2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1 空間向量及其運(yùn)算 3.1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc
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3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo):1.掌握空間向量夾角的概念及表示方法.2.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律及計(jì)算方法(重點(diǎn))3.能用向量的數(shù)量積解決立體幾何問(wèn)題(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1空間向量的夾角(1)夾角的定義圖3115已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)O,作a,b,則AOB叫做向量a,b的夾角,記作a,b(2)夾角的范圍空間任意兩個(gè)向量的夾角的取值范圍是0,特別地,當(dāng)0時(shí),兩向量同向共線;當(dāng)時(shí),兩向量反向共線,所以若ab,則a,b0或;當(dāng)a,b時(shí),兩向量垂直,記作ab.2空間向量的數(shù)量積(1)定義:已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a|b|cosa,b叫做a,b的數(shù)量積,記作ab.即ab|a|b|cosa,b(2)數(shù)量積的運(yùn)算律:數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(a)b(ab)a(b)交換律abba分配律a(bc)abac(3)空間兩向量的數(shù)量積的性質(zhì):向量數(shù)量積的性質(zhì)垂直若a,b是非零向量,則abab0共線同向:則ab|a|b|反向:則ab|a|b|模a a|a|a|cosa,a|a|2|a|ab|a|b|夾角為a,b的夾角,則cos 思考:(1)若ab0,則一定有ab嗎?(2)若ab0,則a,b一定是銳角嗎?提示(1)若ab0,則不一定有ab,也可能a0或b0(2)當(dāng)a,b0時(shí),也有ab0,故當(dāng)ab0時(shí),ab不一定是銳角基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)在ABC中,B()(2)在正方體ABCDABCD中,與的夾角為45.()(3)0a0.()(4)若ab0,則a,b為鈍角()答案(1)(2)(3)(4)2已知正方體ABCDABCD的棱長(zhǎng)為a,設(shè)a,b,c,則,等于()A30 B60C90D120DBDC是等邊三角形,120.3已知|a|3,|b|2,ab3,則a,b_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342138】cosa,b.所以a,b.合 作 探 究攻 重 難空間向量的數(shù)量積運(yùn)算(1)已知a3p2q,bpq,p和q是相互垂直的單位向量,則ab()A1 B2C3D4(2)如圖3116所示,在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點(diǎn),求值:圖3116(1);(2);(3);(4).解析(1)由題意知,pq0,p2q21所以ab(3p2q)(pq)3p22q2pq1.答案A(2)|cos,cos 60.(2)|2.(3)EFcos 60.(4)()|cos,|cos,cos 60cos 600.規(guī)律方法在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi),轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積.(3)根據(jù)向量的方向,正確求出向量的夾角及向量的模.(4)代入公式ab|a|b|cosa,b求解.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是BC,AD的中點(diǎn),則_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342139】a2a2cos 60a2.(2)在四面體OABC中,棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OA1,OB2,OC3,G為ABC的重心,則()_.()()()()()222223212.利用數(shù)量積證明空間的垂直關(guān)系已知空間四邊形OABC中,AOBBOCAOC,且OAOBOC,M,N分別是OA,BC的中點(diǎn),G是MN的中點(diǎn),求證:OGBC解連接ON,設(shè)AOBBOCAOC,又設(shè)a,b,c,則|a|b|c|.又()(abc),cb.(abc)(cb)(acabbcb2c2bc)(|a|2cos |a|2cos |a|2|a|2)0.,即OGBC規(guī)律方法用向量法證明垂直關(guān)系的步驟(1)把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題(2)用已知向量表示所證向量(3)結(jié)合數(shù)量積公式和運(yùn)算律證明數(shù)量積為0.(4)將向量問(wèn)題回歸到幾何問(wèn)題跟蹤訓(xùn)練2如圖3117,已知正方體ABCDABCD,CD與DC相交于點(diǎn)O,連接AO,求證:圖3117(1)AOCD;(2)AC平面BCD.證明(1)因?yàn)?),因?yàn)?,所?2)()(22)(|2|2)0,所以,故AOCD.(2)因?yàn)?)(),可知0,0,0,|2,|2,0,所以|2|20,所以,所以ACBC同理可證,ACBD.又BC,BD平面BCD,BCBDB,所以AC平面BCD.利用數(shù)量積求夾角如圖3118,在空間四邊形OABC中,OA8,AB6,AC4,BC5,OAC45,OAB60,求異面直線OA與BC的夾角的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342140】圖3118思路探究求異面直線OA與BC所成的角,首先來(lái)求與的夾角,但要注意異面直線所成角的范圍是,而向量夾角的取值范圍為0,注意角度的轉(zhuǎn)化解,|cos,|cos,84cos 13586cos 1202416.cos,異面直線OA與BC的夾角的余弦值為.規(guī)律方法利用向量數(shù)量積求夾角問(wèn)題的思路1求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法:(1)結(jié)合圖形,平移向量,利用空間向量的夾角定義來(lái)求,但要注意向量夾角的范圍;(2)先求ab,再利用公式cosab求cosa,b,最后確定a,b2我們也可以用這種方法求兩條異面直線所成的角,步驟如下:根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量(即直線的方向向量);異面直線所成角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題;利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大?。划惷嬷本€所成的角為銳角或直角,利用向量數(shù)量積求向量夾角的余弦值應(yīng)將余弦值加上絕對(duì)值,進(jìn)而求出異面直線所成的角的大小跟蹤訓(xùn)練3.如圖3119,已知直三棱柱ABCABC中,ACBCAA,ACB90,D,E分別為AB,BB的中點(diǎn)圖3119(1)求證:CEAD;(2)求異面直線CE與AC所成角的余弦值解(1)證明:設(shè)a,b,c,根據(jù)題意,|a|b|c|且abbcca0.bc,cba.c2b20,即CEAD(2)ac,|a|,|a|,(ac)c2|a|2,cos,.異面直線CE與AC所成角的余弦值為.利用數(shù)量積求距離探究問(wèn)題1異面直線AB,CD所成的角為60,則,的值是多少?提示:,60或1202如圖3120,已知線段AB平面,BC,CDBC,DF平面,且DCF30,D與A在的同側(cè),若ABBCCD2,試求A,D兩點(diǎn)間的距離圖3120提示:,|2()2|2|2|22BC2CD2122(22cos 9022cos 12022cos 90)8,|2,即A,D兩點(diǎn)間的距離為2.如圖3121所示,在平行四邊形ABCD中,ABAC1,ACD90,沿著它的對(duì)角線AC將ACD折起,使AB與CD成60角,求此時(shí)B,D間的距離圖3121思路探究解ACD90,CD0,同理可得0.AB與CD成60角,60或,120.又,|2|2|2|22223211cos,當(dāng),60時(shí),|24,此時(shí)B,D間的距離為2;當(dāng),120時(shí),|22,此時(shí)B,D間的距離為.規(guī)律方法1.利用空間向量的數(shù)量積與空間向量模的關(guān)系,常把空間兩點(diǎn)距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量模的大小問(wèn)題加以計(jì)算2用數(shù)量積求兩點(diǎn)間距離的步驟:(1)用向量表示此距離;(2)用其他向量表示此向量;(3)用公式aa|a|2,求|a|;(4)|a|即為所求距離跟蹤訓(xùn)練4.如圖3122所示,在空間四邊形OABC中,OA,OB,OC兩兩成60角,且OAOBOC2,E為OA的中點(diǎn),F(xiàn)為BC的中點(diǎn),試求E,F(xiàn)間的距離圖3122解()()(),所以2222222.|,即E,F(xiàn)間的距離為.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1已知e1,e2為單位向量,且e1e2,若a2e13e2,bke14e2,ab,則實(shí)數(shù)k的值為()A6B6C3D3B由題意可得ab0,e1e20,|e1|e2|1,(2e13e2)(ke14e2)0,2k120,k6.2在正方體ABCDA1B1C1D1中,有下列命題:()232;()0;與的夾角為60.其中真命題的個(gè)數(shù)為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342141】A1 B2C3D0B對(duì)于,()222232,故正確;對(duì)于,()0,故正確對(duì)于,120,故錯(cuò)3在空間四邊形OABC中,OBOC,AOBAOC,則cos,的值為()A B CD0D()|cosAOC|cosAOB|O|0,cos,0.4在空間四邊形ABCD中,_.0原式()()()0.5如圖3123,三棱柱ABCA1B1C1中,M,N分別是A1B,B1C1上的點(diǎn),且BM2A1M,C1N2B1N.設(shè)a,b,C圖3123(1)試用a,b,c表示向量;(2)若BAC90,BAA1CAA160,ABACAA11,求MN的長(zhǎng). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342142】解(1)(ca)a(ba)abC(2)(abc)2a2b2c22ab2bc2ac11102112115,|abc|,|abc|,即MN.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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