2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 四 漸開線與擺線講義（含解析）新人教A版選修4-4.doc

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四 漸開線與擺線1漸開線的產(chǎn)生過程把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切而逐漸展開，那么鉛筆畫出的曲線就是圓的漸開線，相應(yīng)的定圓叫做基圓2擺線的概念及產(chǎn)生過程圓的擺線就是一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時圓周上一個定點的軌跡，圓的擺線又叫旋輪線3圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程 (1)圓的漸開線方程：(為參數(shù))(2)擺線的參數(shù)方程：(為參數(shù))圓的漸開線的參數(shù)方程例1求半徑為4的圓的漸開線的參數(shù)方程思路點撥關(guān)鍵根據(jù)漸開線的生成過程，歸結(jié)到向量知識和三角的有關(guān)知識建立等式關(guān)系解以圓心為原點O，繩端點的初始位置為M0，向量的方向為x軸正方向，建立坐標(biāo)系，設(shè)漸開線上的任意點M(x，y)，繩拉直時和圓的切點為A，故OAAM，按漸開線定義，弧的長和線段AM的長相等，記和x軸正向所夾的角為(以弧度為單位)，則|AM|4.作AB垂直于x軸，過M點作AB的垂線，由三角函數(shù)和向量知識，得(4cos ，4sin )由幾何知識知MAB，(4sin ，4cos )，所以(4cos 4sin ，4sin 4cos )(4(cos sin )，4(sin cos )又(x，y)，因此有這就是所求圓的漸開線的參數(shù)方程圓的漸開線的參數(shù)方程中，字母r表示基圓的半徑，字母是指繩子外端運(yùn)動時繩子上的定點M相對于圓心的張角；另外，漸開線的參數(shù)方程不宜化為普通方程1已知圓的漸開線的參數(shù)方程(為參數(shù))，則此漸開線對應(yīng)基圓的半徑是_解析：圓的漸開線的參數(shù)方程可化為(為參數(shù))，圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑r3.答案：32已知圓的直徑為2，其漸開線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程對應(yīng)的曲線上的兩點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別是和，求A，B兩點的距離解：根據(jù)條件可知圓的半徑是1，所以對應(yīng)的漸開線參數(shù)方程是(為參數(shù))，分別把和代入，可得A，B兩點的坐標(biāo)分別為A，B.那么，根據(jù)兩點之間的距離公式可得A，B兩點的距離為|AB| .即A，B兩點之間的距離為 .圓的擺線的參數(shù)方程例2求半徑為2的圓的擺線的參數(shù)方程(如圖所示，開始時定點M在原點O處，取圓滾動時轉(zhuǎn)過的角度(以弧度為單位)為參數(shù))思路點撥利用向量知識和三角函數(shù)的有關(guān)知識求解解當(dāng)圓滾過角時，圓心為點B，圓與x軸的切點為A，定點M的位置如圖所示，ABM.由于圓在滾動時不滑動，因此線段OA的長和圓弧的長相等，它們的長都等于2，從而B點坐標(biāo)為(2，2)，向量(2，2)，向量(2sin ，2cos )，(2sin ，2cos )，因此(22sin ，22cos )(2(sin )，2(1cos )又動點M的坐標(biāo)為(x，y)，向量(x，y)所以這就是所求擺線的參數(shù)方程(1)圓的擺線的實質(zhì)是一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時圓周上一個定點的軌跡(2)根據(jù)圓的擺線的定義和建立參數(shù)方程的過程，可知其中的字母r是指定圓的半徑，參數(shù)是指圓上定點相對于某一定點運(yùn)動所張開的角度大小3擺線(0t2)與直線y2的交點的直角坐標(biāo)是_答案：(2,2)，(32,2)4圓的半徑為r，沿x軸正向滾動，圓與x軸相切于原點O.圓上點M起始處沿順時針已偏轉(zhuǎn)角試求點M的軌跡方程解：如圖所示，作MAx軸于點A，作CBMA于點B，則xMrrcosr(sin )，yMrrsinr(1cos )即點M的軌跡方程為一、選擇題1半徑為3的圓的擺線上某點的縱坐標(biāo)為0，那么其橫坐標(biāo)可能是()AB2C12 D14解析：選C根據(jù)條件可知，圓的擺線方程為(為參數(shù))，把y0代入，得2k(kZ)，此時x6k(kZ)2給出下列說法：圓的漸開線的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程；圓的漸開線也可以轉(zhuǎn)化為普通方程，但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐標(biāo)之間的關(guān)系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開線問題；在求圓的擺線和漸開線方程時，如果建立的坐標(biāo)系原點和坐標(biāo)軸選取不同，可能會得到不同的參數(shù)方程；圓的漸開線和x軸一定有交點而且是唯一的交點其中正確的說法有()A BC D解析：選C對于一個圓，只要半徑確定，漸開線和擺線的形狀就是確定的，但是隨著選擇體系的不同，其在坐標(biāo)系中的位置也會不同，相應(yīng)的參數(shù)方程也會有所區(qū)別，至于漸開線和坐標(biāo)軸的交點要看選取的坐標(biāo)系的位置3已知一個圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))，那么圓的擺線方程中參數(shù)取對應(yīng)的點A與點B之間的距離為()A.1 B.C. D.解析：選C根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，圓的半徑為3，那么它的擺線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，把代入?yún)?shù)方程中可得即A，|AB| .4如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，曲線AEFGH叫做“正方形的漸開線”，其中AE，EF，F(xiàn)G，GH的圓心依次按B，C，D，A循環(huán)，它們依次相連接，則曲線AEFGH長是()A3B4C5 D6解析：選C根據(jù)漸開線的定義可知，是半徑為1的圓周長，長度為，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可得是半徑為2的圓周長，長度為；是半徑為3的圓周長，長度為；是半徑為4的圓周長，長度為2，所以曲線AEFGH的長是5.二、填空題5我們知道關(guān)于直線yx對稱的兩個函數(shù)互為反函數(shù)，則圓的擺線(為參數(shù))關(guān)于直線yx對稱的曲線的參數(shù)方程為_解析：關(guān)于直線yx對稱的函數(shù)互為反函數(shù)，而求反函數(shù)的過程主要體現(xiàn)了x與y的互換，所以要寫出擺線方程關(guān)于yx對稱的曲線方程，只需把其中的x，y互換答案：(為參數(shù))6已知圓的漸開線的參數(shù)方程是(為參數(shù))，則此漸開線對應(yīng)的基圓的直徑是_，當(dāng)參數(shù)時對應(yīng)的曲線上的點的坐標(biāo)為_解析：圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，故直徑為2.求當(dāng)時對應(yīng)的坐標(biāo)只需把代入曲線的參數(shù)方程，得x，y，由此可得對應(yīng)的坐標(biāo)為.答案：27已知一個圓的擺線過點(1,0)，則擺線的參數(shù)方程為_解析：圓的擺線的參數(shù)方程為令r(1cos )0，得2k，代入xr(sin )，得xr(2ksin 2k)，又過(1,0)，r(2ksin 2k)1，r.又r0，kN.答案：(為參數(shù)，kN)三、解答題8有一個半徑是2a的輪子沿著直線軌道滾動，在輪輻上有一點M，與輪子中心的距離是a，求點M的軌跡方程解：設(shè)輪子中心為O，則OMa.點M的軌跡即是以O(shè)為圓心，a為半徑的基圓的擺線由參數(shù)方程知點M的軌跡方程為9已知一個圓的擺線方程是(為參數(shù))，求該圓的面積和對應(yīng)的圓的漸開線的參數(shù)方程解：根據(jù)擺線的參數(shù)方程可知圓的半徑為4，所以面積是16，該圓對應(yīng)的漸開線參數(shù)方程是(為參數(shù))10已知一個圓的擺線過一定點(2,0)，請寫出該圓的半徑最大時該擺線的參數(shù)方程以及對應(yīng)的圓的漸開線的參數(shù)方程解：令y0，可得a(1cos )0，由于a0，即得cos 1，所以2k(kZ)代入xa(sin )，得xa(2ksin 2k)(kZ)又因為x2，所以a(2ksin 2k)2(kZ)，即得a(kZ)又由實際可知a0，所以a(kN)易知，當(dāng)k1時，a取最大值為.代入即可得圓的擺線的參數(shù)方程為(為參數(shù))圓的漸開線的參數(shù)方程為(為參數(shù))