位相減法解決數(shù)列求和的步驟：第一步判斷結(jié)構(gòu)第二步乘公比第三步錯(cuò)位相減第四步求和若數(shù)列anbn是由等差數(shù)列an與等比數(shù)列(公比q)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，則可用此法求和設(shè)anbn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，然后兩邊同乘以q乘以公比q后，向后錯(cuò)開(kāi)一位，使含有qk(kN*)的項(xiàng)對(duì)應(yīng)，然后兩邊同時(shí)作差將作差后的結(jié)果求和，從而表示出Tn一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1已知an是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和，且9S3S6，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為()A.或5B.或5C. D.解析：選C設(shè)數(shù)列an的公比為q.由題意可知q1，且，解得q2，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由求和公式可得S5.2數(shù)列1，3，5，7，(2n1)，的前n項(xiàng)和Sn的值等于()An21 B2n2n1Cn21 Dn2n1解析：選A該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an(2n1)，則Sn135(2n1)n21.3設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S830，S47，則a4的值等于()A. B.C. D.解析：選C由題意可得解得故a4a13.4.等于()A. B.C. D.解析：選B令Sn，則 Sn，得：Sn，故Sn.5已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2cos n(nN*)，Sn為它的前n項(xiàng)和，則等于()A1 005 B1 006C2 011 D2 012解析：選B注意到cos n(1)n(nN*)，故an(1)nn2.因此有S2 012(1222)(3242)(2011220122)1232 0112 0121 0062 013，所以1 006.6(2013錦州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)xmax的導(dǎo)函數(shù)f(x)2x1，則數(shù)列(nN*)的前n項(xiàng)和是()A. B.C. D.解析：選Af(x)mxm1a，m2，a1.f(x)x2x，f(n)n2n.，令Sn1.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7(2012江西高考)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公比不為1.若a11，且對(duì)任意的nN*都有an2an12an0，則S5_.解析：由an2an12an0，得anq2anq2an0，顯然an0，所以q2q20.又q1，解得q2.又a11，所以S511.答案：118對(duì)于數(shù)列an，定義數(shù)列an1an為數(shù)列an的“差數(shù)列”，若a12，an的“差數(shù)列”的通項(xiàng)公式為2n，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_.解析：an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.Sn2n12.答案：2n12.9數(shù)列an的通項(xiàng)ann(nN*)，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2 013_.解析：annncos n，a11，a22，a33，a44，S2 013(1)2(3)4(5)6(2 009)2 010(2 011)2 012(2 013)(1)2(3)4(5)6(2 009)2 010(2 011)2 012(2013)11112 0131 0062 0131 007.答案：1 007三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10(2012湖北高考)已知等差數(shù)列an前三項(xiàng)的和為3，前三項(xiàng)的積為8.(1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a2a1d，a3a12d，由題意得解得或所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.(2)當(dāng)an3n5時(shí)，a2，a3，a1分別為1，4,2，不成等比數(shù)列；當(dāng)an3n7時(shí)，a2，a3，a1分別為1,2，4，成等比數(shù)列，滿(mǎn)足條件故|an|3n7|記數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和為Sn.當(dāng)n1時(shí)，S1|a1|4；當(dāng)n2時(shí)，S2|a1|a2|5；當(dāng)n3時(shí)，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5n2n10.當(dāng)n2時(shí)，滿(mǎn)足此式綜上可知，Sn11(2013合肥模擬)數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，a1t，點(diǎn)(Sn，an1)在直線(xiàn)y3x1上，nN*.(1)當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，數(shù)列an是等比數(shù)列(2)在(1)的結(jié)論下，設(shè)bnlog4an1，cnanbn，Tn是數(shù)列cn的前n項(xiàng)和，求Tn.解：(1)點(diǎn)(Sn，an1)在直線(xiàn)y3x1上，an13Sn1，an3Sn11(n>1，且nN*)an1an3(SnSn1)3an，即an14an，n>1.又a23S113a113t1，當(dāng)t1時(shí)，a24a1，數(shù)列an是等比數(shù)列(2)在(1)的結(jié)論下，an14an，an14n，bnlog4an1n.cnanbn4n1n，Tnc1c2cn(401)(412)(4n1n)(14424n1)(123n).12已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足Snn2an(nN*)(1)證明：數(shù)列an1為等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn(2n1)an2n1，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n.求滿(mǎn)足不等式>2 013的n的最小值解：(1)證明：因?yàn)镾nn2an，即Sn2ann，所以Sn12an1(n1)(n2，nN*)兩式相減化簡(jiǎn)，得an2an11.所以an12(an11)(n2，nN*)所以數(shù)列an1為等比數(shù)列因?yàn)镾nn2an，令n1，得a11.a112，所以an12n，即an2n1.(2)因?yàn)閎n(2n1)an2n1，所以bn(2n1)2n.所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523(2n1)2n(2n1)2n1，得Tn322(22232n)(2n1)2n162(2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1.所以Tn2(2n1)2n1.若>2 013，則>2 013，即2n1>2 013.由于2101 024,2112 048，所以n111，即n10.所以滿(mǎn)足不等式>2 013的n的最小值是10.1設(shè)f(x)，若Sfff，則S_.解析：f(x)，f(1x)，f(x)f(1x)1.Sfff，Sfff，得2S2 012，S1 006.答案：1 0062求和Sn.解：Sn(123n)n1.3在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足San.(1)求Sn的表達(dá)式；(2)設(shè)bn，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)San，anSnSn1(n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由題意Sn1Sn0，式兩邊同除以Sn1Sn，得2，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列12(n1)2n1.Sn.(2)又bn，故Tnb1b2bn.4設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足a13a232a33n1an，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)a13a232a33n1an，當(dāng)n2時(shí)，a13a232a33n2an1，得3n1an，an.在中，令n1，得a1，適合an，an.(2)bn，bnn3n.Sn3232333n3n，3Sn32233334n3n1.得2Snn3n1(332333n)，即2Snn3n1，Sn.