山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)九年級數(shù)學(xué)下冊 第3章 圓復(fù)習(xí)教案 (新版)北師大版.doc
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第三章圓一、復(fù)習(xí)目標(biāo)1.復(fù)習(xí)本章內(nèi)容,以求對本章知識有整體 認(rèn)識2.在鞏固復(fù)習(xí)中,尋求對圓各單元知識有框架性認(rèn)識3.通過對比、歸納思考本章知識結(jié)構(gòu),使學(xué)生能夠增強(qiáng)分析問題解決問題能力。二、課時安排2三、復(fù)習(xí)重難點對本章知識結(jié)構(gòu)的總體認(rèn)識,把握有關(guān)性質(zhì)和定理解決問題。四、教學(xué)過程(一)圓的概念集合形式的概念: 1、 圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合;2、圓的外部:可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合;3、圓的內(nèi)部:可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念: 1、圓:到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心,定長為半徑的圓;2、垂直平分線:到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線(也叫中垂線);3、角的平分線:到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線;4、到直線的距離相等的點的軌跡是:平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線;5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是:平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。 (二)點與圓的位置關(guān)系1、點在圓內(nèi) 點在圓內(nèi);2、點在圓上 點在圓上;3、點在圓外 點在圓外;(三)直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離 無交點;2、直線與圓相切 有一個交點;3、直線與圓相交 有兩個交點;(四)圓與圓的位置關(guān)系外離(圖1) 無交點 ;外切(圖2) 有一個交點 ;相交(圖3) 有兩個交點 ;內(nèi)切(圖4) 有一個交點 ;內(nèi)含(圖5) 無交點 ; (五)垂徑定理垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧;(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對的兩條?。唬?)平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧以上共4個定理,簡稱2推3定理:此定理中共5個結(jié)論中,只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論,即: 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即:在中,弧弧 (六)圓心角定理圓心角定理:同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弦相等,所對的弧相等,弦心距相等。 此定理也稱1推3定理,即上述四個結(jié)論中,只要知道其中的1個相等,則可以推出其它的3個結(jié)論,即:; 弧弧(七)圓周角定理1、圓周角定理:同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即:和是弧所對的圓心角和圓周角2、圓周角定理的推論:推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧是等??;即:在中,、都是所對的圓周角 推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角;圓周角是直角所對的弧是半圓,所對的弦是直徑。即:在中,是直徑或是直徑推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形。即:在中, 是直角三角形或注:此推論實是初二年級幾何中矩形的推論:在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。(八)圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理:圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ),外角等于它的內(nèi)對角。即:在中,四邊形是內(nèi)接四邊形 (九)切線的性質(zhì)與判定定理(1)切線的判定定理:過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線; 兩個條件:過半徑外端且垂直半徑,二者缺一不可 即:且過半徑外端 是的切線(2)性質(zhì)定理:切線垂直于過切點的半徑(如上圖)推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2:過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理:即:過圓心;過切點;垂直切線,三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。(十)切線長定理切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即:、是的兩條切線 平分(十一)圓冪定理(1)相交弦定理:圓內(nèi)兩弦相交,交點分得的兩條線段的乘積相等。即:在中,弦、相交于點, (2)推論:如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即:在中,直徑, (3)切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即:在中,是切線,是割線 (4)割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等(如上圖)。即:在中,、是割線,(十二)兩圓公共弦定理圓公共弦定理:兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖:垂直平分。即:、相交于、兩點垂直平分(十三)圓的公切線兩圓公切線長的計算公式:(1)公切線長:中,;(2)外公切線長:是半徑之差; 內(nèi)公切線長:是半徑之和 。(十四)圓內(nèi)正多邊形的計算(1)正三角形:在中是正三角形,有關(guān)計算在中進(jìn)行:;(2)正四邊形同理,四邊形的有關(guān)計算在中進(jìn)行,:(3)正六邊形同理,六邊形的有關(guān)計算在中進(jìn)行,.(十五)扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式1、扇形:(1)弧長公式:;(2)扇形面積公式: :圓心角 :扇形多對應(yīng)的圓的半徑 :扇形弧長 :扇形面積2、圓柱: (1)圓柱側(cè)面展開圖 =(2)圓柱的體積:3 .圓錐側(cè)面展開圖(1)=(2)圓錐的體積:(二)題型、方法歸納類型一確定圓的條件 例1xx河北 如圖,在55正方形網(wǎng)格中,一條圓弧經(jīng)過A,B,C三點,那么這條圓弧所在圓的圓心是()A點P B點Q C點R D點M解析 B圓心既在AB的中垂線上又在BC的中垂線上,由圖可以看出圓心應(yīng)該是點Q.歸納:過不在同一條直線上的三個點作圓時,只需由兩條線段的垂直平分線確定圓心即可,沒有必要作出第三條線段的垂直平分線事實上,三條垂直平分線交于同一點例2如圖,AB是O的弦,半徑OCAB于D點,且AB6 cm,OD4 cm,則DC的長為()A5 cm B2.5 cm C2 cm D1 cm解析 D連接AO,因為OCAB,所以ADBD3 cm,因為OD4 cm,在直角三角形ADO中,由勾股定理可以得到AO5 cm,所以O(shè)C5 cm,所以DC1 cm.歸納:(1)垂徑定理是根據(jù)圓的對稱性推導(dǎo)出來的,該定理及其推論是證明線段相等、垂直關(guān)系、弧相等的重要依據(jù)利用垂徑定理常作“垂直于弦的直徑”輔助線(往往又只是作圓心到弦的垂線段,如本例);(2)垂徑定理常與勾股定理結(jié)合在一起,進(jìn)行有關(guān)圓的半徑、圓心到弦的距離、弦長等數(shù)量的計算這些量之間的關(guān)系是r2d22(其中r為圓半徑,d為圓心到弦的距離,a為弦長)類型三圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系 例3如圖,O中,弦AB、CD相交于點P,若A30,APD70,則B等于()A30 B35 C40 D50解析 C由三角形的外角求得C40,所以BC40.類型四圓心角與圓周角例4如圖,點A,B,C在O上,ABCO,B22,則A_.解析 由同弧所對的圓心角等于它所對的圓周角的2倍,得O2B44,又因為ABCO,所以AO44.歸納:圓周角定理建立了圓心角與圓周角之間的關(guān)系,因此,最終實現(xiàn)了圓中的角(圓心角和圓周角)的轉(zhuǎn)化,從而為研究圓的性質(zhì)提供了有力的工具和方法當(dāng)圖形中含有直徑時,構(gòu)造直徑所對的圓周角是解決問題的重要思路在證明有關(guān)問題中注意90的圓周角的構(gòu)造類型五與圓有關(guān)的開放性問題例5如圖,在邊長為2的圓內(nèi)接正方形ABCD中,AC是對角線,P為邊CD的中點,延長AP交圓于點E.(1)E_度;(2)寫出圖中現(xiàn)有的一對不全等的相似三角形,并說明理由;(3)求弦DE的長解析 (1)由題目可知EACD,因為四邊形ABCD是正方形,所以ACD45,所以EACD45.(2)當(dāng)對應(yīng)角相等的時候,兩個三角形相似,由圓的性質(zhì)可知EACD,EDPCAP,所以ACPDEP.(3)因為ACPDEP,所以,因為P是CD的中點,所以CPDPCD1,由勾股定理分別求出AP,AC2,代入比例式算出DE.解:(1)45(2)ACPDEP.理由:AEDACD,APCDPE,ACPDEP.(3)ACPDEP,.又AP,AC2,DE.類型六圓與圓的位置關(guān)系的判別例6O1的半徑為3 cm,O2的半徑為5 cm,圓心距O1O22 cm,兩圓的位置關(guān)系是()。A外切B相交 C內(nèi)切 D內(nèi)含解析 C圓心距O1O22 cm是兩圓的半徑之差,所以兩圓內(nèi)切類型七計算扇形面積 例7如果一個扇形的弧長等于它的半徑,那么此扇形稱為“等邊扇形”則半徑為2的“等邊扇形”的面積為()A B1 C2 D.解析 C扇形的面積等于弧長乘以半徑的一半,所以此扇形的面積為222.類型八計算弧長 例8如圖,已知正方形的邊長為2 cm,以對角的兩個頂點為圓心,2 cm長為半徑畫弧,則所得到的兩條弧長度之和為_cm(結(jié)果保留)解析 兩段弧長的和是以2 cm為半徑的半圓的弧長即222.類型九圓的切線性質(zhì) 例9如圖X310,在RtABC中,ABC90,以AB為直徑的O交AC于點D,過點D的切線交BC于E.(1)求證:DEBC;(2)若tanC,DE2,求AD的長解析 連接BD,則在RtBCD中,BEDE,利用角的互余證明CEDC.解:(1)證明:連接BD,AB為直徑,ABC90,BE切O于點B.又因為DE切O于點D,所以DEBE,EBDEDB.ADB90,EBDC90,BDECDE90,CEDC,DECE,DEBC.(2)因為DE2,DEBC,所以BC4.在RtABC中,tanC,所以ABBC2.在RtABC中,AC6.又因為ABDACB,所以,即,所以AD.歸納:圓的切線性質(zhì)有很多,可以總結(jié)為:與圓相切一直線,只有一個公共點;切點圓心相連接,垂直切線是必然;切線上面取一點,此點圓心相互聯(lián);如若垂直圓切線,此點切點零相間(此句指此點與切點之間距離為零)類型十圓的切線的判定方法 例10如圖,已知RtABC,ABC90,以直角邊AB為直徑作O,交斜邊AC于點D,連接BD.(1)若AD3,BD4,求邊BC的長;(2)取BC的中點E,連接ED,試證明ED與O相切解析 先由勾股定理求出AB,再利用相似求出BC.只要證明ODDE就能說明ED與O相切,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到等邊轉(zhuǎn)化為等角,進(jìn)而算出ODE是直角解:(1)AB是直徑,ADB90.AD3,BD4,AB5.CDBABC,AA,ADBABC,即,BC.(2)證明:連接OD,在RtBDC中,E是BC的中點,CEDE,CCDE.又ODOB,ODBOBD,又OBDDBC90,CDBC90,COBD,BDOCDE.AB是直徑,ADB90,BDC90,即BDECDE90,BDEBDO90,即ODE90,ED與O相切歸納:在涉及切線問題時,常連接過切點的半徑,要想證明一條直線是圓的切線,常常需要作輔助線如果已知直線過圓上某一點,則作出過這一點的半徑,證明直線垂直于半徑;如果直線與圓的公共點沒有確定,則應(yīng)過圓心作直線的垂線,證明圓心到直線的距離等于半徑類型十一圓錐面積問題 例11如圖,已知RtABC的斜邊AB13 cm,一條直角邊AC5 cm,以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周得一個幾何體求這個幾何體的表面積解析 首先應(yīng)了解這個幾何體的形狀是上下兩個圓錐,共用一個底面,表面積即為兩個圓錐的側(cè)面積之和根據(jù)S側(cè)R2或S側(cè)rl可知,用第二個公式比較好求,但是得求出底面圓的半徑,因為AB垂直于底面圓的半徑,在RtABC中,由OCABBCAC可求出r,問題就解決了解:在RtABC中,AB13 cm,AC5 cm,BC12 cm.OCABBCAC,rOC.S表r(BCAC)(125) cm2.歸納:對于這類由多個幾何體拼接而成的幾何體,在求它們的側(cè)面積或體積時,可以根據(jù)其特點適當(dāng)“分割”求解,再求和(三)典例精講例題1:如圖,已知AB是O的直徑,點C,D在O上,點E在O外,EACD60.(1)求ABC的度數(shù);(2)求證:AE是O的切線;(3)當(dāng)BC4時,求劣弧的長解:(1)ABCD60 (2)AB是O的直徑,ACB90,BAC30,BAEBACEAC306090,即BAAE,AE是O的切線例題2:如圖,扇形OAB中,AOB90,半徑OA6,將扇形OAB沿過B點的直線折疊,點O恰好落在弧AB上的點D處,折痕交OA于點C,求整個陰影部分的周長和面積解:連接OD,OBOD,OBBD,ODB是等邊三角形,DBO60,OBCCBD30,在RtOCB中,OC2,SOBCOCOB266,S 陰影S扇形AOB2SOBC3626912,l陰影l(fā)ABACCDDB326123(四)歸納小結(jié)1.圓的定義?點和圓 的位置關(guān)系?21.圓的對稱性有哪些?圓心角、弧、弦、弦心距之間有何關(guān)系?3.圓周角的定義?圓周角定理和相關(guān)推論有哪些?圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)?4.不在同一直線上的三個點能否確定一個圓?直線和圓有哪幾種位置關(guān)系?5.什么是圓的切線?它有何性質(zhì)?你有幾種判斷圓的切線的方法?6.什么是切線長?切線長定理?什么是三角形的內(nèi)切圓?7.圓內(nèi)接正多邊形有哪些相關(guān)概念?8.扇形的弧長公式和面積公式是什么?(五)隨堂檢測1(涼山州)如圖,ABC內(nèi)接于O,OBC40,則A的度數(shù)為( )A80 B100 C110 D1302如圖所示,在以點O為圓心的兩個同心圓中,大圓的半徑OA,OB分別交小圓于點A,B,則下列結(jié)論中正確的是()AAB2AB B.C.AB DAABB3如圖,將半徑為2 cm的圓形紙片折疊后,圓弧恰好經(jīng)過圓心O,則折痕AB的長為()。A2 cm B. cm C2 cm D2 cm4如圖,在半徑為6 cm的O中,點A是劣弧的中點,點D是優(yōu)弧上一點,且D30,下列四個結(jié)論:OABC;BC6 cm;sinAOB;四邊形ABOC是菱形其中正確結(jié)論的序號是()A B C D5如圖,O中,AB是直徑,COAB,點D是CO的中點,DEAB,則的度數(shù)是_6已知一個等邊三角形的圖案的邊長是3 cm,現(xiàn)用一個最小的圓去覆蓋它,則這個圓的面積是_cm2.7(泰安中考)如圖,AB是半圓的直徑,點O為圓心,OA5,弦AC8,ODAC,垂足為點E,交O于點D,連接BE,設(shè)BEC,則sin的值為_8如圖,已知AB是O的直徑,弦CDAB于點E,點M在O上,MD.(1)判斷BC,MD的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若AE16,BE4,求線段CD的長;(3)若MD恰好經(jīng)過圓心O,求D的度數(shù)9已知直線l與半徑為2的O的位置關(guān)系是相離,則點O到直線l的距離的取值范圍在數(shù)軸上的表示正確的是()10如圖,RtABC中,ACB90,AC4,BC6,以斜邊AB上的一點O為圓心所作的半圓分別與AC,BC相切于點D,E,則AD為( )A2.5 B1.6 C1.5 D111.如圖,已知以直角梯形ABCD的腰CD為直徑的圓O與梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切,切點分別是D,C,E,若圓O的半徑為2,梯形的腰AB為5,則該梯形的周長是( )A9 B10 C12 D1412(xx廈門)如圖,在ABC中,ABAC,點D是邊BC的中點,一個圓過點A,交邊AB于點E,且與BC相切于點D,則該圓的圓心是( )A線段AE中垂線與線段AC的中垂線的交點B線段AB中垂線與線段AC的中垂線的交點C線段AE中垂線與線段BC的中垂線的交點D線段AB中垂線與線段BC的中垂線的交點13(青島)如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O,若直線PA與O相切于點A,則PAB_14四邊形ABCD中,ADBC,AB3,B30,有一個直徑為3的圓,其圓心O在BC邊上移動,當(dāng)BO等于_時,O與BA相切15(荊門)如圖,在ABCD中,以點A為圓心,AB的長為半徑的圓恰好與CD相切于點C,交AD于點E,延長BA與A相交于點F,若的長為,則圖中陰影部分的面積為_16已知一個半圓形工件,未搬動前如圖所示,直徑平行于地面位置,搬動時,為了保護(hù)圓弧部分不受損傷,先將半圓作如圖所示的無滑動翻轉(zhuǎn),使它的直徑緊貼地面,再將它沿地面平移50 m,半圓的直徑為4 m,則圓心O所經(jīng)過的路線長是_m(結(jié)果用表示)17如圖,AB為O的直徑,BF切O于點B,AF交O于點D,點C在DF上,BC交O于點E,且BAF2CBF,CGBF于點G,連接AE.(1)直接寫出AE與BC的位置關(guān)系;(2)求證:BCGACE;(3)若F60,GF1,求O的半徑長18如圖,已知AB為O的直徑,PA與O相切于點A,線段OP與弦AC垂直并相交于點D,OP與弧AC相交于點E,連接BC.(1)求證:PACB,且PABCABCD;(2)若PA10,sinP,求PE的長【答案】1.答案為D2. 答案為D3答案為C4. 答案為B5. 答案為60 6. 97. 8. 解:(1)BCMD,理由:MD,MC,DC,BCAD (2)連接OC,由垂徑定理可知CECD,COAB(AEBE)10,OEOBBE6,CE8,CD16(3)D30,連接MC,MD經(jīng)過圓心,MCD90,CMDD90,BCMD,BMDMDC,由垂徑定理得:,BMCBMD,CMDDBMCBMDMDC3MDC90,MDC30,即D309. 答案為A10. 答案為B11. 答案為D12. 答案為C13. 3014.315. 216. (250)17. 解:(1)AEBC (2)BF與O相切,ABF90,CBF90ABEBAE,BAF2CBF,BAF2BAE,BAECAE,CBFDAE,且BGCAED90,BCGACE (3)設(shè)O半徑為r,則AB2r,F(xiàn)60,BFr,AFr,GF1,CF2,ACABAFCFr22r,r2318. 解:PA是O的切線,AB是直徑,PAO90,C90,PACBAC90,且BBAC90,PACB,又OPAC,ADPC90,PADABC,APABADBC,在O中,ACOD,ADCD,APABCDBC,PABCABCD (2)sinP,且PA10,AD6,AC2AD12,在RtADP中,PD8,又APABPDAC,AB15,AO,OP,PEOPOE5五、板書設(shè)計第三章圓知識體系類型歸納例題展示六、作業(yè)布置見本單元質(zhì)量檢測試題七、教學(xué)反思- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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