2019高考數(shù)學二輪復習 第一篇 微型專題 微專題20 直線與拋物線的綜合練習 理.docx

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20直線與拋物線的綜合1.過拋物線C:y2=4x的焦點F的直線交拋物線C于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,且x1+x2=43,則弦AB的長為().A.4B.163C.103D.83解析拋物線的焦點弦公式為|AB|=x1+x2+p,由拋物線方程可得p=2,則弦AB的長為x1+x2+p=43+2=103,故選C.答案C2.在平面直角坐標系xOy中,拋物線y2=6x的焦點為F,準線為l,P為拋物線上一點,PAl,A為垂足,若直線AF的斜率k=-3,則線段PF的長為().A.4B.5C.6D.7解析因為拋物線的方程為y2=6x,所以焦點為F32,0,準線方程為x=-32.因為直線AF的斜率k=-3,所以直線AF的方程為y=-3x-32.當x=-32時,y=33,即A-32,33.因為PAl,A為垂足,所以點P的縱坐標為33,代入拋物線方程,得點P的坐標為92,33,所以|PF|=|PA|=92-32=6,故選C.答案C3.已知拋物線C:y2=x,過點P(a,0)的直線與C相交于A,B兩點,O為坐標原點,若OAOB0,則實數(shù)a的取值范圍是().A.(-,0)B.(0,1)C.(1,+)D.1解析設直線方程為x=my+a,A(x1,y1),B(x2,y2),將x=my+a代入拋物線方程得y2-my-a=0,所以y1y2=-a,x1x2=(y1y2)2=a2.由OAOB=x1x2+y1y2=a2-a0)上一點,由定義易得|PF|=x0+p2;若過焦點的弦AB的端點坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根與系數(shù)的關系整體求出;若遇到其他標準方程,則焦半徑或焦點弦長公式可由數(shù)形結合的方法類似地得到.已知過拋物線y2=8x的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,若|AB|=16,且|AF|BF|,則|AF|=.解析由題意可設過拋物線y2=8x的焦點F的直線方程為y=k(x-2).聯(lián)立y2=8x,y=k(x-2),得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k2+8k2.|AB|=16,x1+2+x2+2=16,即4k2+8k2=12.k2=1,則x2-12x+4=0,x=642.|AF|0.設D(x1,y1),E(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4t.MDME=(x1-4,y1-4)(x2-4,y2-4)=(x1-4)(x2-4)+(y1-4)(y2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2-4(y1+y2)+16=(y1y2)216-4y124+y224+16+y1y2-4(y1+y2)+16=t2-16m2-12t+32-16m=0,即t2-12t+32=16m2+16m,得(t-6)2=4(2m+1)2,t-6=2(2m+1),即t=4m+8或t=-4m+4.把t=4m+8代入式檢驗,滿足0,把t=-4m+4代入式檢驗,得m2(不合題意).直線DE的方程為x=my+4m+8=m(y+4)+8.直線DE過定點(8,-4).根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關系中弦的中點、平面向量、線段的平行與垂直、距離等概念,可建立關于變量的方程來求解.過點(2,1)的直線交拋物線y2=52x于A,B兩點(異于坐標原點O),若|OA+OB|=|OA-OB|,則該直線的方程為().A.x+y-3=0B.2x+y-5=0C.2x-y+5=0D.x-2y=0解析設直線AB的方程為x-2=m(y-1),A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y2=52x,x-2=m(y-1),得2y2-5my+5m-10=0.則=5(5m2-8m+16)0.(*)又y1+y2=5m2,y1y2=5m-102,x1x2=(my1-m+2)(my2-m+2)=m2y1y2+m(2-m)(y1+y2)+(2-m)2=m25m-102+m(2-m)5m2+(2-m)2=(2-m)2.|OA+OB|=|OA-OB|,OAOB,OAOB=x1x2+y1y2=0, (2-m)2+5m-102=0,m=2或m=-12,滿足(*),但是當m=2,直線方程為x-2y=0時,與拋物線的一個交點為原點,不滿足OAOB,應該舍去.該直線的方程為x-2=-12(y-1),即2x+y-5=0.故選B.答案B能力3會用方程恒成立的思想解曲線過定點問題【例3】已知橢圓C:x2a2+y2=1(a1)的上頂點為A,右焦點為F,直線AF與圓M:(x-3)2+(y-1)2=3相切.(1)求橢圓C的方程;(2)若不過點A的動直線l與橢圓C交于P,Q兩點,且APAQ=0,求證:直線l過定點,并求該定點的坐標.解析(1)由題意知,圓M的圓心為(3,1),半徑r=3,A(0,1),F(c,0),直線AF的方程為xc+y=1,即x+cy-c=0.由直線AF與圓M相切,得|3+c-c|c2+1=3,解得c2=2,a2=c2+1=3,故橢圓C的方程為x23+y2=1.(2)由APAQ=0知APAQ,從而直線AP與坐標軸不垂直,故可設直線AP的方程為y=kx+1,直線AQ的方程為y=-1kx+1.聯(lián)立方程組y=kx+1,x23+y2=1,整理得(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x=-6k1+3k2,故點P的坐標為-6k1+3k2,1-3k21+3k2,同理可得,點Q的坐標為6kk2+3,k2-3k2+3.所以直線l的斜率為k2-3k2+3-1-3k21+3k26kk2+3-6k1+3k2=k2-14k,所以直線l的方程為y=k2-14kx-6kk2+3+k2-3k2+3,即y=k2-14kx-12.所以直線l過定點0,-12.證明直線過定點,一般有兩種方法:(1)特殊探求,一般證明,即可以先考慮動直線或曲線的特殊情況,找出定點的位置,然后證明該定點在該直線或該曲線上(將定點的坐標代入直線或曲線的方程后等式恒成立).(2)分離參數(shù)法,一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)R,結合已知條件求出直線或曲線的方程,分離參數(shù)得到等式f1(x,y)2+f2(x,y)+f3(x,y)=0(一般地,fi(x,y)(i=1,2,3)為關于x,y的二元一次關系式),由上述原理可得方程組f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,f3(x,y)=0,從而求得該定點.已知拋物線C:x2=2py(p0)過點(2,1),直線l過點P(0,-1)與拋物線C交于A,B兩點.點A關于y軸的對稱點為A,連接AB.(1)求拋物線C的標準方程.(2)直線AB是否過定點?若是,求出定點坐標;若不是,請說明理由.解析(1)將點(2,1)代入拋物線的方程x2=2py中,得p=2.所以拋物線C的標準方程為x2=4y.(2)設直線l的方程為y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),則A(-x1,y1).由y=kx-1,x2=4y,得x2-4kx+4=0.則=16k2-160,x1+x2=4k,x1x2=4,所以kAB=y2-y1x2-(-x1)=x224-x124x2+x1=x2-x14.所以直線AB的方程為y-x224=x2-x14(x-x2),所以y=x2-x14(x-x2)+x224=x2-x14x+1,當x=0時,y=1,所以直線AB過定點(0,1).能力4會建立目標函數(shù),并轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域或最值等問題求解【例4】已知ABC的直角頂點A在y軸上,點B(1,0),D為斜邊BC的中點,且AD平行于x軸.(1)求點C的軌跡方程.(2)設點C的軌跡為曲線,直線BC與的另一個交點為E.以CE為直徑的圓交y軸于M,N兩點,記此圓的圓心為P,MPN=,求的最大值.解析(1)設點C的坐標為(x,y),則BC的中點D的坐標為x+12,y2,點A的坐標為0,y2.所以AB=1,-y2,AC=x,y2.由ABAC,得ABAC=x-y24=0,即y2=4x,經(jīng)檢驗,當C點運動至原點時,A與C重合,不合題意,舍去.所以點C的軌跡方程為y2=4x(x0).(2)依題意,可知直線CE不與x軸重合,設直線CE的方程為x=my+1,點C,E的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),圓心P的坐標為(x0,y0).由y2=4x,x=my+1可得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4.所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x0=x1+x22=2m2+1,所以圓P的半徑r=12|CE|=12(x1+x2+2)=12(4m2+4)=2m2+2.過圓心P作PQMN于點Q,則MPQ=2.在RtPQM中,cos2=|PQ|r=x0r=2m2+12m2+2=1-12m2+2,當m2=0,即CE垂直于 x軸時,cos2取得最小值12,2取得最大值3,所以的最大值為23.1.拋物線中的最值問題解決方法一般分兩種:一是代數(shù)法,從代數(shù)的角度考慮,通過建立函數(shù)、不等式等模型,利用二次函數(shù)法和基本不等式法、換元法、導數(shù)法求解;二是數(shù)形結合法,利用拋物線的圖象和幾何性質(zhì)來進行求解.2.拋物線中取值范圍問題的五種常用解法(1)利用拋物線的幾何性質(zhì)或判別式構造不等關系,從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的取值范圍,求新參數(shù)的取值范圍,解決這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關系.(3)利用隱含的不等關系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)利用已知的不等關系構造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)并求該函數(shù)的值域,從而確定參數(shù)的取值范圍.已知拋物線M:y2=4x,圓N:(x-1)2+y2=r2(r0).過點(1,0)的直線l交圓N于C,D兩點,交拋物線M于A,B兩點,且滿足|AC|=|BD|的直線l恰好有三條,則r的取值范圍為().A.0,32B.(1,2C.(2,+)D.32,+解析由題意可知,當直線斜率不存在時,|AC|=|BD|成立;當直線斜率存在時,此時存在兩條直線滿足|AC|=|BD|.設直線l:x=my+1(m0),由y2=4x,x=my+1,可得y2-4my-4=0.由x=my+1,(x-1)2+y2=r2,可得y2=r2m2+1.設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由|AC|=|BD|,得y1-y3=y2-y4,則y1-y2=y3-y4,所以4m2+1=2rm2+1,故r=2(m2+1)2,故選C.答案C一、選擇題1.已知拋物線y2=2px(p0)的焦點弦AB的兩端點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則y1y2x1x2的值一定等于().A.-4B.4C.p2D.-p2解析若焦點弦ABx軸,則x1=x2=p2,不妨設y10,y20,y1=p,y2=-p.x1x2=p24,y1y2=-p2,故y1y2x1x2=-4.若焦點弦AB不垂直于x軸,可設直線AB的方程為y=kx-p2,聯(lián)立y2=2px,y=kx-p2,得k2x2-(k2p+2p)x+p2k24=0,則x1x2=p24.又y12=2px1,y22=2px2,y12y22=4p2x1x2=p4,又y1y20)的焦點為F,準線為l,過點F的直線與拋物線交于點M,N,與y軸交于點(0,3),與準線l交于點P,點M在線段PF上,若|PM|=2|MF|,則|MN|=().A.94B.254C.83D.163解析由題意可得Mp6,233,則2pp6=43,所以p=2,所以直線MN的方程為y=-3(x-1).由y2=4x,y=-3(x-1),得M13,233,N(3,-23),故|MN|=163,故選D.答案D4.設拋物線y2=4x的焦點為F,過點M(5,0)的直線與拋物線相交于A,B兩點,與拋物線的準線相交于點C,|BF|=3,則SBCFSACF=().A.34B.45C.56D.67解析畫出拋物線y2=4x的圖象如圖所示.由拋物線方程y2=4x,得焦點F的坐標為(1,0),準線方程為x=-1.過點A,B作準線的垂線,垂足分別為E,N.設直線AC的方程為y=k(x-5),由y2=4x,y=k(x-5)消去y,得k2x2-(25k2+4)x+5k2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=5.由條件知|BF|=|BN|=1+x2=3,x2=2,x1=52,|AE|=x1+1=72.在CBN中,BNAE,SBCFSACF=|BC|AC|=|BN|AE|=67.故選D.答案D5.斜率為k的直線過拋物線y2=2px(p0)的焦點F,交拋物線于A,B兩點,點P(x0,y0)為AB的中點,作OQAB,垂足為Q,則下列結論中不正確的是().A.ky0為定值B.OAOB為定值C.點P的軌跡為圓的一部分D.點Q的軌跡為圓的一部分解析由題意知,拋物線的焦點為Fp2,0,所以直線l的方程為y=kx-p2(k0).由y2=2px,y=kx-p2消去y,整理得k2x2-(k2p+2p)x+k2p24=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=k2p+2pk2,x1x2=p24,所以y1+y2=2pk,y1y2=-p2,y0=y1+y22=pk.選項A中,ky0=p,為定值.故A正確.選項B中,OAOB=x1x2+y1y2=p24-p2=-3p24,為定值,故B正確.選項C中,由x0=k2p+2p2k2,y0=pk消去k,得x0=p2+y02p,所以點的軌跡不是圓的一部分,故C不正確.選項D中,由于OQAB,直線AB過定點Fp2,0,所以點Q在以OF為直徑的圓上,故D正確.故選C.答案C6.已知拋物線C:y2=4x,過焦點F且斜率為3的直線與C相交于P,Q兩點,且P,Q兩點在準線上的投影分別為M,N,則SMFN=().A.83B.833C.163D.1633解析由題意可得直線PQ的方程為y=3(x-1),與拋物線y2=4x聯(lián)立可得3x2-10x+3=0.設點P在第一象限,所以P(3,23),Q13,-233,則MN=23+233=833.在MFN 中,MN邊上的高h=2,則SMNF=122833=833, 故選B.答案B7.過拋物線C:y2=8x的焦點F的直線l交拋物線C于A,B兩點,且|AB|=10,則原點到直線l的距離為().A.255B.355C.455D.435解析由題意知,拋物線y2=8x的焦點為F(2,0),當直線l的斜率不存在時,|AB|=2p=8,不合題意;當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=k(x-2),由y=k(x-2),y2=8x得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,所以x1+x2=4k2+8k2.根據(jù)拋物線的定義可知|AB|=x1+x2+p=4k2+8k2+4=10,解得k=2,當k=2時,直線l的方程為2x-y-4=0,所以原點到直線l的距離d=422+1=455,當k=-2時,直線l的方程為2x+y-4=0,所以原點到直線l的距離d=422+1=455,綜上所述,原點到直線l的距離為455,故選C.答案C8.若過拋物線x2=4y焦點的直線與拋物線交于A,B兩點(不重合),則OAOB (O為坐標原點)的值是().A.34B.-34C.3D.-3解析由題意知,拋物線的焦點為F(0,1).設直線AB的方程為y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=4y,y=kx+1,得x2-4kx-4=0,所以x1x2=-4,y1y2=(x1x2)216=1,故OAOB=x1x2+y1y2=-4+1=-3,故選D.答案D9.如圖,過拋物線y2=4x的焦點F作傾斜角為的直線l,l與拋物線及其準線從上到下依次交于A,B,C點,令|AF|BF|=1,|AC|CF|=2,則當=3時,1+2的值為().A.3B.4C.5D.6解析設A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+2=4sin260=163.x1+x2=103,又x1x2=p24=1,x1=3,x2=13,|AF|BF|=1=3+11+13=3,同理可得|AC|CF|=2=3-(-1)1-(-1)=2,1+2=5,故選C.答案C10.過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,分別過A,B作準線的垂線,垂足分別為A1,B1兩點,以A1,B1為直徑的圓C過點M(-2,3),則圓C的方程為().A.(x+1)2+(y-2)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=17C.(x+1)2+(y-1)2=5D.(x+1)2+(y+2)2=26解析拋物線的準線方程為x=-1,焦點為F(1,0).當直線AB的斜率不存在時,易得圓C的方程為(x+1)2+y2=4,不過點M,不合題意.當直線AB的斜率存在時,設AB的方程為y=k(x-1),聯(lián)立方程組y2=4x,y=k(x-1),y2-4ky-4=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4k,y1y2=-4.|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=41k2+1.以AB為直徑的圓C的圓心為-1,2k,半徑為21k2+1.圓C的方程為(x+1)2+y-2k2=41k2+1.把(-2,3)代入圓的方程得1+3-2k2=41k2+1,解得k=2.圓C的方程為(x+1)2+(y-1)2=5.故選C.答案C二、填空題11.已知拋物線y=ax2(a0)的焦點到準線的距離為2,則直線y=x+1截拋物線所得的弦長等于.解析由題意知p=12a=2,a=14,拋物線的方程為y=14x2,焦點為F(0,1),準線為y=-1.聯(lián)立y=14x2,y=x+1,消去x,整理得y2-6y+1=0.設直線y=x+1與拋物線交于A,B兩點,A(x1,y1),B(x2,y2),y1+y2=6.直線y=x+1過焦點F,所求弦長|AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=8.答案812.過拋物線C:y2=4x的焦點F的直線l與拋物線C交于P,Q兩點,與其準線交于點M,且FM=3FP,則|FP|=.解析由題意可得交點P在點M,F之間,|PM|=2|PF|,由拋物線的定義和平面幾何知識可得,直線l的傾斜角為60或120.設直線l的方程為y=3(x-1),聯(lián)立y2=4x,y=3(x-1),解得xP=13,所以|FP|=43.答案43三、解答題13.已知拋物線C:y2=2px(1p0)上的點P(m,1)到其焦點F的距離為54.(1)求拋物線C的方程;(2)已知直線l不過點P且與C相交于A,B兩點,且直線PA與直線PB的斜率之積為1,證明:直線l過定點.解析(1)由題意得1=2pm,即m=12p.由拋物線的定義,得|PF|=m-p2=12p+p2.由題意知,12p+p2=54,解得p=12或p=2(舍去).所以拋物線C的方程為y2=x.(2)設直線PA的斜率為k(顯然k0),則直線PA的方程為y-1=k(x-1),即y=k(x-1)+1.由y2=x,y=k(x-1)+1消去y,并整理得k2x2+2k(1-k)-1x+(1-k)2=0.設A(x1,y1),由韋達定理,得1x1=(1-k)2k2,所以x1=(1-k)2k2,y1=k(x1-1)+1=k(1-k)2k2-1+1=-1+1k,所以A(1-k)2k2,-1+1k.由題意知,直線PB的斜率為1k.同理可得B1-1k21k2,-1+11k,即B(k-1)2,-1+k).若直線l的斜率不存在,則(1-k)2k2=(k-1)2,解得k=1或k=-1.當k=1時,直線PA與直線PB的斜率均為1,A,B兩點重合,與題意不符;當k=-1時,直線PA與直線PB的斜率均為-1,A,B兩點重合,與題意不符.所以直線l的斜率必存在.所以直線l的方程為y-(-1+k)=k(k-1)2x-(k-1)2,即y=k(k-1)2x-1.所以直線l過定點(0,-1).