高考數(shù)學大一輪復習 第二章 第11節(jié) 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用課件 理 新人教A版.ppt

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第11節(jié)導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系 能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 其中多項式函數(shù)不超過三次 了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件 會用導數(shù)求函數(shù)的極大值 極小值 其中多項式函數(shù)不超過三次 會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值 最小值 其中多項式函數(shù)不超過三次 整合 主干知識 1 函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù) 1 函數(shù)y f x 在某個區(qū)間內(nèi)可導 若f x 0 則f x 在這個區(qū)間內(nèi) 若f x 0 則f x 在這個區(qū)間內(nèi) 如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f x 0 則f x 為 2 單調(diào)性的應用若函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上單調(diào) 則y f x 在該區(qū)間上不變號 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 常函數(shù) 質(zhì)疑探究1 若函數(shù)f x 在 a b 內(nèi)單調(diào)遞增 那么一定有f x 0嗎 f x 0是否是f x 在 a b 內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件 提示 函數(shù)f x 在 a b 內(nèi)單調(diào)遞增 則f x 0 f x 0是f x 在 a b 內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件 2 函數(shù)的極值與導數(shù) 1 函數(shù)極小值的概念滿足 函數(shù)y f x 在點x a處的函數(shù)值f a 比它在點x a附近其他點的函數(shù)值都 f a 在點x a附近的左側(cè) 右側(cè) 則點x a叫做函數(shù)y f x 的 f a 叫做函數(shù)y f x 的 小 0 f x 0 f x 0 極小值點 極小值 2 函數(shù)極大值的概念滿足 函數(shù)y f x 在點x b處的函數(shù)值f b 比它在點x b附近其他點的函數(shù)值都 f b 0 在點x b附近的左側(cè) 右側(cè) 則點x b叫做函數(shù)y f x 的 f b 叫做函數(shù)y f x 的 極小值點與極大值點統(tǒng)稱為 極小值與極大值統(tǒng)稱為 大 f x 0 f x 0 極大值點 極大值 極值點 極值 3 求可導函數(shù)極值的步驟 求導數(shù)f x 寫出導數(shù)的定義域 求方程f x 0的根 列表 檢驗f x 在方程f x 0的根左右兩側(cè)的符號 判斷y f x 在根左右兩側(cè)的單調(diào)性 如果左正右負 左增右減 那么f x 在這個根處取得 如果左負右正 左減右增 那么f x 在這個根處取得 如果左右兩側(cè)符號一樣 那么這個根不是極值點 極大值 極小值 質(zhì)疑探究2 f x0 0是可導函數(shù)f x 在x x0處取極值的什么條件 提示 必要不充分條件 因為當f x0 0且x0左右兩端的導數(shù)符號變化時 才能說f x 在x x0處取得極值 反過來 如果可導函數(shù)f x 在x x0處取極值 則一定有f x0 0 3 函數(shù)的最值與導數(shù)求函數(shù)y f x 在閉區(qū)間 a b 上的最大值與最小值的步驟 1 求y f x 在 a b 內(nèi)的 2 將函數(shù)y f x 的各極值與端點處的函數(shù)值f a f b 比較 其中 的一個為最大值 的一個為最小值 極值 最大 最小 4 利用導數(shù)解決實際生活中的優(yōu)化問題 1 分析實際問題中各變量之間的關系 建立實際問題的數(shù)學模型 寫出相應的函數(shù)關系式y(tǒng) f x 并確定定義域 2 求導數(shù)f x 解方程f x 0 3 判斷使f x 0的點是極大值點還是極小值點 4 確定函數(shù)的最大值或最小值 還原到實際問題中作答 答案 B 答案 C 3 從邊長為10cm 16cm的矩形紙板的四角截去四個相同的小正方形 作成一個無蓋的盒子 則盒子容積的最大值為 A 12cm3B 72cm3C 144cm3D 160cm3 答案 C 答案 3 5 給出下列命題 f x 0是f x 為增函數(shù)的充要條件 函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值是唯一的 函數(shù)的極大值不一定比極小值大 對可導函數(shù)f x f x0 0是x0點為極值點的充要條件 函數(shù)的最大值不一定是極大值 函數(shù)的最小值也不一定是極小值 其中真命題的是 寫出所有真命題的序號 解析 錯誤 f x 0能推出f x 為增函數(shù) 反之不一定 如函數(shù)f x x3在 上單調(diào)遞增 但f x 0 所以f x 0是f x 為增函數(shù)的充分條件 但不是必要條件 錯誤 一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值可以不止一個 正確 一個函數(shù)的極大值與極小值沒有確定的大小關系 極大值可能比極小值大 也可能比極小值小 錯誤 對可導函數(shù)f x f x0 0只是x0點為極值點的必要條件 如y x3在x 0時f 0 0 而函數(shù)在R上為增函數(shù) 所以0不是極值點 正確 當函數(shù)在區(qū)間端點處取得最值時 這時的最值不是極值 答案 聚集 熱點題型 典例賞析1 設函數(shù)f x x a eax a R 1 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 2 若函數(shù)f x 在區(qū)間 4 4 內(nèi)單調(diào)遞增 求a的取值范圍 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 名師講壇 由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的題型及求解策略 提醒 含有字母參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性需要根據(jù)參數(shù)的取值范圍進行討論 變式訓練 1 2015 長春模擬 已知函數(shù)f x x2 alnx 1 當a 2時 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 2 若g x f x 在 1 上是單調(diào)函數(shù) 求實數(shù)a的取值范圍 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 名師講壇 運用導數(shù)求可導函數(shù)y f x 的極值的步驟 1 先求函數(shù)的定義域 再求函數(shù)y f x 的導數(shù)f x 2 求方程f x 0的根 3 檢查f x 在方程根的左右的值的符號 如果左正右負 那么f x 在這個根處取得極大值 如果左負右正 那么f x 在這個根處取得極小值 如果左右符號相同 則此根處不是極值點 提醒 若函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有極值 那么y f x 在 a b 內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù) 即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值 2 若f x 為R上的單調(diào)函數(shù) 則f x 在R上不變號 結合 與條件a 0 知ax2 2ax 1 0在R上恒成立 即 4a2 4a 4a a 1 0 由此并結合a 0 知0 a 1 所以a的取值范圍為 a 0 a 1 利用導數(shù)研究函數(shù)的最值 名師講壇 求函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上的最值時 首先可判斷函數(shù)在 a b 上的單調(diào)性 若函數(shù)在 a b 上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減 則f a f b 一個為最大值 一個為最小值 若函數(shù)在 a b 上不單調(diào) 一般先求 a b 上f x 的極值 再與f a f b 比較 最大的即為最大值 最小的即為最小值 提醒 求極值 最值時 要求步驟規(guī)范 表格齊全 含參數(shù)時 要討論參數(shù)的大小 變式訓練 3 2015 鄭州模擬 已知函數(shù)f x x k ex 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間 2 求f x 在區(qū)間 0 1 上的最小值 解 1 由f x x k ex 得f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 f x 與f x 的變化情況如下 所以 f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 k 1 單調(diào)遞增區(qū)間是 k 1 2 當k 1 0 即k 1時 函數(shù)f x 在 0 1 上單調(diào)遞增 所以f x 在區(qū)間 0 1 上的最小值為f 0 k 當0 k 1 1 即1 k 2時 由 1 知f x 在 0 k 1 上單調(diào)遞減 在 k 1 1 上單調(diào)遞增 所以f x 在區(qū)間 0 1 上的最小值為f k 1 ek 1 當k 1 1 即k 2時 函數(shù)f x 在 0 1 上單調(diào)遞減 所以f x 在區(qū)間 0 1 上的最小值為f 1 1 k e 綜上可知 當k 1時 f x min k 當1 k 2時 f x min f k 1 ek 1 當k 2時 f x min f 1 1 k e 典例賞析4 2013 重慶高考 某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池 不計厚度 設該蓄水池的底面半徑為r米 高為h米 體積為V立方米 假設建造成本僅與表面積有關 側(cè)面的建造成本為100元 平方米 底面的建造成本為160元 平方米 該蓄水池的總建造成本為12000 元 為圓周率 1 將V表示成r的函數(shù)V r 并求該函數(shù)的定義域 2 討論函數(shù)V r 的單調(diào)性 并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大 利用導數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題 名師講壇 利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟 1 設自變量 因變量 建立函數(shù)關系式y(tǒng) f x 并確定其定義域 2 求函數(shù)y f x 的導數(shù)f x 解方程f x 0得出定義域內(nèi)的實根 確定極值點 3 比較函數(shù)在區(qū)間端點和極值點處的函數(shù)值大小 獲得所求的最大 小 值 4 還原到實際問題中作答 變式訓練 4 2015 吉林省吉林市二模 某蔬菜基地有一批黃瓜進入市場銷售 通過市場調(diào)查 預測黃瓜的價格f x 單位 元 kg 與時間x 單位 天 x 0 8 且x N 的數(shù)據(jù)如下表 1 根據(jù)上表數(shù)據(jù) 從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述黃瓜價格f x 與上市時間x的變化關系 f x ax b f x ax2 bx c f x a bx 其中a 0 并求出此函數(shù) 解 1 根據(jù)表中數(shù)據(jù) 表述黃瓜價格f x 與上市時間x的變化關系的函數(shù)不是單調(diào)函數(shù) 這與函數(shù)f x ax b f x a bx 均具有單調(diào)性不符 所以 在a 0的前提下 可選取二次函數(shù)f x ax2 bx c進行描述 備課札記 提升 學科素養(yǎng) 利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題 當x 0 2 時 g x ex k 0 y g x 單調(diào)遞增 故f x 在 0 2 內(nèi)不存在兩個極值點 9分 當k 1時 得x 0 lnk 時 g x 0 函數(shù)y g x 單調(diào)遞增 所以函數(shù)y g x 的最小值為g lnk k 1 lnk 10分 函數(shù)f x 在 0 2 內(nèi)存在兩個極值點當且僅當 答題模板 用導數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間一般可用以下幾步答題 第一步 求函數(shù)f x 的定義域 第二步 求函數(shù)f x 的導數(shù)f x 令f x 0 求出x 第三步 由f x 0 f x 0 解出相應的x的范圍 第四步 寫出函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間 第五步 反思回顧 查看關鍵點 易錯點和解題規(guī)范 1 一個區(qū)別極值與最值的區(qū)別極值是指某一點附近函數(shù)值的比較 因此 同一函數(shù)在某一點的極大 小 值 可以比另一點的極小 大 值小 大 最大 最小值是指閉區(qū)間 a b 上所有函數(shù)值的比較 因而在一般情況下 兩者是有區(qū)別的 極大 小 值不一定是最大 小 值 最大 小 值也不一定是極大 小 值 但如果連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間 a b 內(nèi)只有一個極值 那么極大值就是最大值 極小值就是最小值 2 兩個注意 1 注意實際問題中函數(shù)定義域的確定 2 在實際問題中 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點 那么只要根據(jù)實際意義判定最大值還是最小值即可 不必再與端點的函數(shù)值比較 3 三個防范 1 求函數(shù)最值時 不可想當然地認為極值點就是最值點 要通過認真比較才能下結論 另外注意函數(shù)最值是個 整體 概念 而極值是個 局部 概念 2 f x0 0是y f x 在x x0取極值的既不充分也不必要條件 如 y x 在x 0處取得極小值 但在x 0處不可導 f x x3 f 0 0 但x 0不是f x x3的極值點 3 若y f x 可導 則f x0 0是f x 在x x0處取極值的必要條件