（天津?qū)Ｓ茫?020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.2 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系精練.docx

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8.2空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義,并了解四個公理及推論2.會用平面的基本性質(zhì)證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)以及點(diǎn)線共面等問題3.理解空間兩直線的位置關(guān)系及判定,了解等角定理和推論2013天津,17證明異面直線垂直求二面角的正弦值2012天津,17求異面直線所成角的正切值證面面垂直、求線面角的正弦值2008天津,5直線、平面位置關(guān)系的判定充分條件分析解讀1.會用平面的基本性質(zhì)證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)線共面問題;會用反證法證明異面或共面問題.2.會證明兩條直線異面;會應(yīng)用三線平行公理和等角定理及推論解決有關(guān)問題,會求兩條異面直線所成的角;了解兩條異面直線間的距離.3.高考對本節(jié)內(nèi)容的考查常以棱柱、棱錐為載體,求異面直線所成的角,分值約為5分,屬于中檔題.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系1.是一個平面,m,n是兩條直線,A是一個點(diǎn),若m,n,且Am,A,則m,n的位置關(guān)系不可能是()A.垂直B.相交C.異面D.平行答案D2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直線與直線BA1是異面直線的條數(shù)為()A.4B.5C.6D.7答案C3.如圖,G,N,M,H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有()A.B.C.D.答案C4.已知四棱錐P-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等,點(diǎn)E是PB的中點(diǎn),則異面直線AE與PD所成角的余弦值為()A.13B.23C.33D.23答案C5.在正四棱錐P-ABCD中,PA=2,直線PA與平面ABCD所成角為60,E為PC的中點(diǎn),則異面直線PA與BE所成角的大小為.答案45煉技法【方法集訓(xùn)】方法1點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷方法1.(2014遼寧,4,5分)已知m,n表示兩條不同直線,表示平面.下列說法正確的是()A.若m,n,則mnB.若m,n,則mnC.若m,mn,則nD.若m,mn,則n答案B2.如圖所示,空間四邊形ABCD中,E,F,G分別在AB、BC、CD上,且滿足AEEB=CFFB=21,CGGD=31,過E、F、G的平面交AD于H,連接EH.(1)求AHHD;(2)求證:EH、FG、BD三線共點(diǎn).解析(1)AEEB=CFFB=2,EFAC,又EF平面ACD,AC平面ACD,EF平面ACD,又EF面EFGH,面EFGH面ACD=GH,EFGH.而EFAC,ACGH,AHHD=CGGD=3.AHHD=31.(2)證明:EFGH,且EFAC=13,GHAC=14,EFGH,四邊形EFGH為梯形,直線EH,FG必相交.設(shè)EHFG=P,則PEH,而EH面ABD,P面ABD,同理,P面BCD,而面ABD面BCD=BD,PBD.EH、FG、BD三線共點(diǎn).3.如圖所示,已知l1,l2,l3,l4四條直線兩兩相交且不過同一點(diǎn),交點(diǎn)分別為A,B,C,D,E,F.求證:四條直線l1,l2,l3,l4共面.證明證法一:A、C、E不共線,它們確定一個平面,又Al1,Cl1,l1,同理,l2,又Bl1,Dl2,B,D,l3,同理,l4,故l1,l2,l3,l4四條直線共面.證法二:點(diǎn)A、C、E不共線,它們確定一個平面,又Al1,Cl1,l1,同理,l2,又F、D、E不共線,它們確定一個平面.又Dl3,Fl3,El4,Fl4,l3,l4.而不共線的三點(diǎn)B、C、D可確定一個平面,又B、C、D既在內(nèi)又在內(nèi),故平面與平面重合.l1,l2,l3,l4四條直線共面.評析證法一與證法二是證明共面問題常用的方法,證法一是先確定一個平面,后證明其他的直線也在這個平面內(nèi),從而使問題得證;證法二是尋找了兩個平面與使得四條直線在內(nèi)或在內(nèi),然后再證明與重合,從而使問題得證.證明本題也可用反證法.方法2異面直線所成角的求法4.已知P是ABC所在平面外一點(diǎn),M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),若MN=BC=4,PA=43,則異面直線PA與MN所成角的大小是()A.30B.45C.60D.90答案A5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn),F為B1C1的中點(diǎn),則異面直線AF與C1E所成角的正切值為()A.52B.23C.255D.53答案C過專題【五年高考】A組自主命題天津卷題組1.(2008天津,5,5分)設(shè)a,b是兩條直線,是兩個平面,則ab的一個充分條件是()A.a,b,B.a,b,C.a,b,D.a,b,答案C2.(2013天津,17,13分)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A底面ABCD,ABDC,ABAD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn).(1)證明B1C1CE;(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為26,求線段AM的長.解析解法一:如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).(1)證明:易得B1C1=(1,0,-1),CE=(-1,1,-1),于是B1C1CE=0,所以B1C1CE.(2)B1C=(1,-2,-1).設(shè)平面B1CE的法向量m=(x,y,z),則mB1C=0,mCE=0,即x-2y-z=0,-x+y-z=0,消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一個法向量為m=(-3,-2,1).由(1)知B1C1CE,又CC1B1C1,可得B1C1平面CEC1,故B1C1=(1,0,-1)為平面CEC1的一個法向量.于是cos=mB1C1|m|B1C1|=-4142=-277,從而sin=217.所以二面角B1-CE-C1的正弦值為217.(3)AE=(0,1,0),EC1=(1,1,1).設(shè)EM=EC1=(,),01,有AM=AE+EM=(,+1,).可取AB=(0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量.設(shè)為直線AM與平面ADD1A1所成的角,則sin=|cos|=|AMAB|AM|AB|=22+(+1)2+22=32+2+1.于是32+2+1=26,解得=13,所以AM=2.解法二:(1)證明:因?yàn)閭?cè)棱CC1底面A1B1C1D1,B1C1平面A1B1C1D1,所以CC1B1C1.經(jīng)計(jì)算可得B1E=5,B1C1=2,EC1=3,從而B1E2=B1C12+EC12,所以在B1EC1中,B1C1C1E,又CC1,C1E平面CC1E,CC1C1E=C1,所以B1C1平面CC1E,又CE平面CC1E,故B1C1CE.(2)過B1作B1GCE于點(diǎn)G,連接C1G.由(1)知B1C1CE,故CE平面B1C1G,得CEC1G,所以B1GC1為二面角B1-CE-C1的平面角.在CC1E中,由CE=C1E=3,CC1=2,可得C1G=263.在RtB1C1G中,B1G=423,所以sinB1GC1=217,即二面角B1-CE-C1的正弦值為217.(3)連接D1E,過點(diǎn)M作MHED1于點(diǎn)H,可得MH平面ADD1A1,連接AH,AM,則MAH為直線AM與平面ADD1A1所成的角.設(shè)AM=x,從而在RtAHM中,有MH=26x,AH=346x.在RtC1D1E中,C1D1=1,ED1=2,得EH=2MH=13x.在AEH中,AEH=135,AE=1,由AH2=AE2+EH2-2AEEHcos135,得1718x2=1+19x2+23x,整理得5x2-22x-6=0,解得x=2.所以線段AM的長為2.評析本題主要考查空間兩條直線的位置關(guān)系,二面角,直線與平面所成的角,直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.3.(2012天津,17,13分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,ADPD,BC=1,PC=23,PD=CD=2.(1)求異面直線PA與BC所成角的正切值;(2)證明平面PDC平面ABCD;(3)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.解析(1)在四棱錐P-ABCD中,因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形,所以AD=BC且ADBC,故PAD(或其補(bǔ)角)為異面直線PA與BC所成的角.又因?yàn)锳DPD,所以tanPAD=PDAD=2.所以,異面直線PA與BC所成角的正切值為2.(2)證明:由于底面ABCD是矩形,故ADCD,又由于ADPD,CDPD=D,因此AD平面PDC,而AD平面ABCD,所以平面PDC平面ABCD.(3)在平面PDC內(nèi),過點(diǎn)P作PECD交直線CD于點(diǎn)E,連接EB.由于平面PDC平面ABCD,而直線CD是平面PDC與平面ABCD的交線,故PE平面ABCD.由此得PBE為直線PB與平面ABCD所成的角.在PDC中,PD=CD=2,PC=23,故PCD=30.在RtPEC中,PE=PCsin30=3.由ADBC,AD平面PDC,得BC平面PDC,因此BCPC.在RtPCB中,PB=PC2+BC2=13.在RtPEB中,sinPBE=PEPB=3913.所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為3913.評析本題主要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組1.(2018課標(biāo)文,9,5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A.22B.32C.52D.72答案C2.(2016浙江文,2,5分)已知互相垂直的平面,交于直線l.若直線m,n滿足m,n,則()A.mlB.mnC.nlD.mn答案C3.(2015浙江文,4,5分)設(shè),是兩個不同的平面,l,m是兩條不同的直線,且l,m.()A.若l,則B.若,則lmC.若l,則D.若,則lm答案A4.(2015廣東文,6,5分)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面內(nèi),l2在平面內(nèi),l是平面與平面的交線,則下列命題正確的是()A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交答案D5.(2014廣東文,9,5分)若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1l2,l2l3,l3l4,則下列結(jié)論一定正確的是()A.l1l4B.l1l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關(guān)系不確定答案D6.(2015四川文,18,12分)一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(1)請將字母F,G,H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由);(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(3)證明:直線DF平面BEG.解析(1)點(diǎn)F,G,H的位置如圖所示.(2)平面BEG平面ACH.證明如下:因?yàn)锳BCD-EFGH為正方體,所以BCFG,BC=FG,又FGEH,FG=EH,所以BCEH,BC=EH,故BCHE為平行四邊形.所以BECH.又CH平面ACH,BE平面ACH,所以BE平面ACH.同理,BG平面ACH.又BEBG=B,所以平面BEG平面ACH.(3)證明:連接FH.因?yàn)锳BCD-EFGH為正方體,所以DH平面EFGH,因?yàn)镋G平面EFGH,所以DHEG.又EGFH,DHFH=H,所以EG平面BFHD.又DF平面BFHD,所以DFEG.同理,DFBG.又EGBG=G,所以DF平面BEG.評析本題主要考查簡單空間圖形的直觀圖、空間線面平行與垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力、推理論證能力.7.(2014課標(biāo)文,18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).(1)證明:PB平面AEC;(2)設(shè)AP=1,AD=3,三棱錐P-ABD的體積V=34,求A到平面PBC的距離.解析(1)證明:設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O,連接EO.因?yàn)锳BCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點(diǎn).又E為PD的中點(diǎn),所以EOPB.EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)V=13PASABD=16PAABAD=36AB.由V=34,可得AB=32.作AHPB交PB于H.由題設(shè)知BC平面PAB,所以BCAH,又BCBP=B,故AH平面PBC.又AH=PAABPB=31313,所以A到平面PBC的距離為31313.評析本題考查直線和平面平行、垂直的判定方法以及空間距離的計(jì)算,考查了空間想象能力.C組教師專用題組(2014陜西文,17,12分)四面體ABCD及其三視圖如圖所示,平行于棱AD,BC的平面分別交四面體的棱AB,BD,DC,CA于點(diǎn)E,F,G,H.(1)求四面體ABCD的體積;(2)證明:四邊形EFGH是矩形.解析(1)由該四面體的三視圖可知,BDDC,BDAD,ADDC,BD=DC=2,AD=1,AD平面BDC,四面體ABCD的體積V=1312221=23.(2)證明:BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH,BCFG,BCEH,FGEH.同理,EFAD,HGAD,EFHG,四邊形EFGH是平行四邊形.又AD平面BDC,ADBC,EFFG,四邊形EFGH是矩形.【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共20分)1.(2019屆天津七校聯(lián)考期中,4)已知m,n是兩條不同的直線,是三個不同的平面,則下列命題中正確的是()A.若,則B.若mn,m,n,則C.若mn,m,n,則D.若mn,m,則n答案C2.(2018天津楊村一中熱身訓(xùn)練,4)已知命題p:“直線l垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線”的充要條件是“l(fā)”;命題q:若平面平面,直線a,則“a”是“a平行于”的充分不必要條件,則正確命題是()A.pqB.(p)qC.(p)(q)D.p(q)答案B3.(2018天津南開中學(xué)第三次月考,5)若m、n是兩條不同的直線,、是三個不同的平面,則下列命題中真命題是()A.若m,m,則B.若=m,=n,mn,則C.若m,則mD.若,則答案A4.(2019屆天津七校聯(lián)考期中,8)在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為線段A1B上的動點(diǎn),則下列結(jié)論正確的有()三棱錐M-DCC1的體積為定值;DC1D1M;AMD1的最大值為90;AM+MD1的最小值為2.A.B.C.D.答案A二、填空題(每小題5分,共5分)5.(2019屆天津新華中學(xué)期中,10)已知m,n是兩條不同直線,是兩個不同平面,則下列命題正確的是.若,垂直于同一平面,則與平行若m,n平行于同一平面,則m與n平行若,不平行,則在內(nèi)不存在與平行的直線若m,n不平行,則m與n不可能垂直于同一平面答案三、解答題(共75分)6.(2017天津南開中學(xué)第五次月考,17)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=12AA1,D是棱AA1的中點(diǎn),DC1BD.(1)證明:DC1BC;(2)求二面角A1-BD-C1的大小.解析(1)證明:由題設(shè)知,三棱柱的側(cè)面為矩形.由于D為AA1的中點(diǎn),故DC=DC1.又AC=12AA1,所以DC12+DC2=CC12,所以DC1DC.而DC1BD,DCBD=D,所以DC1平面BCD.又BC平面BCD,故DC1BC.(2)由(1)知BCDC1,且BCCC1,且DC1CC1=C1,則BC平面ACC1,所以CA,CB,CC1兩兩相互垂直.以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA為x軸的正方向,CB為y軸的正方向,CC1為z軸的正方向,|CA|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.由題意知A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2),則A1D=(0,0,-1),BD=(1,-1,1),DC1=(-1,0,1).設(shè)n=(x,y,z)是平面A1B1BD的法向量,則nBD=0,nA1D=0,即x-y+z=0,z=0,令x=1,則y=1,因此可取n=(1,1,0).同理,設(shè)m=(a,b,c)是平面C1BD的法向量,則mBD=0,mDC1=0,即a-b+c=0,-a+c=0,令a=1,則c=1,b=2,故可取m=(1,2,1).從而cos=nm|n|m|=32.又易知二面角A1-BD-C1為銳二面角,故二面角A1-BD-C1的大小為30.7.(2017天津南開一模,17)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,PA=PB,PAPB,F為CP上的點(diǎn),且BF平面PAC.(1)求證:平面PAB平面ABCD;(2)求直線PC與平面ABCD所成角的正弦值;(3)在棱PD上是否存在一點(diǎn)G,使GF平面PAB?若存在,求PG的長;若不存在,說明理由.解析(1)證明:BF平面PAC,PA平面PAC,BFPA,又PAPB,PBBF=B,PA平面PBC,又BC平面PBC,PABC,又底面ABCD是正方形,ABBC,又PAAB=A,BC平面PAB,BC平面ABCD,平面PAB平面ABCD.(2)作PEAB,垂足為E,連接EC,由(1)知平面PAB平面ABCD,又平面PAB平面ABCD=AB,PE平面ABCD,則PCE為直線PC與平面ABCD所成角.PA=PB,PAPB,AB=2,PE=1,PB=2,在RtPBC中,由勾股定理得PC=6,在RtPEC中,sinPCE=PEPC=66,直線PC與平面ABCD所成角的正弦值為66.(3)作FGCD,交PD于G,FGCD,ABCD,FGAB.又FG平面PAB,AB平面PAB,FG平面PAB,BF平面PAC,PC平面PAC,BFPC.在RtPBC中,易得BF=233.在RtPBF中,由勾股定理可得PF=63.又PC=PD,PG=63,即棱PD上存在一點(diǎn)G,使GF平面PAB,且PG=63.解題分析本題考查線面、面面垂直的判定定理,考查線面角,考查線面平行,屬于中檔題.8.(2017天津南開二模,17)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1平面ABC,BAC=90,AC=AB=AA1,E是BC的中點(diǎn).(1)求證:AEB1C;(2)求異面直線AE與A1C所成角的大小;(3)若G為C1C的中點(diǎn),求二面角C-AG-E的正切值.解析(1)證明:BB1平面ABC,AE平面ABC,AEBB1,由AB=AC,E為BC的中點(diǎn)得AEBC,BCBB1=B,AE平面BB1C1C,又B1C平面BB1C1C,AEB1C.(2)取B1C1的中點(diǎn)E1,連接A1E1,E1C,則AEA1E1,E1A1C或其補(bǔ)角是異面直線AE與A1C所成的角.設(shè)AC=AB=AA1=2,則由BAC=90,可得A1E1=AE=2,A1C=22,E1C1=EC=12BC=2,E1C=E1C12+C1C2=6,在E1A1C中,由余弦定理的推論得cosE1A1C=2+8-62222=12,異面直線AE與A1C所成角的大小為3.(3)設(shè)P是AC的中點(diǎn),過點(diǎn)P作PQAG于Q,連接EP,EQ,則EPAB,EPAC,又平面ABC平面ACC1A1,且平面ACC1A1平面ABC=AC,EP平面ABC,EP平面ACC1A1,而PQAG,由三垂線定理得EQAG.PQE是二面角C-AG-E的平面角,設(shè)EP=1,則AP=1,PQCG=APAG,PQ=15,得tanPQE=PEPQ=5.所以二面角C-AG-E的正切值是5.解題分析本題是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,主要考查了異面直線的夾角,線線垂直的判定,二面角等知識點(diǎn),難度適中,熟練掌握線面垂直,線線垂直與面面垂直之間的轉(zhuǎn)化及異面直線夾角與二面角的定義,是解答本題的關(guān)鍵.9.(2018天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)熱身訓(xùn)練,17)如圖,在側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,ADAB,AB=2,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中點(diǎn),F是平面B1C1E與直線AA1的交點(diǎn).(1)證明:EFA1D1;(2)證明:BA1平面B1C1EF;(3)求BC1與平面B1C1EF所成角的正弦值.解析(1)證明:因?yàn)镃1B1A1D1,C1B1平面ADD1A1,A1D1平面ADD1A1,所以C1B1平面A1D1DA.又因?yàn)槠矫鍮1C1EF平面A1D1DA=EF,所以C1B1EF,所以A1D1EF.(2)證明:因?yàn)锽B1平面A1B1C1D1,B1C1平面A1B1C1D1,所以BB1B1C1.又因?yàn)锽1C1B1A1,BB1B1A1=B1,所以B1C1平面ABB1A1,又BA1平面ABB1A1,所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中,F是AA1的中點(diǎn),所以tanA1B1F=tanAA1B=22,即A1B1F=AA1B,故BA1B1F,又B1FB1C1=B1,所以BA1平面B1C1EF.(3)設(shè)BA1與B1F的交點(diǎn)為H,連接C1H.由(2)知BA1平面B1C1EF,所以BC1H是BC1與平面B1C1EF所成的角.在矩形AA1B1B中,AB=2,AA1=2,易得BH=46.在RtBHC1中,BC1=25,BH=46,所以sinBC1H=BHBC1=3015.所以BC1與平面B1C1EF所成角的正弦值是3015.10.(2018天津河西二模,17)如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為平行四邊形,ACD=90,AB=1,AD=2,四邊形ABEF為正方形,平面ABEF平面ABCD,P為DF的中點(diǎn),ANCF,垂足為N.(1)求證:AN平面CDF;(2)求異面直線BF與PC所成角的正切值;(3)求三棱錐B-CEF的體積.解析(1)證明:四邊形ABEF為正方形,ABAF,四邊形ABCD為平行四邊形,ACD=90,CDAC,ABCD,CDAF,AFAC=A,CD平面ACF,AN平面AFC,CDAN,ANCF,CFCD=C,AN平面CDF.(2)連接BD交AC于點(diǎn)O,連接AP、PO.四邊形ABCD為平行四邊形,ACD=90,AB=1,AD=2,AC=AD2-CD2=4-1=3,AO=CO=32,平面ABEF平面ABCD,AF平面ABCD,又AD平面ABCD,AFAD,四邊形ABEF為正方形,AB=1,AF=AB=1,P為DF的中點(diǎn),AP=12FD.由(1)知CD平面ACF,CDCF,又P為DF的中點(diǎn),CP=12FD,AP=CP=12FD=12AF2+AD2=121+4=52,P為DF的中點(diǎn),O是BD的中點(diǎn),BFPO,CPO或其補(bǔ)角是異面直線BF與PC所成的角,sinCPO=COPC=3252=155,cosCPO=105,tanCPO=62,異面直線BF與PC所成角的正切值為62.(3)由(1)知CDAB,且ACD=90,CAB=90,即ABAC,由(2)知AF平面ABCD,AFAC,又AFAB=A,AC平面ABF,又由(2)知CA=3,三棱錐B-CEF的體積VB-CEF=VC-BEF=13SBEFCA=1312113=36.11.(2017天津耀華中學(xué)一模,17)如圖1,在邊長為3的正三角形ABC中,E,F,P分別為AB,AC,BC上的點(diǎn),且滿足AE=FC=CP=1.將AEF沿EF折起到A1EF的位置,使平面A1EF平面EFB,連接A1B,A1P,Q為A1B上一點(diǎn),連接PQ,CQ.(如圖2)(1)若Q為A1B中點(diǎn),求證:PQ平面A1EF;(2)求證:A1EEP;(3)求CQ與平面A1BE所成角的正切值.解析(1)證明:取A1E的中點(diǎn)M,連接QM,MF,在A1BE中,Q、M分別為A1B、A1E的中點(diǎn),QMBE,且QM=12BE.在題圖1中,CFFA=CPPB=12,PFBE,且PF=12BE,QMPF且QM=PF,四邊形PQMF為平行四邊形.PQFM.又FM平面A1EF,且PQ平面A1EF,PQ平面A1EF.(2)證明:如圖,取BE中點(diǎn)D,連接DF,AE=CF=1,DE=1,AF=AD=2.又A=60,ADF是正三角形.AE=ED=1,EFAD,在題圖2中有A1EEF.平面A1EF平面EFB,平面A1EF平面EFB=EF,A1E平面EFB,又EP平面EFB,A1EEP.(3)作CNBE于N,連接QN,則CNEF.EFA1E,EFBE,A1EBE=E,EF平面A1BE.因此,CN平面A1BE,即QN是CQ在平面A1BE內(nèi)的射影.CQN為CQ與平面A1BE所成的角.由計(jì)算可得CN=332,BQ=12A1B=52,cosA1BE=25.QN2=BQ2+BN2-2BQBNcosA1BE=12.QN=22.tanCQN=CNQN=33222=362.即CQ與平面A1BE所成角的正切值為362.解題分析本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定,考查空間想象能力和思維能力,考查線面角的求法,正確找出CQ與平面A1BE所成的角是解答該題的關(guān)鍵.