高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 9.5 橢圓課件 理.ppt

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第九章平面解析幾何 9 5橢圓 內(nèi)容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 高頻小考點 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 1 橢圓的概念平面內(nèi)到兩個定點F1 F2的距離的和等于常數(shù) 大于F1F2 的點的軌跡叫做 兩個定點F1 F2叫做橢圓的 兩焦點間的距離叫做橢圓的 集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中a 0 c 0 且a c為常數(shù) 1 若 則集合P為橢圓 2 若 則集合P為線段 3 若 則集合P為空集 橢圓 焦點 a c a c a c 焦距 知識梳理 1 答案 2 橢圓的標準方程和幾何性質(zhì) 2a 2b 2c a2 b2 c2 答案 點P x0 y0 和橢圓的關(guān)系 知識拓展 判斷下面結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 平面內(nèi)與兩個定點F1 F2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓 2 橢圓上一點P與兩焦點F1 F2構(gòu)成 PF1F2的周長為2a 2c 其中a為橢圓的長半軸長 c為橢圓的半焦距 3 橢圓的離心率e越大 橢圓就越圓 4 方程mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 表示的曲線是橢圓 思考辨析 答案 答案 解析當焦點在x軸上時 10 m m 2 0 10 m m 2 4 m 4 當焦點在y軸上時 m 2 10 m 0 m 2 10 m 4 m 8 4或8 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析由題意知25 m2 16 解得m2 9 又m 0 所以m 3 3 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 4 如果方程x2 ky2 2表示焦點在y軸上的橢圓 那么實數(shù)k的取值范圍是 又k 0 所以0 k 1 0 1 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 返回 解析設P x y 由題意知c2 a2 b2 5 4 1 所以c 1 則F1 1 0 F2 1 0 由題意可得點P到x軸的距離為1 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 例1如圖所示 一圓形紙片的圓心為O F是圓內(nèi)一定點 M是圓周上一動點 把紙片折疊使M與F重合 然后抹平紙片 折痕為CD 設CD與OM交于點P 則點P的軌跡是 解析由條件知PM PF PO PF PO PM OM R OF P點的軌跡是以O F為焦點的橢圓 命題點1橢圓定義的應用 橢圓 題型一橢圓的定義及標準方程 解析答案 例2 1 已知橢圓以坐標軸為對稱軸 且長軸是短軸的3倍 并且過點P 3 0 則橢圓的方程為 命題點2利用待定系數(shù)法求橢圓方程 解析答案 解析答案 解析設橢圓方程為mx2 ny2 1 m 0 n 0且m n 橢圓經(jīng)過點P1 P2 點P1 P2的坐標適合橢圓方程 解析答案 思維升華 思維升華 1 求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法 利用橢圓的定義定形狀時 一定要注意常數(shù)2a F1F2這一條件 2 求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法 具體過程是先定形 再定量 即首先確定焦點所在位置 然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a b的方程組 如果焦點位置不確定 要考慮是否有兩解 有時為了解題方便 也可把橢圓方程設為mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 的形式 1 已知圓 x 2 2 y2 36的圓心為M 設A為圓上任一點 且點N 2 0 線段AN的垂直平分線交MA于點P 則動點P的軌跡是 解析點P在線段AN的垂直平分線上 故PA PN 又AM是圓的半徑 PM PN PM PA AM 6 MN 由橢圓定義知 P的軌跡是橢圓 橢圓 跟蹤訓練1 解析答案 解析答案 由c2 a2 b2可得b2 4 解析答案 c2 16 且c2 a2 b2 故a2 b2 16 其焦點在y軸上 且c2 25 9 16 解析答案 由 得b2 4 a2 20 解析答案 解析設點B的坐標為 x0 y0 解析答案 題型二橢圓的幾何性質(zhì) 2 解析答案 解析答案 思維升華 由題意知M為線段QF的中點 且OM FQ 又O為線段F1F的中點 F1Q OM F1Q QF F1Q 2OM 解析答案 思維升華 解析答案 思維升華 思維升華 思維升華 1 利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點及技巧 注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系 在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍 或者最大值 最小值時 經(jīng)常用到橢圓標準方程中x y的范圍 離心率的范圍等不等關(guān)系 利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧 求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時 要結(jié)合圖形進行分析 當涉及頂點 焦點 長軸 短軸等橢圓的基本量時 要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系 2 求橢圓的離心率問題的一般思路求橢圓的離心率或其范圍時 一般是依據(jù)題設得出一個關(guān)于a b c的等式或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得離心率或離心率的范圍 解析在雙曲線中m2 n2 c2 跟蹤訓練2 解析答案 2 已知兩定點A 1 0 和B 1 0 動點P x y 在直線l y x 2上移動 橢圓C以A B為焦點且經(jīng)過點P 則橢圓C的離心率的最大值為 解析A 1 0 關(guān)于直線l y x 2的對稱點為A 2 1 連結(jié)A B交直線l于點P 解析答案 命題點1由直線與橢圓的位置關(guān)系研究橢圓的性質(zhì) 解析答案 題型三直線與橢圓的綜合問題 設橢圓的半焦距為c 由已知PF1 PF2 解由橢圓的定義 2 若PF1 PQ 求橢圓的離心率e 解析答案 解方法一連結(jié)F1Q 如圖 設點P x0 y0 在橢圓上 且PF1 PF2 則 解析答案 由橢圓的定義 PF1 PF2 2a QF1 QF2 2a 從而由PF1 PQ PF2 QF2 有QF1 4a 2PF1 解析答案 方法二如圖 由橢圓的定義 PF1 PF2 2a QF1 QF2 2a 從而由PF1 PQ PF2 QF2 有QF1 4a 2PF1 解析答案 命題點2由直線與橢圓的位置關(guān)系研究直線的性質(zhì) 解析答案 2 過F的直線與橢圓交于A B兩點 線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P C 若PC 2AB 求直線AB的方程 解析答案 思維升華 當AB與x軸不垂直時 設直線AB的方程為y k x 1 A x1 y1 B x2 y2 將AB的方程代入橢圓方程 得 1 2k2 x2 4k2x 2 k2 1 0 解析答案 若k 0 則線段AB的垂直平分線為y軸 與左準線平行 不合題意 思維升華 解得k 1 此時直線AB的方程為y x 1或y x 1 思維升華 思維升華 解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題 其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立 消元 化簡 然后應用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程 解決相關(guān)問題 涉及弦中點的問題時用 點差法 解決 往往會更簡單 2015 北京 已知橢圓C x2 3y2 3 過點D 1 0 且不過點E 2 1 的直線與橢圓C交于A B兩點 直線AE與直線x 3交于點M 1 求橢圓C的離心率 跟蹤訓練3 解析答案 2 若AB垂直于x軸 求直線BM的斜率 解因為AB過點D 1 0 且垂直于x軸 所以可設A 1 y1 B 1 y1 直線AE的方程為y 1 1 y1 x 2 令x 3 得M 3 2 y1 解析答案 3 試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系 并說明理由 解析答案 解直線BM與直線DE平行 證明如下 當直線AB的斜率不存在時 由 2 可知kBM 1 解析答案 解析答案 所以kBM 1 kDE 所以BM DE 綜上可知 直線BM與直線DE平行 返回 高頻小考點 8 高考中求橢圓的離心率問題 高頻小考點 解析答案 AF BF 4 AF AF0 4 a 2 解析如圖 設左焦點為F0 連結(jié)F0A F0B 則四邊形AFBF0為平行四邊形 解析答案 溫馨提醒 返回 解析答案 溫馨提醒 3b4 4a2c2 解析答案 溫馨提醒 溫馨提醒 溫馨提醒 離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì) 是高考重點考查的一個知識點 這類問題一般有兩類 一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率 另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍 無論是哪類問題 其難點都是建立關(guān)于a b c的關(guān)系式 等式或不等式 并且最后要把其中的b用a c表達 轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式 這是化解有關(guān)橢圓的離心率問題難點的根本方法 返回 思想方法感悟提高 1 橢圓的定義揭示了橢圓的本質(zhì)屬性 正確理解 掌握定義是關(guān)鍵 應注意定義中的常數(shù)大于F1F2 避免了動點軌跡是線段或不存在的情況 方法與技巧 3 討論橢圓的幾何性質(zhì)時 離心率問題是重點 求離心率的常用方法有以下兩種 2 列出關(guān)于a b c的齊次方程 或不等式 然后根據(jù)b2 a2 c2 消去b 轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程 或不等式 求解 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 PF2 6 PF1 2a PF2 10 6 4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因為過F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A B兩點 且AB 3 3 已知F1 1 0 F2 1 0 是橢圓C的兩個焦點 過F2且垂直于x的直線與橢圓C交于A B兩點 且AB 3 則C的方程為 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析當 PF1F2為直角時 根據(jù)橢圓的對稱性知 這樣的點P有2個 同理當 PF2F1為直角時 這樣的點P有2個 當P點為橢圓的短軸端點時 F1PF2最大 且為直角 此時這樣的點P有2個 故符合要求的點P有6個 6 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由題意知橢圓的兩個焦點F1 F2分別是兩圓的圓心 且PF1 PF2 10 從而PM PN的最小值為PF1 PF2 1 2 7 7 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因為點C在橢圓上 所以由橢圓定義知CA CB 2a 而AB 2c 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又x2 0 a2 2c2 a2 3c2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以a c 1 又因為橢圓C的右準線為x 4 代入上式解得a 2 c 1 所以b2 3 解由題意知 直線l的方程為y 2 x a 即2x y 2a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 將直線l繞點A旋轉(zhuǎn) 它與橢圓C相交于另一點P 當B F P三點共線時 試確定直線l的斜率 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 又點T在直線AB上 且kNS kAB 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由題意可設P c y0 c為半焦距 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由OP OF OF 知 PFF FPO OF P OPF 解析答案 所以 PFF OF P FPO OPF 180 知 FPO OPF 90 即FP PF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由橢圓定義 得PF PF 2a 4 8 12 從而a 6 得a2 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析設橢圓上一點P的坐標為 x y 即x2 3 y2 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解設橢圓的焦距為2c 則F1 c 0 F2 c 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若F1C AB 求橢圓離心率e的值 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解因為B 0 b F2 c 0 在直線AB上 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又AC垂直于x軸 由橢圓的對稱性 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又b2 a2 c2 整理得a2 5c2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解由題意知2a 4 則a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 求 ABQ面積的最大值 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解設A x1 y1 B x2 y2 將y kx m代入橢圓E的方程 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 16 0 由 0 可得m2 4 16k2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因為直線y kx m與y軸交點的坐標為 0 m 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 將y kx m代入橢圓C的方程 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0 由 0 可得m2 1 4k2 由 可知0 t 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由 知 ABQ面積為3S 返回