2019高考數(shù)學二輪復(fù)習 第一篇 微型專題 微專題22 不等式選講練習 理.docx

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22不等式選講1.已知函數(shù)f(x)=m-|x-3|,mR,不等式f(x)2的解集為x|2x2,得m-|x-3|2,所以5-mx2的解集為(2,4),所以5-m=2且m+1=4,解得m=3.(2)關(guān)于x的不等式|x-a|f(x)恒成立,等價于|x-a|+|x-3|3恒成立,即|a-3|3恒成立,解得a6或a0.2.已知函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-1|.(1)當m=-1時,求不等式f(x)2的解集;(2)若f(x)|2x+1|的解集包含34,2,求m的取值范圍.解析(1)當m=-1時,f(x)=|x-1|+|2x-1|,當x1時,f(x)=3x-22,解得1x43;當12x1時,f(x)=x2,解得12x1的解集;(2)當x(0,1)時,不等式f(x)x成立,求a的取值范圍.解析(1)當a=2時,f(x)=|x+1|-|2x-1|,即f(x)=x-2,x-1,3x,-1x1得x-21,x-1或3x1,-1x1,x12,解得13x12或12x1的解集為x|13xx成立等價于當x(0,1)時,|ax-1|0,由|ax-1|1,解得0x2a,所以2a1,故00,b0,a2+b2=a+b.證明:(1)(a+b)22(a2+b2);(2)(a+1)(b+1)4.解析(1)因為(a+b)2-2(a2+b2)=2ab-a2-b2=-(a-b)20,所以(a+b)22(a2+b2).(2)由(1)及a2+b2=a+b,得0a+b2.因為(a+1)(b+1)(a+1)+(b+1)22=a+b+2224,當且僅當a=b=1時等號成立,所以(a+1)(b+1)4.能力1會解絕對值不等式【例1】已知函數(shù)f(x)=|x-a|.(1)若a=1,求不等式f(2x)-f(x+1)2的解集;(2)若f(2x)-x2的解集為R,求a的取值范圍.解析(1)當a=1時,f(x)=|x-1|,則f(2x)-f(x+1)2,即|2x-1|-|x|2.當x0時,原不等式等價于-(2x-1)+x2,解得x-1;當0x2;(2)當a=0時,不等式f(x)t2-t-7對xR恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.解析(1)當a=1時,由f(x)2得|2x+1|-|x-1|2,故有x2或-12x1,2x+1+x-12或x1,2x+1-(x-1)2,即x-4或231,即x23,故原不等式的解集為x|x23.(2)當a=0時,f(x)=|2x|-|x-1|=-x-1,x1,由函數(shù)f(x)的圖象(圖略)知,f(x)min=f(0)=-1.由-1t2-t-7得t2-t-60,解得-2t0,b0,且a2+b2=1,證明:(1)4a2+b29a2b2;(2)(a3+b3)20,b0,a,b(0,1),a3a2,b3b2,a3+b3a2+b2,又a2+b2=1,(a3+b3)20的解集為R,求實數(shù)a的取值范圍.解析(1)f(x)=|x+2|+|x-1|x+2-(x-1)|=3,函數(shù)f(x)的最小值為3,此時x的取值范圍為-2,1.(2)不等式f(x)+ax-10的解集為R,等價于f(x)-ax+1成立時,即函數(shù)f(x)的圖象恒位于直線y=-ax+1的上方.f(x)=|x+2|+|x-1|=-2x-1,x1,又函數(shù)y=-ax+1表示過點(0,1),斜率為-a的一條直線,如圖所示,由題意可知,3-1-2-0-a3-11-0,解得-2a1.實數(shù)a的取值范圍為(-2,1).(1)求含絕對值的函數(shù)最值時,常用的方法有三種:利用絕對值的幾何意義;利用絕對值三角不等式,即|a|+|b|ab|a|-|b|;利用零點分區(qū)間法.(2)恒成立問題的解決方法:f(x)m恒成立,須有f(x)maxm恒成立,須有f(x)minm;不等式的解集為R,即不等式恒成立;不等式的解集為空集,即不等式無解.已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+|x-1|,aR.(1)若不等式f(x)2-|x-1|有解,求實數(shù)a的取值范圍;(2)當a2時,函數(shù)f(x)的最小值為3,求實數(shù)a的值.解析(1)由f(x)2-|x-1|,得x-a2+|x-1|1.由絕對值的幾何意義知x-a2+|x-1|a2-1.不等式f(x)2-|x-1|有解,a2-11,解得0a4.實數(shù)a的取值范圍為0,4.(2)函數(shù)f(x)=|2x-a|+|x-1|的零點為a2和1,當a2時,a21,f(x)=-3x+a+1x1),作出函數(shù)f(x)的圖象,由圖可知f(x)在-,a2上單調(diào)遞減,在a2,+上單調(diào)遞增,f(x)min=fa2=-a2+1=3,解得a=-42|x|.(2)若f(x)a2+2b2+3c2對任意xR恒成立,求證:ac+2bc78.解析(1) f(x)2|x|x2+|x-2|2|x|x2,x2+x-22x或0x2x或x0,x2+2-x-2xx2或0x2或x2|x|的解集為(-,1)(2,+).(2)當x2時,f(x)=x2+x-24;當x0,b0,a+b=1.求證:(1)1a+41+b92;(2)2a+1+2b+122.解析(1)a0,b0,a+b=1,1=12a+(b+1),1a+41+b=121a+41+ba+(b+1)=125+b+1a+4ab+192,當且僅當b+1=2a,即a=23,b=13時,等號成立.(2)(分析法)要證2a+1+2b+122,只需證2a+1+2b+1+2(2a+1)(2b+1)8,a0,b0,a+b=1,只需證(2a+1)(2b+1)2.由基本不等式可得(2a+1)(2b+1)(2a+1)+(2b+1)2=2,由此逆推而上,則不等式2a+1+2b+122成立.3.已知函數(shù)f(x)=|ax-1|.(1)當a=3時,解不等式f(x)|x+1|;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)+f(-x)|m-1|有實數(shù)解,求m的取值范圍.解析(1)當a=3時,f(x)|x+1|化為|3x-1|x+1|,兩邊平方得9x2-6x+1x2+2x+1,即8x(x-1)0,解得x0或x1,所以原不等式的解集為(-,01,+).(2)f(x)+f(-x)|m-1|等價于|ax-1|+|-ax-1|m-1|,因為|ax-1|+|-ax-1|ax-1-ax-1|=2,所以f(x)+f(-x)的最小值為2,因為不等式f(x)+f(-x)|m-1|有實數(shù)解,所以2|m-1|,即m-12,解得m3.4.已知函數(shù)f(x)=|tx-3|+|x-1|(t為常數(shù)).(1)當t=4時,求不等式f(x)2的解集;(2)當t=1時,若函數(shù)f(x)的最小值為M,正數(shù)a,b滿足2a+8b=M,證明:a+b9.解析(1)當t=4時,f(x)2等價于|4x-3|+|x-1|2.當x1時,4x-3+x-12,x65;當34x2,2x-35或1x2,15或x1,3-2x5,解得2x4或1x2或-1x-2,g(x)=x2+2ax+74,若對于x-1,a2,都有f(x)g(x)成立,求a的取值范圍.解析(1)當a=6時,f(x)=|2x+4|+|2x-6|,f(x)12等價于|x+2|+|x-3|6.因為|x+2|+|x-3|=2x-1,x3,5,-2x3,-2x+1,x3,2x-16或-2x3,56或x-2,且x-1,a2時,f(x)=2x+4-(2x-a)=4+a,所以f(x)g(x),即4+ag(x).又g(x)=x2+2ax+74的最大值必為g(-1),ga2之一,所以4+a114-2a,4+a54a2+74,即3a-54,54a2-a-940,解得-512a95,所以a的取值范圍為-512,95.