2014年華師在線秋季《數(shù)學分析選論》在線作業(yè).doc

《2014年華師在線秋季《數(shù)學分析選論》在線作業(yè).doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2014年華師在線秋季《數(shù)學分析選論》在線作業(yè).doc（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2014年秋季數(shù)學分析選論在線作業(yè)1. 計算, 其中是圓周, ，若從軸正向看出，L是沿逆時針方向運行.解： 平面的法線方向單位向量為，圍成方程為 依斯托克斯公式得，=.2. 試論下列函數(shù)在指定點的重極限，累次極限（1） , ；（2） .解： (1) 注意到 , ， 故兩個累次極限均為0，但是, 所以重極限不存在.(2) 注意到 , , 故兩個累次極限不存在. 此外，因為 ， 所以.3. 設是由方程，求.解： 方程兩邊對求偏導，有, 因而 . 方程兩邊對求偏導，有 ,因而 . 故 .4. 計算, 其中為由平面, , , , 與所圍成.解： 在平面上的投影區(qū)域為, 于是5. 設 是某可微函數(shù)的全微分，求的值.解： 不妨設該可微函數(shù)為，則按定義可得 ，由此知. 從而又得 .聯(lián)系到上面第一式，有 或 ,從而 .6. 求曲面被柱面與平面所割下部分的面積.解： 曲面方程表示為 , , , 于是所求面積S=7. 計算，其中為以，為頂點的正方形封閉圍線.解： 段：直線方程 ，.段：直線方程 ，.段：直線方程 ，段：直線方程 ，于是有， =0 .8. 求曲面被平面截下部分之曲面面積S.解： 由得 ，從而 。注意到該曲面上的點關(guān)于平面對稱，且其上半部分在平面上的投影為區(qū)域，從而有 .9. 求, 其中是點A(2,0)到點O(0,0)的上半圓周.解： 用軸上直線段, 使上半圓周和直線段構(gòu)成封閉曲線. 設, .有.于是,由格林公式知=.其中在直線段上, 有, , 則.因此 10. 試討論函數(shù) 在處的可微性.解： 因為, 所以, ,其中 , ， 由此知在處可微.11. 求, 其中S是邊長為的正方體的外側(cè).解： 利用高斯公式, 得12. 計算，其中為四分之一的邊界，依逆時針方向.解： 設，則 原式 13. 設由方程 所確定，試求.解： 對原方程取對數(shù)，得，并該式兩端對求導，有，即 ，再對上式兩端對求導，得 .14求表面積為, 而體積最大的長方體的體積.解： 設長，寬，高分別為，則問題變?yōu)榍蠛瘮?shù) 的最大值，聯(lián)系方程為 . 設輔助函數(shù)為，則有解方程組得到，因而最大體積為.15求橢圓面在處的切平面方程與法線方程.解： 設. 由于在全空間上處處連續(xù), 在處 于是, 得切平面方程為,即 .法線方程為 16. 設, 求.解： 方程組兩邊對求偏導得到 , 因此有，。方程組兩邊對求偏導得到, 因此 17. 設 , 而 , . 求, . 和解： 由于 , , , , 于是, .18. 設 . 求 , .解： 這里是以和 為自變量的復合函數(shù), 它可寫成如下形式, , . 由復合函數(shù)求導法則知.于是 , 19. 變換為球面坐標計算積分 .解：積分區(qū)域變換為球面坐標為 .于是, =20. 設函數(shù)連續(xù)，,其中，求和 .解： 因為區(qū)域為柱狀區(qū)域，被積函數(shù)中第二項為，所以用柱坐標法比較方便 .于是, . 利用洛必達法則, 有.21. 解答下列問題（1）設 是光滑弧上的連續(xù)函數(shù)，長度記為，則， ， (2) 設， ， 則，（3）設是曲線 上從到之線段，證明: .解： (1) 注意到柯西不等式， 。（2）由于 ， ，可知 . 采用極坐標，可得.由此知 , 利用題（1），有 ， （3）因為 ，所以 ， 。 .將曲線用參數(shù)式表示，即令 ， ，且取順時針方向為正，可知22. 計算 ， 其中 S是由曲面與平面所圍成立體表面的外側(cè).解： 曲面S1取負側(cè)，而投影區(qū)域為D1：，于是應用極坐標可得，曲面S2取正側(cè)，而投影區(qū)域為D2：2，于是應用極坐標可得，于是, .23. 討論下列函數(shù)的連續(xù)性（1）（2）解： （1）注意到 ， 有因此,，即 在（0，0）處連續(xù).（2）注意到 , 故在（0，0）處不連續(xù).24. 計算曲面積分, 其中為圓錐面被曲面所割下的部分.解： 對于圓錐面，則 ，在平面上投影區(qū)域為：，于是 25. 設是由直線 和 圍成, 試求 的值.解： 先對積分后對積分 .由分部積分法, 知 26. 設是上的正值連續(xù)函數(shù)，試證，其中是 ，.證明： 由于對上面區(qū)域變換積分變量記號時，積分區(qū)域不變，因此27. 設在上可微函數(shù)滿足+，試證：在極坐標系里只是的函數(shù).證： 對于復合函數(shù) ，, 由于 ， =+，因此當時，與無關(guān)，即在極坐標系里只是的函數(shù).28. 證明： 方程所確定的隱函數(shù) 滿足.證明： 對方程兩邊分別對和求偏導數(shù)，有，分別解得 ，于是，得到 29. 設 證明：不存在.證明： 注意到,它隨而異，因此不存在.30. 設 證明:.證明： 對 由于 可知當時,便有 . 故