2018版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 課時作業(yè)8 生活中的優(yōu)化問題舉例 新人教A版選修2-2.doc

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課時作業(yè)8生活中的優(yōu)化問題舉例|基礎鞏固|(25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則高應為()A.cmB100 cmC20 cm D.cm解析：設高為h，體積為V，則底面半徑r2202h2400h2，Vr2h(400hh3)，V(4003h2)，令V0，得h或h(舍)答案：A2某城市在發(fā)展過程中，交通狀況逐漸受到大家更多的關注，據(jù)有關的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，從上午6時到9時，車輛通過該市某一路段的用時y(分鐘)與車輛進入該路段的時刻t之間的關系可近似地用如下函數(shù)給出：yt3t236t，則在這段時間內(nèi)，通過該路段用時最多的時刻是()A6時 B7時C8時 D9時解析：yt2t36(t12)(t8)令y0，得t8或t12(舍去)，則當6t0，當8t9時，y0，所以當t8時，通過該路段所用的時間最多故選C.答案：C3某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關系是R(x)則當總利潤最大時，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是()A150 B200C250 D300解析：由題意得，總利潤P(x)令P(x)0，得x300，故選D.答案：D4某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x(萬件)的總成本C(x)1 200x3(萬元)，已知產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100萬件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元，產(chǎn)量定為多少時總利潤最大()A23萬件 B25萬件C50萬件 D75萬件解析：設單價為a，由題意知a2且502，k50210025104，a2，即a，總利潤yaxC(x)x500 x31 200，y250xx2，令y0得x25，產(chǎn)量定為25萬件時總利潤最大答案：B5用長為24 m的鋼筋做成一個長方體形框架，若這個長方體框架的底面為正方形，則這個長方體體積的最大值為()A8 m3 B12 m3C16 m3 D24 m3解析：設長方體的底面邊長為x，則高為(62x)m，0x150時，則R(x)200(x150)x350xx2.為求最大收益的件數(shù)，不妨認為R(x)連續(xù)可導，求R(x)3502x.令R(x)0，得x175時，R有最大值答案：1757海輪每小時使用的燃料費與它的航行速度的立方成正比，已知某海輪的最大航速為30海里/小時，當速度為10海里/小時時，它的燃料費是每小時25元，其余費用(無論速度如何)都是每小時400元如果甲乙兩地相距800海里，則要使該海輪從甲地航行到乙地的總費用最低，它的航速應為_解析：由題意設燃料費y與航速x間滿足yax3(0x30)，又25a103，a.設從甲地到乙地海輪的航速為v，費用為y，則yav340020v2，由y40v0得v200)由L(x)x20，得x25.令L(x)0，得0x25；令L(x)25，得L(x)在區(qū)間(0,25)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(25，)上單調(diào)遞減，所以當x25時，總利潤最高答案：25三、解答題(每小題10分，共20分)9某出版社出版一讀物，一頁上所印文字占去150 cm2，上、下要留1.5 cm空白，左、右要留1 cm空白，出版商為節(jié)約紙張，應選用怎樣尺寸的頁面？解析：設所印文字區(qū)域的左右長為x cm，則上下長為 cm，所以紙張的左右長為(x2)cm，上下長為cm，所以紙張的面積S(x2)3x156.所以S3，令S0，解得x10.當x10時，S單調(diào)遞增；當0x10時，S單調(diào)遞減所以當x10時，Smin216 (cm2)，此時紙張的左右長為12 cm，上下長為18 cm.故當紙張的邊長分別為12 cm,18 cm時最節(jié)約10一艘輪船在航行中燃料費和它的速度的立方成正比已知速度為每小時10千米時，燃料費是每小時6元，而其他與速度無關的費用是每小時96元，問輪船的速度是多少時，航行1千米所需的費用總和最少？解析：設速度為每小時v千米時，燃料費是每小時p元，那么由題設知pkv3，因為v10，p6，所以k0.006.于是有p0.006v3.又設船的速度為每小時v千米時，行駛1千米所需的總費用為q元，那么每小時所需的總費用是(0.006v396)元，而行駛1千米所用時間為小時，所以行駛1千米的總費用為q(0.006v396)0.006v2.q0.012v(v38 000)，令q0，解得v20.當v20時， q20時，q0，所以當v20時，q取得最小值即當速度為20千米/小時時，航行1千米所需費用總和最少|(zhì)能力提升|(20分鐘，40分)11若球的半徑為R，作內(nèi)接于球的圓柱，則其側(cè)面積的最大值為()A2R2 BR2C4R2 D.R2解析：設內(nèi)接圓柱的高為h，底面半徑為x，則x ，S側(cè)2xh2h 2 ，令tR2h2，則t2R2hh3，令t0，得h R(舍負)或h0(舍去)，當0h0，當 Rh2R時，t0)，貨款的利率為4.8%，假設銀行吸收的存款能全部放貸出去若存款利率為x(x(0,4.8%)，則使銀行獲得最大收益的存款利率為_解析：依題意知，存款額是kx2，銀行應支付的存款利息是kx3，銀行應獲得的貨款利息是0.048kx2，所以銀行的收益是y0.048kx2kx3(0x0.048)，故y0.096kx3kx2.令y0，解得x0.032或x0(舍去)當0x0；當0.032x0.048時，y0.因此，當x0.032時，y取得極大值，也是最大值，即當存款利率為3.2%時，銀行可獲得最大收益答案：3.2%13從長為32 cm，寬為20 cm的矩形薄鐵皮的四角剪去四個相等的正方形，做一個無蓋的箱子，問剪去的正方形邊長為多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？解析：設剪去的正方形的邊長為x cm，則箱子的容積V(x)x(322x)(202x)(0x10)4x3104x2640x，V(x)12x2208x6404(3x252x160)4(3x40)(x4)令V(x)0，得x1(舍去)，x24.當0x0，當4x10時，V(x)0，所以V(x)在(0,4)內(nèi)為增函數(shù)，在(4,10)內(nèi)為減函數(shù)因此V(x)在(0,10)內(nèi)有唯一的極大值V(4)，且該極大值即為函數(shù)V(x)的最大值，其最大值V(4)4(328)(208)1 152(cm3)答：當剪去的正方形邊長為4 cm時，容器的容積最大，最大容積為1 152 cm3.14某公司為獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費t(百萬元)，可增加銷售額約為t25t(百萬元)(0t3)(1)若該公司將當年的廣告費控制在3百萬元之內(nèi)，則應投入多少廣告費，才能使該公司獲得的收益最大？(2)現(xiàn)該公司準備共投入3百萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造經(jīng)預測，每投入技術(shù)改造費x(百萬元)，可增加的銷售額為x3x23x(百萬元)請設計一個資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大解析：(1)設投入t(百萬元)的廣告費后增加的收益為f(t)(百萬元)，則有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，所以當t2時，f(t)取得最大值4，即投入2百萬元的廣告費時，該公司獲得的收益最大(2)設用于技術(shù)改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的資金為(3x)(百萬元)由此獲得的收益是g(x)(百萬元)，則g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)，所以g(x)x24.令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.又當0x0；當2x3時，g(x)0.故g(x)在0,2)上是增函數(shù)，在(2,3上是減函數(shù)，所以當x2時，g(x)取得最大值，即將2百萬元用于技術(shù)改造，1百萬元用于廣告促銷，可使該公司由此獲得的收益最大