2018年秋高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)16 數(shù)學(xué)歸納法 新人教A版選修2-2.doc

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課時(shí)分層作業(yè)(十六)數(shù)學(xué)歸納法(建議用時(shí)：40分鐘)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3，nN*)，第一步驗(yàn)證()An1Bn2Cn3 Dn4C由題知，n的最小值為3，所以第一步驗(yàn)證n3是否成立2設(shè)Sk，則Sk1為()ASk BSkCSk DSkC因式子右邊各分?jǐn)?shù)的分母是連續(xù)正整數(shù)，則由Sk，得Sk1.由，得Sk1Sk.故Sk1Sk.3利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1n(n2，nN*)的過(guò)程中，由nk變到nk1時(shí)，左邊增加了() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062168】A1項(xiàng) Bk項(xiàng)C2k1項(xiàng) D2k項(xiàng)D當(dāng)nk時(shí)，不等式左邊的最后一項(xiàng)為，而當(dāng)nk1時(shí)，最后一項(xiàng)為，并且不等式左邊和分母的變化規(guī)律是每一項(xiàng)比前一項(xiàng)加1，故增加了2k項(xiàng)4對(duì)于不等式n1(nN)，某學(xué)生的證明過(guò)程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，11，不等式成立(2)假設(shè)nk(kN*)時(shí)，不等式成立，即k1，則nk1時(shí)，2的自然數(shù)n都成立B該命題對(duì)于所有的正偶數(shù)都成立C該命題何時(shí)成立與k取值無(wú)關(guān)D以上答案都不對(duì)B由nk時(shí)命題成立可以推出nk2時(shí)命題也成立且n2，故對(duì)所有的正偶數(shù)都成立二、填空題6用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n1n2n2(nN*)”時(shí)，第一步的驗(yàn)證為_解析當(dāng)n1時(shí)，左右，不等式成立，nN*，第一步的驗(yàn)證為n1的情形答案當(dāng)n1時(shí)，左邊4，右邊4，左右，不等式成立7用數(shù)學(xué)歸納法證明(11)(22)(33)(nn)2n1(n2n)時(shí)，從nk到nk1左邊需要添加的因式是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062170】解析當(dāng)nk時(shí)，左端為：(11)(22)(kk)，當(dāng)nk1時(shí)，左端為：(11)(22)(kk)(k1k1)，由k到k1需添加的因式為：(2k2)答案2k28數(shù)列an中，已知a12，an1(nN*)，依次計(jì)算出a2，a3，a4后，歸納、猜測(cè)得出an的表達(dá)式為_解析a12，a2，a3，a4，猜測(cè)an.答案an三、解答題9(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：12223242(1)n1n2(1)n1(nN*)(2)求證：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)解(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊121，右邊(1)01，左邊右邊，等式成立假設(shè)nk(kN*)時(shí)，等式成立，即12223242(1)k1k2(1)k1.則當(dāng)nk1時(shí)，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k.當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立，根據(jù)、可知，對(duì)于任何nN*等式成立(2)n1時(shí)，左邊12223，右邊3，等式成立假設(shè)nk時(shí)，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)2.當(dāng)nk1時(shí)，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1時(shí)，等式也成立由得，等式對(duì)任何nN*都成立10已知fn(x)滿足f1(x)(x0)，fn1(x)f1(fn(x). (1)求f2(x)，f3(x)，并猜想fn(x)的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)fn(x)的猜想. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062171】解(1)f2(x)f1f1(x)，f3(x)f1f2(x)猜想：fn(x)，(nN*)(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 ，fn(x)(nN*)當(dāng)n1時(shí)，f1(x)，顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，猜想成立，即fk(x)，則當(dāng)nk1時(shí)，fk1f1fk(x)，即對(duì)nk1時(shí)，猜想也成立；結(jié)合可知，猜想fn(x)對(duì)一切nN*都成立能力提升練1利用數(shù)學(xué)歸納法證明1(nN*，且n2)時(shí)，第二步由k到k1時(shí)不等式左端的變化是()A增加了這一項(xiàng)B增加了和兩項(xiàng)C增加了和兩項(xiàng)，同時(shí)減少了這一項(xiàng)D以上都不對(duì)C不等式左端共有n1項(xiàng)，且分母是首項(xiàng)為n，公差為1，末項(xiàng)為2n的等差數(shù)列，當(dāng)nk時(shí)，左端為；當(dāng)nk1時(shí)，左端為，對(duì)比兩式，可得結(jié)論2某命題與自然數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)nk(kN*)時(shí)該命題成立，則可推得nk1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n5時(shí)該命題不成立，則可推得() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062172】A當(dāng)n6時(shí)，該命題不成立B當(dāng)n6時(shí)，該命題成立C當(dāng)n4時(shí)，該命題不成立D當(dāng)n4時(shí)，該命題成立C若n4時(shí)，該命題成立，由條件可推得n5命題成立它的逆否命題為：若n5不成立，則n4時(shí)該命題也不成立3記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和f(k1)f(k)_.解析由凸k邊形變?yōu)橥筴1邊形時(shí)，增加了一個(gè)三角形圖形，故f(k1)f(k).答案4對(duì)任意nN*,34n2a2n1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062173】解析當(dāng)n1時(shí)，36a3能被14整除的數(shù)為a3或5；當(dāng)a3且n2時(shí)，31035不能被14整除，故a5.答案55是否存在a，b，c使等式2222對(duì)一切nN*都成立，若不存在，說(shuō)明理由；若存在，用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論解取n1,2,3可得，解得：a，b，c.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明2222.即證1222n2n(n1)(2n1)，n1時(shí)，左邊1，右邊1，等式成立；假設(shè)nk時(shí)等式成立，即1222k2k(k1)(2k1)成立，則當(dāng)nk1時(shí)，等式左邊1222k2(k1)2k(k1)(2k1)(k1)2k(k1)(2k1)6(k1)2(k1)(2k27k6)(k1)(k2)(2k3)，當(dāng)nk1時(shí)等式成立；由數(shù)學(xué)歸納法，綜合當(dāng)nN*等式成立，故存在a，b，c使已知等式成立