數(shù)學(xué)分析1期末考試講解.doc

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數(shù)學(xué)分析題目講解一、 單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共14分）1、設(shè)數(shù)列滿足且，則為【 】A、0 B、1 C、 D、22、已知 則是的【 】A、第一類不連續(xù)點(diǎn)B、第二類不連續(xù)點(diǎn)C、連續(xù)點(diǎn)D、可去不連續(xù)點(diǎn)3、已知，則在處【 】A、左可導(dǎo) B、右可導(dǎo) C、可微 D、不連續(xù)4、若存在，下列說(shuō)法一定正確的是【 】A、在的任一鄰域內(nèi)有界B、在的某一鄰域內(nèi)無(wú)界C、在的某一鄰域內(nèi)有界D、在的任一鄰域內(nèi)無(wú)界5、若在處連續(xù)，并且，則【 】A、且存在 B、且存在C、且存在D、且存在6、若在點(diǎn)處存在左、右導(dǎo)數(shù)，則在點(diǎn)處必然【 】A、可導(dǎo)B、不可導(dǎo)C、連續(xù)D、不連續(xù)7、下列敘述錯(cuò)誤的是【 】A、若在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)可微；B、若在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)連續(xù)；C、若在點(diǎn)可導(dǎo)，則；D、設(shè)在點(diǎn)可導(dǎo)，則是極值點(diǎn)當(dāng)僅當(dāng).參考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 二、填空題（每小題3分，共21分）1、 2、曲線上平行于直線的切線的方程為 3、設(shè)，則 4、曲線的斜漸近線為 5、函數(shù)的極小值點(diǎn) _ _6、已知當(dāng)時(shí)與等價(jià)，則 7、 參考答案：1. ；2. ；3. 5；4. ；5. 4；6. 1；7. 三、計(jì)算題（每小題6分，共36分）1、計(jì)算.1、計(jì)算解：設(shè)，由于， ， ，（4分）由夾逼性，即原極限為1。（6分）2. 求極限 3. 已知任意次可微，求的二階微分.3. 已知任意次可微，求的.解：令，則， （2分）所以， （6分）4. 求方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4.求方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).5. 設(shè)，求.解：對(duì)等式兩端取對(duì)數(shù)，（1分）再對(duì)上式兩端分別求導(dǎo)， （4分） （5分）所以，6. 求由方程所確定的函數(shù)的微分.解：在方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得. （3分）解此方程，得。 （4分） 所以，。 （6分）四、綜合題（3小題，共29分）1. 敘述證明題（4小題，共14分）（1）敘述（有限）的定義；（3分）（2）敘述數(shù)列的柯西（Cauchy）收斂原理；（3分）（3）敘述在區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)的定義；（3分）（4）證明在上一致連續(xù)。（5分）解：（1）（有限）的定義：對(duì)任意給定的，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有。 （3分）（2）數(shù)列的柯西（Cauchy）收斂原理：數(shù)列收斂的充要條件是是一個(gè)基本數(shù)列。（3分）（3）在區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)的定義：若在區(qū)間內(nèi)滿足對(duì)任意的，存在，使得對(duì)內(nèi)任意兩點(diǎn)與，當(dāng)時(shí)，總有，則稱在區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)。 （3分）（4）證明：對(duì)任意，由于故對(duì)任意的，取，則對(duì)內(nèi)任意兩點(diǎn)與，當(dāng)時(shí)，總有，即在上一致連續(xù)。 （5分）2. 證明：當(dāng)時(shí)，.（7分）證明：（1）證明. 根據(jù)Lagrange中值定理，（2分）由于，所以。 （3分）（2）證明. 令，則，（2分）當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格單調(diào)遞減，由，知，從而。 （4分）3. 設(shè)在區(qū)間可導(dǎo)，且，證明：（1）存在使得；（5分）（2）在內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)。（3分）證明：（1）由，存在，使當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，。在中去一點(diǎn)，有；由，存在，使當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，。在中去一點(diǎn)，有。（3分）于是，。由在可導(dǎo)，在連續(xù)，由中間值定理，存在，使得。（5分）（2）由羅爾（Rolle）定理，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得。故在內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)。（8分）