2019版高考數(shù)學二輪復習 專題二 函數(shù)與導數(shù) 2.2.4.3 利用導數(shù)證明問題及討論零點個數(shù)課件 文.ppt

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2 4 3利用導數(shù)證明問題及討論零點個數(shù) 2 考向一 考向二 考向三 考向四 證明不等式 多維探究 例1 2018全國卷1 文21 已知函數(shù)f x aex lnx 1 1 設x 2是f x 的極值點 求a 并求f x 的單調區(qū)間 2 證明 當a 時 f x 0 3 考向一 考向二 考向三 考向四 4 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得證明f x g x x I I是區(qū)間 只需證明f x min g x max 證明f x g x x I I是區(qū)間 只需證明f x min g x max 或證明f x min g x max且兩個最值點不相等 5 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓練1 2018高考信息卷六 文21 已知函數(shù) a R 1 若f x 在定義域內無極值點 求實數(shù)a的取值范圍 2 求證 當00時 f x 1恒成立 解 1 由題意知令g x ex x 1 a x 0 則g x ex x 當x0時 g x 0 g x 在 0 上單調遞增 又g 0 a 1 f x 在定義域內無極值點 a 1 又當a 1時 f x 在 0 和 0 上都單調遞增也滿足題意 所以a 1 6 考向一 考向二 考向三 考向四 7 考向一 考向二 考向三 考向四 例2 2018河北保定一模 文21節(jié)選 已知函數(shù)f x x 1 略 2 設函數(shù)g x lnx 1 證明 當x 0 且a 0時 f x g x 8 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 略 所以F x 在 1 上為增函數(shù) 又 F 1 2 0 2 0 F x 0 即h x min 0 所以 當x 0 時 f x g x 9 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得欲證函數(shù)不等式f x g x x I I是區(qū)間 設h x f x g x x I 即證h x 0 為此研究h x 的單調性 先求h x 的零點 根據(jù)零點確定h x 在給定區(qū)間I的正負 若h x 在區(qū)間I內遞增或遞減或先遞減后遞增 只須h x min 0 x I 若h x min不存在 則須求函數(shù)h x 的下確界 若h x 在區(qū)間I內先遞增后遞減 只須區(qū)間I的端點的函數(shù)值大于或等于0 若h x 的零點不好求 可設出零點x0 然后確定零點的范圍 進而確定h x 的單調區(qū)間 求出h x 的最小值h x0 再研究h x0 的正負 10 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓練2 2018四川德陽模擬 文21 已知函數(shù)f x a lnx2且f x a x 1 求實數(shù)a的值 11 考向一 考向二 考向三 考向四 12 考向一 考向二 考向三 考向四 13 考向一 考向二 考向三 考向四 14 考向一 考向二 考向三 考向四 判斷 證明或討論函數(shù)零點個數(shù) 例3 2018全國卷2 文21 已知函數(shù)f x x3 a x2 x 1 1 若a 3 求f x 的單調區(qū)間 2 證明 f x 只有一個零點 15 考向一 考向二 考向三 考向四 16 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得有關函數(shù)的零點問題的解決方法主要是借助數(shù)形結合思想 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值 利用函數(shù)的單調性模擬函數(shù)的圖象 根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)的要求 控制極值點函數(shù)值的正負 從而解不等式求出參數(shù)的范圍 17 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓練3 2018山東濟寧一模 文21節(jié)選 已知函數(shù)f x alnx x2 a R 1 略 2 當a 0時 證明函數(shù)g x f x a 1 x恰有一個零點 18 考向一 考向二 考向三 考向四 19 考向一 考向二 考向三 考向四 例4已知函數(shù)f x x3 ax g x lnx 1 當a為何值時 x軸為曲線y f x 的切線 2 用min m n 表示m n中的最小值 設函數(shù)h x min f x g x x 0 討論h x 零點的個數(shù) 20 考向一 考向二 考向三 考向四 21 考向一 考向二 考向三 考向四 22 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得1 如果函數(shù)中沒有參數(shù) 一階導數(shù)求出函數(shù)的極值點 判斷極值點大于0小于0的情況 進而判斷函數(shù)零點的個數(shù) 2 如果函數(shù)中含有參數(shù) 往往一階導數(shù)的正負不好判斷 這時先對參數(shù)進行分類 再判斷導數(shù)的符號 如果分類也不好判斷 那么需要對一階導函數(shù)進行求導 在判斷二階導數(shù)的正負時 也可能需要分類 23 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓練4已知函數(shù)f x alnx a 1 x a R 1 當a 1時 求函數(shù)f x 的最小值 2 當a 1時 討論函數(shù)f x 的零點個數(shù) 24 考向一 考向二 考向三 考向四 25 考向一 考向二 考向三 考向四 26 考向一 考向二 考向三 考向四 與函數(shù)零點有關的證明問題例5 2018福建寧德質檢二 文21 已知函數(shù)f x x3 3ax2 4 a R 1 討論f x 的單調性 2 若函數(shù)f x 有三個零點 證明 當x 0時 f x 6 a a2 ea 解 1 由f x x3 3ax2 4 則f x 3x2 6ax 3x x 2a 令f x 0 得x 0或x 2a 當a 0時 f x 0 f x 在R上是增函數(shù) 當a 0時 令f x 0 得x 2a或x0 得x 0或x 2a 所以f x 在 2a 0 上是增函數(shù) 在 2a 0 上是減函數(shù) 27 考向一 考向二 考向三 考向四 2 由 1 可知 當a 0時 f x 在R上是增函數(shù) 此時函數(shù)f x 不可能有三個零點 當a0 則函數(shù)f x 不可能有三個零點 當a 0時 f x min f 2a 4 4a3 要滿足f x 有三個零點 則需4 4a31 當x 0時 要證明f x 6 a a2 ea等價于要證明f x min 6 a a2 ea 即要證4 4a3 6 a a2 ea 由于a 1 故等價于證明1 a a2 aea 證明 構造函數(shù)g a 3aea 2 2a 2a2 a 1 g a 3 3a ea 2 4a 令h a 3 3a ea 2 4a 28 考向一 考向二 考向三 考向四 h a 6 3a ea 4 0 函數(shù)h a 在 1 單調遞增 則h a min h 1 6e 6 0 函數(shù)g a 在 1 單調遞增 則g a min g 1 3e 6 0 則有1 a a2 aea 故有f x 6 a a2 ea 解題心得證明與零點有關的不等式 函數(shù)的零點本身就是一個條件 即零點對應的函數(shù)值為0 證明的思路一般對條件等價轉化 構造合適的新函數(shù) 利用導數(shù)知識探討該函數(shù)的性質 如單調性 極值情況等 再結合函數(shù)圖象來解決 29 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓練5 2018四川綿陽南山中學二模 理21節(jié)選 已知函數(shù)f x alnx bx 3 a R且a 0 1 略 2 當a 1時 設g x f x 3 若g x 有兩個相異零點x1 x2 求證 lnx1 lnx2 2 30 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 略 2 當a 1時 g x f x 3 lnx bx 函數(shù)的定義域為x 0 設x1 x2 0 g x1 0 g x2 0 lnx1 bx1 0 lnx2 bx2 0 lnx1 lnx2 b x1 x2 lnx1 lnx2 b x1 x2 要證lnx1 lnx2 2 即證b x1 x2 2 31 考向一 考向二 考向三 考向四 利用導數(shù)解決存在性問題例6 2018四川內江一模 文21 已知函數(shù)f x ex ax 1 a R 1 討論f x 的單調性 2 設a 1 是否存在正實數(shù)x 使得f x 0 若存在 請求出一個符合條件的x 若不存在 請說明理由 解 1 f x 的定義域為R f x ex a 當a 0時 f x 0 故f x 在R上單調遞增 當a 0時 令f x 0 得x lna 當xlna時 f x 0 故f x 單調遞增 綜上所述 當a 0時 f x 在R上單調遞增 當a 0時 f x 在 lna 上單調遞減 在 lna 上單調遞增 32 考向一 考向二 考向三 考向四 2 存在正數(shù)x 2lna 使得f x 0 即f 2lna a2 2alna 1 0 其中a 1 證明如下 設g x x2 2xlnx 1 x 1 則g x 2x 2lnx 2 設u x x lnx 1 x 1 則u x 1 0 故u x 在 1 上單調遞增 u x u 1 0 故g x 2x 2lnx 2 2u x 0 g x 在 1 上單調遞增 故g x g 1 0 當a 1時 a2 2alna 1 0 f 2lna a2 2alna 1 0 33 考向一 考向二 考向三 考向四 解題心得本例 2 中 利用導數(shù)的方法易得f x ex ax 1在x lna有最小值 存在正實數(shù)x 使得f x 0 ex ax 1 0 ex ax 1 分別作出函數(shù)y ex和y ax 1的圖象 當xlna時 y ex的圖象增長的快速 所以當x 2lna時 函數(shù)y ex的圖象一定在y ax 1的圖象上面 如下圖所示 所以取了x 2lna 然后證明 34 考向一 考向二 考向三 考向四 對點訓練6 2018山東濰坊一模 文21節(jié)選 已知函數(shù)f x alnx x2 1 略 2 略 3 當a 1時 是否存在正整數(shù)n 使 對 x 0 恒成立 若存在 求出n的最大值 若不存在 說明理由 35 考向一 考向二 考向三 考向四