數學分析(華東師大)第四章函數的連續(xù)性.doc

《數學分析(華東師大)第四章函數的連續(xù)性.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數學分析(華東師大)第四章函數的連續(xù)性.doc（19頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

第 四 章 函 數 的 連 續(xù) 性1 連續(xù)性概念連續(xù)函數是數學分析中著重討論的一類函數 .從幾何形象上粗略地說 , 連續(xù)函 數在坐 標平 面上 的圖象 是一 條連綿 不斷 的 曲線 .當然我們不能滿足于這種直 觀的認 識 , 而應 給出函 數連 續(xù)性 的精確 定義 , 并由此出發(fā)研究連續(xù)函數的性質 .本 節(jié)中先 定義 函數 在一點 的連 續(xù)性和 在區(qū) 間 上的連續(xù)性 .一 函數在一點的連續(xù)性定義 1 設函數 f 在某 U( x0 ) 內有定義 .若limx xf ( x ) =f ( x0 ) ,( 1)0則稱 f 在點 x0 連續(xù) .例如 , 函數 f ( x ) = 2 x + 1 在點 x = 2 連續(xù) , 因為又如 , 函數limx 2f ( x) = limx 2( 2 x + 1 ) = 5 =f (2 ) .f ( x) =xsin 1x,x 0 ,0 ,x = 0在點 x = 0 連續(xù) , 因為limx 0f ( x) = limx 0xsin 1x= 0 =f ( 0) . 為引入函數 y = f ( x ) 在點 x0 連 續(xù) 的另 一種 表述 , 記 x = x - x0 , 稱為 自 變量 x( 在點 x0 ) 的增量或改變量 .設 y0 = f ( x0 ) , 相應 的函數 y ( 在 點 x0 ) 的 增 量記為y =f ( x ) -f ( x0 ) =f ( x0 + x) -f ( x0 ) = y - y0 . 注 自變量的增量 x 或函數的增量 y 可以是正數 , 也可以是 0 或負數 .引進了增量的概念之后 , 易見“ 函數 y = f ( x ) 在點 x0 連續(xù)”等價于lim y = 0 . x 070第四章 函數的連續(xù)性 由于函數在一點的連續(xù)性 是通 過 極限 來定 義的 , 因 而 也可 直接 用 - 方 式來敘述 , 即 : 若對任給的 0 , 存在 0 , 使得當 | x - x0 | 時有|f ( x) -f ( x0 ) | ,( 2)則稱函數 f 在點 x0 連續(xù) .由上述定義 , 我們可得出函數 f 在點 x0 有 極限 與 f 在 x0 連 續(xù)這兩 個概 念之間的聯系 .首先 , f 在點 x0 有極限是 f 在 x0 連續(xù)的必要條件 ; 進一步說“,f 在點 x0 連續(xù)”不僅要求 f 在點 x0 有極限 , 而且其 極限值應 等于 f 在 x0 的 函數 值 f ( x0 ) .其次 , 在討論極限 時 , 我們假 定 f 在 點 x0 的某 空心 鄰域 U( x0 ) 內有 定 義 ( f 在點 x0 可以沒有定義 ) , 而“ f 在點 x0 連續(xù)”則要求 f 在某 U( x0 ) 內 ( 包 括 點 x0 ) 有定義 , 此時由于 (2 ) 式當 x = x0 時總是成 立的 , 所以在 極限定義 中的“0 | x - x0 | ”換成了在連續(xù)定義中的“ | x - x0 | 0 , 為使|f ( x ) -f ( 0) | = | xD( x ) | | x | ,只要取 = , 即可按 - 定義推得 f 在 x = 0 連續(xù) . 相應于 f 在點 x0 的左、右極限的概念 , 我們給出左、右連續(xù)的定義如下 : 定義 2 設函數 f 在某 U + ( x0 ) ( U - ( x0 ) ) 內有定義 .若limx x +0f ( x) =f ( x0 )lim-x x0f ( x) =f ( x0 ),則稱 f 在點 x0 右 ( 左 ) 連續(xù) .根據上述定義 1 與定義 2 , 不難推出如下定理 .定理 4.1 函數 f 在點 x0 連續(xù)的充 要條 件是 : f 在 點 x0 既是 右連續(xù) , 又 是 左連續(xù) .例 2 討論函數在點 x = 0 的連續(xù)性 .解 因為f ( x ) =x + 2 , x 0 , x - 2 , x 0不妨設 12, 滿足 1 的正 整q數 q 顯然只有有限個 ( 但至少有一個 , 如 q = 2) , 從而使 R( x ) 的 有理數 x (0 , 1 ) 只有有限個 至少有一個 , 如 12, 設為 x1 , xn .取 = min| x1 - | , | xn - | , 1 - ,1 連續(xù)性概念73則對任何 x U(;) ( ( 0 , 1) ) , 當 x 為有理數時有 R( x ) , 當 x 為無理數 時 R ( x ) = 0 .于是 , 對任何 x U(;) , 總有R ( x) -R()= R ( x ) 0 .所以 R ( x ) 在任何有理點處都不連續(xù) .習 題1. 按定義證明下列函數在其定義域內連續(xù) : ( 1) f ( x ) = 1 ; ( 2) f ( x ) = | x | .x2. 指出下列函數的間斷點并說明其類型 : ( 1) f ( x ) = x + 1 ; ( 2) f ( x) = sin x ;x| x | ( 3) f ( x ) = | cos x | ; (4) f ( x) = sgn | x | ; ( 5) f ( x ) = sgn ( cos x ) ;x ,x 為有理數 , ( 6) f ( x ) = ( 7) f ( x ) =- x ,x 為無理數 ; 1x + 7 , - x - 7 ,x , - 7 x 1( x - 1 )sin 1 , 1 x 0 ( 或 0 ) , 則 對任何正數 r f ( x0 ) ( 或 r r ( 或 f ( x ) 0 時 ) 存在某 U( x0 ) , 使在其內有 f ( x) 12f ( x0 ) .定理 4 .4 ( 四則運算 ) 若函數 f 和 g 在點 x0 連續(xù) , 則 f g , fg, 6f g( x0 ) 0) 也都在點 x0 連續(xù) .以上三個定理的證明 , 都可從函數極限的有關定理直接推得 .g/( 這里對常量函數 y = c 和函數 y = x 反復應用定理 4.4 , 能推出多項式函數nn - 1P( x) = a0 x+ a1 x+ an - 1 x + an和有理函數 R ( x ) = P( x)Q( x)( P , Q 為多項式 ) 在其定義域的每 一點都是 連續(xù)的 .同樣 , 由 sin x 和 cos x 在 R 上的連續(xù)性 , 可推出 tan x 與 cot x 在其定義域的每2 連續(xù)函數的性質75一點都連續(xù) .關于復合函數的連續(xù)性 , 有如下定理 :定理 4.5 若函數 f 在點 x0 連續(xù) , g 在點 u0 連續(xù) , u0 = f ( x0 ) , 則復合函 數gf 在點 x0 連續(xù) .證 由于 g 在 u0 連續(xù) , 對任給的 0, 存在 1 0 , 使得當| u - u0 | 1 時有| g( u) -g( u0 ) | 0 , 存在 0 , 使得 當| x - x0 | 時有 | u - u0 | = | f ( x ) - f ( x0 ) | 0 ,存在 0 , 當 | x - x0 | 時有| g ( f ( x ) ) -g( f ( x0 ) ) | .這就證明了 gf 在點 x0 連續(xù) .注 根據連續(xù)性的定義 , 上述定理的結論可表為limx x0g( f ( x) ) = glimx x0f ( x )= g( f ( x0 ) ) .( 2) 例 1 求lim sin (1 - x2 ) .x 1解 sin( 1 - x2 ) 可看作函數 g( u) = sin u 與 f ( x ) = 1 - x2 的復合 .由 ( 2) 式得lim sin( 1 -x2 ) = sin lim(1 -x2 )= sin 0 = 0 .x 1x 1 注 若復合函數 g f 的內函 數 f 當 x x0 時 極限 為 a , 而 a f ( x0 ) 或 f 在 x0 無定義 ( 即 x0 為 f 的可去間斷點 ) , 又外函數 g 在 u = a 連續(xù) , 則我們仍可 用上述定理來求復合函數的極限 , 即有l(wèi)imx x0g( f ( x ) ) = glimx x0f ( x).( 3)讀者還可證明 : ( 3 ) 式 不 僅 對 于 x x0 這 種 類 型 的 極 限 成 立 , 而 且 對 于 x 0+ , x - 或 x x等類型的極限也是成立的 .例 2 求極限 : (1 ) lim2 - sin x ; (2 ) lim2 - sin x .x 0解 (1 ) limx 0x2 - sin xxx =2 - limx 0xsin x =2 - 1 = 1; x(2 ) lim2 - sin x =2 - limsin x=2 - 0 =2 .x xx x二 閉區(qū)間上連續(xù)函數的基本性質設 f 為閉區(qū)間 a , b 上 的連續(xù) 函數 , 本 段中我 們討 論 f 在 a , b 上 的整 體 性質 .76第四章 函數的連續(xù)性定義 1 設 f 為定義在數集 D 上的函數 .若存在 x0 D, 使得對一切 x D有f ( x0 ) f ( x ) ( f ( x0 ) f ( x) ) ,則稱 f 在 D 上有最大 ( 最小 ) 值 , 并稱 f ( x0 ) 為 f 在 D 上的最大 ( 最小 ) 值 .例如 , sin x 在 0 , 上有最大 值 1 , 最小 值 0 .但 一般 而言 , 函 數 f 在 其定 義 域 D 上不一定有最大值或最小值 ( 即使 f 在 D 上有界 ) .如 f ( x) = x 在 ( 0 , 1) 上 既無最大值也無最小值 .又如g( x ) = 1x ,x (0 , 1 ) ,2 ,x = 0 與 1 ,( 4)它在閉區(qū)間 0 , 1 上也無最大、最小值 .下述定理給出了函數能取得最大、最小值 的充分條件 .定理 4 .6 ( 最大、最 小 值 定理 ) 若函 數 f 在閉 區(qū) 間 a , b 上 連 續(xù) , 則 f 在 a , b 上有最大值與最小值 .此定理和隨后的定理 4.7 以及本節(jié)最后的定理 4.9 , 其證明 將在第 七章2 給出 .在這里讀者先對這些定理有所了解 , 并能初步運用它們 .推論 ( 有界性定理 ) 若 函 數 f 在 閉 區(qū) 間 a, b 上 連 續(xù) , 則 f 在 a , b 上 有界 . 易見由 (4 ) 式給出的函數 g 在閉區(qū)間 0 , 1 上無界 , 請讀 者考慮為 什么對 函 數 g 上述推論的結論不成立 .定理 4 .7 ( 介 值 性 定 理 ) 設 函 數 f 在 閉 區(qū) 間 a , b 上 連 續(xù) , 且 f ( a ) f ( b) .若 為介于 f ( a) 與 f ( b) 之間的任何實數 ( f ( a) f ( b) ) , 則至少存在一點 x0 ( a , b) , 使得f ( x0 ) = . 這個定理表明 , 若 f 在 a , b 上連續(xù) , 又不妨設 f ( a) f ( b) , 則 f 在 a, b上必能取得區(qū)間 f ( a) , f ( b) 中的一切值 , 即有 f ( a) , f ( b) f ( a, b ) ,其幾何意義如圖 4 - 2 所示 .推論 ( 根的存在定理 ) 若函數 f 在閉 區(qū)間 a, b 上 連續(xù) , 且 f ( a ) 與 f ( b)異號 ( 即 f ( a) f ( b) 0 , n 為正整數 , 則存在唯一正數 x , 使得 xn = r( x稱為nr 的 n 次正根 ( 即算術根 ) , 記作 x0 =r ) .證 先證存在性 .由于當 x + 時有 xn + , 故必存在正數 a , 使得 an000 r .因 f ( x ) = xn 在 0 , a 上連續(xù) , 并 有 f ( 0) r f ( a) , 故 由介 值性定 理 , 至 少存在一點 x ( 0 , a) , 使得 f ( x ) = xn = r .11再證唯一性 .設正數 x 使得 x n = r , 則有x nnn - 1n - 2n - 10 -x1 = ( x0 -x1 )x0+ x0x1 + x1= 0 ,由于第二個括號內的數為正 , 所以只能 x0 - x1 = 0 , 即 x1 = x0 .例 4 設 f 在 a , b 上連續(xù) , 滿足f ( a , b ) a , b .( 5)證明 : 存在 x0 a , b , 使得f ( x0 ) =x0 .( 6) 證 條件 (5 ) 意味著 : 對任何 x a , b 有 a f ( x ) b, 特別有a f ( a) 以及 f ( b) b .若 a = f ( a) 或 f ( b) = b, 則 取 x0 = a 或 b, 從 而 ( 6 ) 式 成 立 .現 設 a f ( a ) 與f ( b) 0 , F( b) = f ( b) - b 0 , 可在 ( a , b) 內 x0 的兩 側各 取異 于 x0 的 點 x1 , x2 ( x1 x0 x2 ) , 使 它們 與 x0 的 距 離 小于 ( 圖 4 - 4) .設與 x1 , x2 對應的函數值分別為 y1 , y2 ,由 f 的嚴格增性知 y1 y0 y2 .令 = min( y2 -y0 , y0 -y1 ) ,圖 4 - 4- 1則當 y U ( y0 ;) 時 , 對應的 x = f( y) 的值都落在 x1 與 x2 之間 , 故有00| f - 1 ( y) -f - 1 ( y ) | = | x -x| 0 , 存在 = () 0 , 使得對任何 x, x I , 只要 | x- x| , 就有|f ( x) -f ( x) | , 則稱函數 f 在區(qū)間 I 上一致連續(xù) .直觀地說 , f 在 I 上一致 連 續(xù)意 味著 : 不 論 兩點 x與 x在 I 中 處 于什 么 位 置 , 只要它們的距離小于 , 就可使 | f ( x) - f ( x) | 0 , 由于|f ( x) -f ( x) | = | a | | x-x| ,故可選取 = | a |, 則對任何 x, x ( - , + ) , 只要 | x- x| , 就有|f ( x) -f ( x) | 0 , 對任 何正數 ( 不 論 多么小 ) , 總 存在 兩點 x, x I , 盡 管| x- x| , 但有 | f ( x) - f ( x) | 0 .對于本例中函數 y = 1 , 可取 0 = 1 , 對無論多么小的正數 1 , 只要取x2x= 與 x= ( 圖 4 - 5) , 則雖有2| x-x| = 2但 1 ,所以 y = 1 在 ( 0 , 1) 內不一致連續(xù) .x函數在區(qū)間上 連續(xù) 與一 致連 續(xù) 這兩 個概 圖 4 - 580第四章 函數的連續(xù)性念有著重要的差別 . f 在區(qū)間 I 上連續(xù) , 是指任給 0 , 對每 一點 x I , 都存 在 相應的正數 = (, x) , 只要 x I 且 | x - x| , 就有 | f ( x ) - f ( x) | 0 , 由 f 在 I1 和 I2 上 的 一致 連續(xù) 性 , 分別 存在 正 數 1 和 2 ,使得對任何 x, x I , 只要 | x- x| 1 , 就有|f ( x) -f ( x) | ;( 7)又對任何 x, x I2 , 只要 | x- x| 0 , 存在 3 0 , 當 | x - c | 3 時有|f ( x ) -f ( c) | .( 8)2 令 = min(1 , 2 , 3 ) , 對任何 x, x I , | x- x| , 分別討論以下兩種 情形 :( i) x, x同時屬于 I1 或同時屬于 I2 , 則 ( 7) 式成立 ; ( ii) x, x分屬 I1 與 I2 , 設 x I1 , x I2 , 則| x- c | = c -xx-x 3 ,故由 (8 ) 式得 | f ( x) - f ( c) | 2.同理得 | f ( x) - f ( c) | g( x0 ) , 則存在 U( x0 ;) , 使在其內有 f ( x ) g( x) ; ( 2) 若在某 U( x0 ) 內有 f ( x ) g( x) , 則 f ( x0 ) g( x0 ) .3. 設 f , g 在區(qū)間 I 上連續(xù) .記F( x) = max f ( x) , g( x) , G( x ) = min f ( x) , g( x) .證明 F 和 G 也都在 I 上連續(xù) .提示 : 利用第一章總練習題 1 .4. 設 f 為 R 上連續(xù)函數 , 常數 c 0 .記- c ,若 f ( x) c .提示 : F( x) = max - c, min c , f ( x) .x - , x0 ,5. 設 f ( x) = sin x , g( x) =x + , x 0 .證明 :復合函數 f g 在 x = 0 連續(xù) , 但 g 在 x = 0 不連續(xù) .6. 設 f 在 a , + ) 上連續(xù) , 且 limx + a , + ) 上必有最大值或最小值嗎 ?f ( x ) 存 在 .證明 : f 在 a , + ) 上 有界 .又 問 f 在7. 若對任何充分小的 0 , f 在 a + , b - 上連續(xù) , 能否由此推出 f 在 ( a , b) 內連續(xù) .8. 求極限 :2 ( 1) lim (- x ) tan x ; (2 ) lim x1 + 2 x -x- 1 .x 4x 1 +x + 19. 證明: 若 f 在 a , b上連續(xù) , 且對 任何 x a , b , f ( x ) 0 , 則 f 在 a , b 上 恒正 或 恒負 . 10. 證明 :任一實系數奇次方程至少有一個實根 .11. 試用一致連續(xù)的定義證明 : 若 f , g 都在 區(qū)間 I 上一 致連 續(xù) , 則 f + g 也 在 I 上一 致 連續(xù) . 12. 證明 f ( x) =x 在 0 , + )上一致連續(xù) . 提示 : 0 , + ) = 0 , 1 1 , + ) , 利用定理 4.9 和例 10 的結論 .13. 證明 : f ( x) = x2 在 a , b 上一致連續(xù) , 但在 ( - , + ) 上不一致連續(xù) .14. 設函數 f 在區(qū)間 I 上滿足利普希 茨 ( Lipschitz) 條件 , 即存 在常數 L 0 , 使得 對 I 上 任意兩點 x, x都有| f ( x) -f ( x) | L | x- x| .證明 f 在 I 上一致連續(xù) .15. 證明 sin x 在 ( - , + ) 上一致連續(xù) . 提示 : 利用不等式 | sin x- sin x| | x- x| ( 見第三章1 例 4) . 82第四章 函數的連續(xù)性 16. 設函數 f 滿足第 6 題的條件 .證明 f 在 a , + ) 上一致連續(xù) .17. 設函數 f 在 0 , 2 a上連續(xù) , 且 f (0 ) = f (2 a) .證 明 :存在 點 x0 0 , a , 使 得 f ( x0 )= f ( x0 + a) .18. 設 f 為 a , b上的增函數 , 其值域為 f ( a) , f ( b) .證明 f 在 a , b 上連續(xù) .19. 設 f 在 a , b上連續(xù) , x1 , x2 , xn a , b .證明 :存在 a , b , 使得f () = 1 f ( x ) + f ( x ) + f ( x) .n12n 20. 證明 f ( x) = cosx 在 0 , + )上一致連續(xù) . 提示 : 0 , + ) = 0 , 1 1 , + ) .在 1 , + ) 上成立不等式cosx- cosx x-x x- x .3 初等函數的連續(xù)性從前面兩節(jié)知道 , 在基本初等函 數中 , 三 角函 數、反三角 函數 以及有 理指 數 冪函數都是其定義域上的連續(xù)函數 .本節(jié)將討論指數函數、對數函數與實指數冪 函數的連續(xù)性 , 以及初等函數的連續(xù)性 .一 指數函數的連續(xù)性在第一章中 , 我們已定義了實指數的乘冪 , 并證明了指數函數 y = ax( 0 0 , , 為任意實數 , 則有+ a a= a, ( a )= a. 證 不妨設 a 1 , 則 ax 由第一章3 (6 ) 式所定義 , 即ax = supr 0 , 設 r , s 為兩個有理數 , 且 r , s , 使得由 ax 的嚴格增性得a- ar , a- as .又有 aras = ar + s , 故得ar + s a+ .+ 由 的任意性推出( a- ) ( a- ) a.+ a a a. 為證相反的不等式 , 設 p 為有理數 , 且 p + , 使得a+ - ap .再取有理數 r , s 使 r , s 以及 p r + s , 則有3 初等函數的連續(xù)性83故得到ap ar + s = ar as a a, a+ - 0 ) 在 R 上是連續(xù)的 .證 先設 a 1 .由第三章 2 例 4 知lim ax = 1 = a0 ,x 00這表明 ax 在 x = 0 連續(xù) .現任取 x R .由定理 4.10 得ax = ax0 + ( x - x0 ) = ax 0 ax - x0 .令 t = x - x0 , 則當 x x0 時有 t0 , 從而有l(wèi)imx x0ax = limx x0ax0 ax - x 0 = ax0 limt 0at = ax 0 .0這就證明了 ax 在任一點 x 連續(xù) .當 0 a 1 時 , 令 b