2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列學(xué)案 新人教A版必修5.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列學(xué)案 新人教A版必修5第一課時(shí)數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式數(shù)列的概念提出問題觀察下列示例，回答后面問題(1)正整數(shù)1,2,3,4,5,6的倒數(shù)依次是1，.(2)2的1次冪，2次冪，3次冪、4次冪依次是2,4，8,16.(3)人們?cè)?740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出這顆彗星每隔83年出現(xiàn)一次，那么從發(fā)現(xiàn)那次算起，這顆彗星出現(xiàn)的年份依次為：1740,1823,1906,1989,2072，.(4)“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的意思為：一尺長(zhǎng)的木棒，每日取其一半，永遠(yuǎn)也取不完如果將“一尺之棰”視為1份，那么每日剩下的部分依次分為：，.問題：觀察上面4個(gè)例子，它們都涉及到了一些數(shù)，這些數(shù)的呈現(xiàn)有什么特點(diǎn)？提示：按照一定的順序排列導(dǎo)入新知數(shù)列的概念(1)定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列(2)項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)a1稱為數(shù)列an的第1項(xiàng)(或稱為首項(xiàng))，a2稱為第2項(xiàng)，an稱為第n項(xiàng)(3)數(shù)列的表示：數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，an簡(jiǎn)記為an化解疑難1數(shù)列的定義中要把握兩個(gè)關(guān)鍵詞：“一定順序”與“一列數(shù)”也就是說構(gòu)成數(shù)列的元素是“數(shù)”，并且這些數(shù)是按照“一定順序”排列著的，即確定的數(shù)在確定的位置2項(xiàng)an與序號(hào)n是不同的，數(shù)列的項(xiàng)是這個(gè)數(shù)列中的一個(gè)確定的數(shù)，而序號(hào)是指項(xiàng)在數(shù)列中的位次3an與an是不同概念：an表示數(shù)列a1，a2，a3，an，；而an表示數(shù)列an中的第n項(xiàng).數(shù)列的分類提出問題問題：觀察上面4個(gè)例子中對(duì)應(yīng)的數(shù)列，它們的項(xiàng)數(shù)分別是多少？這些數(shù)列中從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的大小關(guān)系又是怎樣的？提示：數(shù)列1中有6項(xiàng)，數(shù)列2中有4項(xiàng)，數(shù)列3、4有無窮多項(xiàng)；數(shù)列1中每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)，數(shù)列2中的項(xiàng)大小不確定，數(shù)列3中每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)，數(shù)列4中每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)導(dǎo)入新知分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)相等的數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列化解疑難在寫數(shù)列時(shí)，對(duì)于有窮數(shù)列，要把末項(xiàng)寫出例如，數(shù)列1,2,3,4，100.表示有窮數(shù)列但是如果把數(shù)列寫成1,2,3,4，100，就表示無窮數(shù)列.數(shù)列的通項(xiàng)公式提出問題問題：仍然觀察上面4個(gè)例子，你能否發(fā)現(xiàn)這些數(shù)列中，每一項(xiàng)與這一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)之間存在著某種關(guān)系？這種關(guān)系是否可以表示為一個(gè)公式？提示：每一項(xiàng)與這一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)間存在一定的關(guān)系，有些可用公式表示，有些不能用公式表示導(dǎo)入新知數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么就把這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式化解疑難1數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*或它的有限子集1,2,3，n為定義域的函數(shù)解析式2同所有的函數(shù)關(guān)系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式數(shù)列的概念及分類例1已知下列數(shù)列：(1)0,0,0,0,0,0；(2)0，1,2，3,4，5，；(3)0，；(4)1,0.2,0.22,0.23，；(5)0，1,0，cos，.其中，有窮數(shù)列是_，無窮數(shù)列是_，遞增數(shù)列是_，遞減數(shù)列是_，常數(shù)列是_，擺動(dòng)數(shù)列是_(填序號(hào))解析(1)是常數(shù)列且是有窮數(shù)列；(2)是無窮擺動(dòng)數(shù)列；(3)是無窮遞增數(shù)列(因?yàn)?)；(4)是無窮遞減數(shù)列；(5)是無窮擺動(dòng)數(shù)列答案(1)(2)(3)(4)(5)(3)(4)(1)(2)(5)類題通法判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，只需考察數(shù)列是有限項(xiàng)還是無限項(xiàng)若數(shù)列含有限項(xiàng)，則是有窮數(shù)列，否則為無窮數(shù)列而判斷數(shù)列的單調(diào)性，則需要從第2項(xiàng)起，觀察每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的大小關(guān)系，若滿足anan1，則是遞減數(shù)列；若滿足anan1，則是常數(shù)列；若an與an1的大小不確定時(shí)，則是擺動(dòng)數(shù)列活學(xué)活用1給出下列數(shù)列：(1)xxxx年某市普通高中生人數(shù)(單位：萬人)構(gòu)成數(shù)列82,93,105,119,129,130,132,135.(2)無窮多個(gè)構(gòu)成數(shù)列，.(3)2的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，構(gòu)成數(shù)列2,4，8,16，32，.(4)精確到1,0.1,0.01,0.001，的不足近似值與過剩近似值分別構(gòu)成數(shù)列1,1.4,1.41,1.414，；2,1.5,1.42,1.415，.指出其中哪些是有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列？解：有窮數(shù)列有：82,93,105,119,129,130,132,135；無窮數(shù)列有：，；2,4，8,16，32，；1,1.4,1.41,1.414，；2,1.5,1.42,1.415，.遞增數(shù)列有：82,93,105,119,129,130,132,135；1,1.4,1.41,1.414，.遞減數(shù)列有：2,1.5,1.42,1.415，.常數(shù)列有：，.擺動(dòng)數(shù)列有：2,4，8,16，32，.由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式例2寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)，2，8，；(2)9,99,999,9 999，；(3)，；(4)，；解(1)數(shù)列的項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：，所以，它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(nN*)(2)各項(xiàng)加1后，變?yōu)?0,100,1 000,10 000，此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n，可得原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an10n1.(3)數(shù)列中每一項(xiàng)由三部分組成，分母是從1開始的奇數(shù)列，可用2n1表示；分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方，可用(n1)2表示，分子的后一部分是減去一個(gè)自然數(shù)，可用n表示，綜上，原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an(nN*)(4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an(1)n.類題通法此類問題雖無固定模式，但也有規(guī)律可循，主要靠觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法具體方法為：分式中分子、分母的特征；相鄰項(xiàng)的變化特征；拆項(xiàng)后的特征；各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征；化異為同對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系活學(xué)活用2寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)0,3,8,15,24，；(2)1，3,5，7,9，；(3)1，2，3，4，；(4)1,11,111,1 111，.解：(1)觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到011,341，891,15161,24251，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是ann21.(2)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值為1,3,5,7,9，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(1)n1(2n1)(3)此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4，恰好是序號(hào)n，分?jǐn)?shù)部分與序號(hào)n的關(guān)系為，故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為ann.(4)原數(shù)列的各項(xiàng)可變?yōu)?，99，999，9 999，易知數(shù)列9,99,999,9 999，的一個(gè)通項(xiàng)公式為an10n1.所以原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(10n1).通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例3已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an.(1)寫出該數(shù)列的第4項(xiàng)和第7項(xiàng)；(2)試判斷和是否是該數(shù)列中的項(xiàng)？若是，求出它是第幾項(xiàng)；若不是，說明理由解(1)由通項(xiàng)公式an可得a4，a7.(2)令，得n29，所以n3(n3舍去)，故是該數(shù)列中的項(xiàng)，并且是第3項(xiàng)；令，得n2，所以n，由于都不是正整數(shù)，因此不是數(shù)列中的項(xiàng)類題通法1數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)2判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)，需先假定它是數(shù)列中的項(xiàng)，列方程求解若方程的解為正整數(shù)，則該數(shù)值是數(shù)列的項(xiàng)；若方程無解或解不是正整數(shù)，則該數(shù)值不是此數(shù)列的項(xiàng)活學(xué)活用3已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anqn，且a4a272.(1)求實(shí)數(shù)q的值；(2)判斷81是否為此數(shù)列中的項(xiàng)解：(1)由題意知q4q272q29或q28(舍去)，q3.(2)當(dāng)q3時(shí)，an3n，顯然81不是此數(shù)列中的項(xiàng)；當(dāng)q3時(shí)，an(3)n，令(3)n8134，也無解81不是此數(shù)列中的項(xiàng)典例已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann25n4.求n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值解ann25n42，可知對(duì)稱軸方程為n2.5.又nN*，故n2或3時(shí)，an有最小值，其最小值為a2a3225242.易錯(cuò)防范1忽視了借助二次函數(shù)求最值，而認(rèn)為當(dāng)n1時(shí)取得最小值2由an2知n取最小值，忽視nN*.3在用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決數(shù)列問題時(shí)，要注意它的定義域是N*(或它的有限子集1,2,3，n)這一約束條件成功破障求數(shù)列2n29n3中的最大項(xiàng)解：已知2n29n322，由于n為正整數(shù)，故當(dāng)n2時(shí)，取得最大值為13，所以數(shù)列2n29n3中的最大項(xiàng)為第二項(xiàng)，為13.隨堂即時(shí)演練1將正整數(shù)的前5個(gè)數(shù)排列如下：1,2,3,4,5；5,4,3,2,1；2,1,5,3,4；4,1,5,3,2.那么可以稱為數(shù)列的有()ABC D解析：選D數(shù)列是按“一定順序”排列著的一列數(shù)因此選D.注意此題易錯(cuò)選B.2在數(shù)列1,0，中，0.08是它的()A第100項(xiàng) B.第12項(xiàng)C第10項(xiàng) D第8項(xiàng)解析：選Can，令0.08，解得n10或n(舍去)3若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an32n，則a2n_，_.解析：根據(jù)通項(xiàng)公式我們可以求出這個(gè)數(shù)列的任意一項(xiàng)an32n，a2n322n34n，.答案：34n4若數(shù)列an的通項(xiàng)滿足n2，那么15是這個(gè)數(shù)列的第_項(xiàng)解析：由n2可知，ann22n，令n22n15，得n5.答案：55已知：an，(1)求a3；(2)若an，求n.解：(1)將n3代入an，得a3.(2)將an代入an，得，解得n8.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1下面有四個(gè)結(jié)論，其中敘述正確的有數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的；數(shù)列可以看做是一個(gè)定義在正整數(shù)集或其子集上的函數(shù)；數(shù)列若用圖象表示，它是一群孤立的點(diǎn)；每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式()ABC D解析：選B數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一，有的數(shù)列沒有通項(xiàng)公式，所以不正確2數(shù)列的通項(xiàng)公式為an則a2a3等于()A70 B.28C20 D8解析：選C由an得a22，a310，所以a2a320.3數(shù)列1,3，7,15，的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是()Aan(1)n(2n1)Ban(1)n(2n1)Can(1)n1(2n1)Dan(1)n1(2n1)解析：選A數(shù)列各項(xiàng)正、負(fù)交替，故可用(1)n來調(diào)節(jié)，又1211,3221,7231,15241，所以通項(xiàng)公式為an(1)n(2n1)4(xx宿州高二檢測(cè))已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an，那么這個(gè)數(shù)列是()A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C常數(shù)列 D擺動(dòng)數(shù)列解析：選Aan1，當(dāng)n越大，越小，則an越大，故該數(shù)列是遞增數(shù)列5下列命題：已知數(shù)列an，an(nN*)，那么是這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)，且最大項(xiàng)為第一項(xiàng)數(shù)列，2，的一個(gè)通項(xiàng)公式是an.已知數(shù)列an，ankn5，且a811，則a1729.已知an1an3，則數(shù)列an是遞增數(shù)列其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A4個(gè) B.3個(gè)C2個(gè) D1個(gè)解析：選A對(duì)于，令ann10，易知最大項(xiàng)為第一項(xiàng)正確對(duì)于，數(shù)列，2，變?yōu)?，an，正確；對(duì)于，ankn5，且a811k2an2n5a1729.正確；對(duì)于，由an1an30，易知正確二、填空題6已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an，那么是它的第_項(xiàng)解析：令，解得n4(n5舍去)，所以是第4項(xiàng)答案：47已知數(shù)列an的前4項(xiàng)為11,102,1 003,10 004，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式為_解析：由于11101,1021022,1 0031033，10 0041044，所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an10nn.答案：an10nn.8(xx福州高二檢測(cè))已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann28n12，那么該數(shù)列中為負(fù)數(shù)的項(xiàng)一共有_項(xiàng)解析：令ann28n120，解得2n6，又因?yàn)閚N*，所以n3,4,5，一共有3項(xiàng)答案：3三、解答題9求下列數(shù)列的一個(gè)可能的通項(xiàng)公式：(1)1，1,1，1，；(2)1,10,2,11,3,12，；(3)1，1，1，1，.解：(1)an(1)n1或an(2)an或an.(3)an1(1)n1.10在數(shù)列an中，a12，a1766，通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求a2 013；(3)2 014是否為數(shù)列an中的項(xiàng)？解：(1)設(shè)anknb(k0)，則有解得k4，b2.an4n2.(2)a2 01342 01328 050.(3)令2 0144n2，解得n504N*，2 014是數(shù)列an的第504項(xiàng)第二課時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式數(shù)列的遞推關(guān)系提出問題某劇場(chǎng)有30排座位，第一排有20個(gè)座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個(gè)座位(如圖)問題1：寫出前五排座位數(shù)提示：20,22,24,26,28.問題2：第n排與第n1排座位數(shù)有何關(guān)系？提示：第n1排比第n排多2個(gè)座位問題3：第n排座位數(shù)an與第n1排座位數(shù)an1能用等式表示嗎？提示：能an1an2.導(dǎo)入新知如果已知數(shù)列an的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式化解疑難1數(shù)列的遞推公式是給出數(shù)列的另一重要形式，由遞推公式可以依次求出數(shù)列的各項(xiàng)2有些數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式可以相互轉(zhuǎn)化，如數(shù)列1,3,5，2n1，的一個(gè)通項(xiàng)公式為an2n1(nN*)用遞推公式表示為a11，anan12(n2，nN*)數(shù)列的表示方法例1根據(jù)數(shù)列an的通項(xiàng)公式，把下列數(shù)列用圖象表示出來(n5，且nN*)(1)an(1)n2；(2)an.解(1)數(shù)列an的前5項(xiàng)依次是1,3,1,3,1，圖象如下圖所示(2)數(shù)列an的前5項(xiàng)依次是2，圖象如下圖所示類題通法通項(xiàng)公式法、列表法與圖象法表示數(shù)列優(yōu)點(diǎn)(1)用通項(xiàng)公式表示數(shù)列，簡(jiǎn)潔明了，便于計(jì)算公式法是常用的數(shù)學(xué)方法(2)列表法的優(yōu)點(diǎn)是不經(jīng)過計(jì)算，就可以直接看出項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系(3)圖象能直觀形象地表示出隨著序號(hào)的變化，相應(yīng)項(xiàng)變化的趨勢(shì)活學(xué)活用1一輛郵車每天從A地往B地運(yùn)送郵件，沿途(包括A，B)共有8站，從A地出發(fā)時(shí)，裝上發(fā)往后面7站的郵件各一個(gè)，到達(dá)各站后卸下前面各站發(fā)往該站的郵件，同時(shí)裝上該站發(fā)往后面各站的郵件各一個(gè)試用列表法表示郵車在各站裝卸完畢后剩余郵件個(gè)數(shù)所成的數(shù)列解：將A，B之間所有站按序號(hào)1,2,3,4,5,6,7,8編號(hào)通過計(jì)算，各站裝卸完畢后剩余郵件個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列7,12,15,16,15,12,7,0，如下表：站號(hào)(n)12345678剩余郵件數(shù)(an)7121516151270由遞推公式求數(shù)列中的項(xiàng)例2已知數(shù)列an的第一項(xiàng)a11，以后的各項(xiàng)由公式an1給出，試寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)解a11，an1，a2，a3，a4，a5.故該數(shù)列的前5項(xiàng)為1，.類題通法根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，要弄清楚公式中各部分的關(guān)系，依次代入計(jì)算即可另外，解答這類問題時(shí)還需注意：若知道的是首項(xiàng)，通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式；若知道的是末項(xiàng)，通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式活學(xué)活用2已知數(shù)列an中，a11，a22，以后各項(xiàng)由anan1an2(n3)給出(1)寫出此數(shù)列的前5項(xiàng)；(2)通過公式bn構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列bn，寫出數(shù)列bn的前4項(xiàng)解：(1)anan1an2(n3)，且a11，a22，a3a2a13，a4a3a2325，a5a4a3538.故數(shù)列an的前5項(xiàng)依次為a11，a22，a33，a45，a58.(2)bn，且a11，a22，a33，a45，a58，b1，b2，b3，b4.故b1，b2，b3，b4.由遞推公式歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式例3已知數(shù)列an的第1項(xiàng)是2，以后的各項(xiàng)由公式an(n2,3,4，)給出，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)，并歸納出數(shù)列an的通項(xiàng)公式解可依次代入項(xiàng)數(shù)進(jìn)行求值a12，a22，a3，a4，a5.即數(shù)列an的前5項(xiàng)為2，2，.也可寫為，.即分子都是2，分母依次加2，且都是奇數(shù)，所以an(nN*)類題通法根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后由前幾項(xiàng)分析其特點(diǎn)、規(guī)律，歸納總結(jié)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式活學(xué)活用3已知數(shù)列an滿足a11，anan1(n2)，寫出該數(shù)列前5項(xiàng)，并歸納出它的一個(gè)通項(xiàng)公式解：a11，a2a11，a3a2，a4a3，a5a4.故數(shù)列的前5項(xiàng)分別為1，.由于1，故數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式為an2.遞推公式和通項(xiàng)公式是數(shù)列的兩種表示方法，它們都可以確定數(shù)列中的任意一項(xiàng)，只是由遞推公式確定數(shù)列中的項(xiàng)時(shí)，不如通項(xiàng)公式直接，下面介紹由遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的兩種方法【角度一】累加法對(duì)于數(shù)列an若滿足an1anf(n)時(shí)，需用累加法，即an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1來求an.例1已知a11，an1an2，求數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式解a11，an1an2，a2a12，a3a22，a4a32，anan12(n2)，將這些式子的兩邊分別相加，(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2(n1)，即ana12(n1)，又a11，an2n1(n2)，當(dāng)n1時(shí)，a11也滿足上式，故數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式為an2n1.【角度二】累乘法對(duì)于數(shù)列an若滿足f(n)時(shí)，需用累乘法，即ana1來求an.例2已知數(shù)列an中，a12，an13an(nN*)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解由an13an得3.因此可得3，3，3，3.將上面的n1個(gè)式子相乘可得3n1.即3n1，所以ana13n1，又a12，故an23n1.隨堂即時(shí)演練1符合遞推關(guān)系式anan1的數(shù)列是()A1,2,3,4，B1，2,2，C.，2，2， D0，2,2，解析：選BB中從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的倍，符合遞推公式anan1.2數(shù)列，的遞推公式可以是()Aan(nN*) B.an(nN*)Can1an(nN*) Dan12an(nN*)解析：選C數(shù)列從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的，故遞推公式為an1an(nN*)3已知a11，an1(n2)，則a5_.解析：由a11，an1得a22，a3，a4，a5.答案：4已知數(shù)列an滿足a10，(nN*)，則數(shù)列an是_數(shù)列(填“遞增”或“遞減”)解析：由已知a10，an1an(nN*)，得an0(nN*)又an1anananan0，所以an是遞減數(shù)列答案：遞減5已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an，寫出它的前5項(xiàng)，并判斷該數(shù)列的單調(diào)性解：對(duì)于公式an，依次取n1,2,3,4,5，得到數(shù)列的前5項(xiàng)為a1，a2，a3，a4，a5.而an1an.因?yàn)閚N*，所以1n2n0，所以an1an0，即an1an.故該數(shù)列為遞減數(shù)列課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1已知an1an30，則數(shù)列an是()A遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列C常數(shù)列 D不能確定解析：選Aan1an30，故數(shù)列an為遞增數(shù)列2數(shù)列an中an1an2an，a12，a25，則a5 ()A3 B.11C5 D19解析：選D由an1an2an得an2anan1，由于a3a1a27，a4a2a312，a5a3a419.3在數(shù)列an中，a1，an(1)n2an1(n2)，則a5等于()AB.CD.解析：選Ba1，an(1)n2an1，a2(1)22，a3(1)32，a4(1)42，a5(1)52.4已知數(shù)列an對(duì)任意的p，qN*滿足apqapaq，且a26，那么a10等于()A165 B.33C30 D21解析：選C由已知得a2a1a12a16，a13.a102a52(a2a3)2a22(a1a2)4a22a14(6)2(3)30.5已知在數(shù)列an中，a13，a26，且an2an1an，則a2 012()A3 B.3C6 D6解析：選C由題意知：a3a2a13，a4a3a23，a5a4a36，a6a5a43，a7a6a53，a8a7a66，a9a8a73，a10a9a83故知an是周期為6的數(shù)列，a2 012a26.二、填空題6數(shù)列an中，an1ann0，則a2 012a2 011_.解析：an1ann0，a2 012a2 0112 0110，a2 012a2 0112 011.答案：2 0117已知數(shù)列an，ananm(a0，nN*)，滿足a12，a24，則a3_.解析：an(1)n3，a3(1)332.答案：28已知對(duì)于任意的正整數(shù)n，ann2n.若數(shù)列an是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_解析：an是遞增數(shù)列，an1an(n1)2(n1)n2n2n10對(duì)于任意的正整數(shù)n恒成立，即 2n1對(duì)于任意的正整數(shù)n恒成立，3.答案：3三、解答題9已知數(shù)列an中，a11，an1an.(1)寫出數(shù)列an的前5項(xiàng)；(2)猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)畫出數(shù)列an的圖象解：(1)a11，a21，a3，a4，a5.(2)猜想：an.(3)圖象如圖所示：10設(shè)f(x)log2 xlogx4(0x1)，又知數(shù)列an的通項(xiàng)an滿足f(2an)2n.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)試判斷數(shù)列an的增減性解：(1)f(x)log2xlogx4(0x1)，f(2an)2n，log22anlog2an42n，由換底公式，得log22an2n，即an2n，a2nan20，ann.由0x1，有02an1，an0.由得ann，此即為數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)1an0，an1an，數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列_2.2等差數(shù)列第一課時(shí)等差數(shù)列等差數(shù)列的定義提出問題1有一座樓房第一層的每級(jí)臺(tái)階與地面的高度(單位：cm)依次為：16,32,48,64,80,96,112,128，320.2xx年倫敦奧運(yùn)會(huì)女子舉重共設(shè)置7個(gè)級(jí)別，其中較輕的4個(gè)級(jí)別體重(單位：kg)分別為：48,53,58,63.3鞋的尺碼，按照國(guó)家規(guī)定，有：22,22.5,23,23.5,24,24.5，問題1：上面三組數(shù)構(gòu)成數(shù)列嗎？提示：構(gòu)成問題2：若上面三組數(shù)構(gòu)成數(shù)列，試觀察它們從2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差有什么特點(diǎn)？提示：等于同一常數(shù)導(dǎo)入新知等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示化解疑難1“從第2項(xiàng)起”是指第1項(xiàng)前面沒有項(xiàng)，無法與后續(xù)條件中“與前一項(xiàng)的差”相吻合2“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差”這一運(yùn)算要求是指“相鄰且后項(xiàng)減去前項(xiàng)”，強(qiáng)調(diào)了： 作差的順序；這兩項(xiàng)必須相鄰3定義中的“同一常數(shù)”是指全部的后項(xiàng)減去前一項(xiàng)都等于同一個(gè)常數(shù)，否則這個(gè)數(shù)列不能稱為等差數(shù)列.等差中項(xiàng)提出問題問題：觀察上面三個(gè)數(shù)列，每個(gè)數(shù)列的任意連續(xù)三項(xiàng)之間有什么樣的關(guān)系？提示：前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的和是中間項(xiàng)的2倍導(dǎo)入新知等差中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)這三個(gè)數(shù)滿足的關(guān)系式是A.化解疑難1A是a與b的等差中項(xiàng)，則A或2Aab，即兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)有且只有一個(gè)2當(dāng)2Aab時(shí)，A是a與b的等差中項(xiàng).等差數(shù)列的通項(xiàng)公式提出問題若一等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差是d.問題1：試用a1、d表示a2、a3、a4.提示：a2a1d，a3a12d，a4a13d.問題2：由此猜想等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an.提示：ana1(n1)d.導(dǎo)入新知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d遞推公式通項(xiàng)公式anan1d(n2)ana1(n1)d(nN*)化解疑難由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1(n1)d可得andn(a1d)，如果設(shè)pd，qa1d，那么anpnq，其中p，q是常數(shù)當(dāng)p0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)；當(dāng)p0時(shí)，anq，等差數(shù)列為常數(shù)列等差數(shù)列的判定與證明例1判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列(1)在數(shù)列an中an3n2；(2)在數(shù)列an中ann2n.解(1)an1an3(n1)2(3n2)3(nN*)由n的任意性知，這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常數(shù)，所以這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列類題通法定義法是判定(或證明)數(shù)列an是等差數(shù)列的基本方法，其步驟為：(1)作差an1an；(2)對(duì)差式進(jìn)行變形；(3)當(dāng)an1an是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)時(shí)，數(shù)列an是等差數(shù)列；當(dāng)an1an不是常數(shù)，是與n有關(guān)的代數(shù)式時(shí)，數(shù)列an不是等差數(shù)列活學(xué)活用1已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，數(shù)列bn中，bn3an4，問：數(shù)列bn是否為等差數(shù)列？并說明理由解：數(shù)列bn是等差數(shù)列理由：數(shù)列an是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，an1and(nN*)bn1bn(3an14)(3an4)3(an1an)3d.根據(jù)等差數(shù)列的定義，數(shù)列bn是等差數(shù)列.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式例2(1)在等差數(shù)列an中，已知a510，a1231，求通項(xiàng)公式an.(2)已知數(shù)列an為等差數(shù)列a3，a7，求a15的值解(1)a510，a1231，則an2(n1)33n5通項(xiàng)公式an3n5.(nN*)(2)法一：由得解得a1，d.a15a1(151)d14().法二：由a7a3(73)d，即4d，解得d.a15a3(153)d12().類題通法1應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求a1和d，運(yùn)用了方程的思想一般地，可由ama，anb，得求出a1和d，從而確定通項(xiàng)公式2若已知等差數(shù)列中的任意兩項(xiàng)am，an，求通項(xiàng)公式或其他項(xiàng)時(shí)，則運(yùn)用aman(mn)d則較為簡(jiǎn)捷活學(xué)活用2(1)求等差數(shù)列8,5,2，的第20項(xiàng)；(2)401是不是等差數(shù)列5，9，13，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解：(1)由a18，d583，n20，得a208(201)(3)49.(2)由a15，d9(5)4，得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an54(n1)4n1，由題意知，4014n1.得n100，即401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)等差中項(xiàng)例3已知等差數(shù)列an，滿足a2a3a418，a2a3a466.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解在等差數(shù)列an中， a2a3a418，3a318，a36.解得或當(dāng)時(shí)，a116，d5.ana1(n1)d16(n1)(5)5n21.當(dāng)時(shí)，a14，d5.ana1(n1)d4(n1)55n9.類題通法三數(shù)a，b，c成等差數(shù)列的條件是b(或2bac)，可用來進(jìn)行等差數(shù)列的判定或有關(guān)等差中項(xiàng)的計(jì)算問題如若證an為等差數(shù)列，可證2an1anan2(nN*)活學(xué)活用3(1)已知數(shù)列8，a,2，b，c是等差數(shù)列，則a，b，c的值分別為_，_，_.(2)已知數(shù)列an滿足an1an12an(n2)，且a25，a513，則a8_. 解析：(1)因?yàn)?，a,2，b，c是等差數(shù)列，所以(2)由an1an1 2an (n2)知，數(shù)列an是等差數(shù)列，a2，a5，a8成等差數(shù)列a2a82a5，a82a5a2213521.答案：(1)514(2)21典例已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，且a1126，a5154，求a14的值你能判斷該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始為正數(shù)嗎？解由等差數(shù)列ana1(n1)d列方程組：解得a144613220an46(n1)22n48令an0，即2n480n24.從第25項(xiàng)開始，各項(xiàng)為正數(shù)易錯(cuò)防范1忽略了對(duì)“從第幾項(xiàng)開始為正數(shù)”的理解，誤認(rèn)為n24也滿足條件2由通項(xiàng)公式計(jì)算時(shí)，易把公式寫成ana1nd，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤成功破障一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差d0，從第10項(xiàng)起每一項(xiàng)都大于1，求公差d的范圍解：設(shè)等差數(shù)列為an，由d0，知a1a2a9a10a11，依題意，有即解得d，即公差d的取值范圍是.隨堂即時(shí)演練1已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a12，公差d3，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()Aan3n1Ban2n1Can2n3 Dan3n2解析：選Aana1(n1)d2(n1)33n1.2等差數(shù)列的前3項(xiàng)依次是x1，x1,2x3，則其通項(xiàng)公式為()Aan2n5 B.an2n3Can2n1 Dan2n1解析：選Bx1，x1,2x3是等差數(shù)列的前3項(xiàng)，2(x1)x12x3，解得x0.a1x11，a21，a33，d2，an12(n1)2n3.3等差數(shù)列的第3項(xiàng)是7，第11項(xiàng)是1，則它的第7項(xiàng)是_解析：設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，由a37，a111得，a12d7，a110d1，所以a19，d1，則a73.答案：34已知：1，x，y,10構(gòu)成等差數(shù)列，則x，y的值分別為_解析：由已知，x是1和y的等差中項(xiàng)，即2x1y，y是x和10的等差中項(xiàng)，即2yx10 ，由，可解得x4，y7.答案：4,75在等差數(shù)列an中，(1)已知a51，a82，求a1與d；(2)已知a1a612，a47，求a9.解：(1)由題意，知解得(2)由題意，知解得an12(n1)2n1.a929117.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1在等差數(shù)列an中，a30，a72a41，則公差d等于()A2BC. D2解析：選B由題意，得解得 2設(shè)x是a與b的等差中項(xiàng)，x2是a2與b2的等差中項(xiàng)，則a，b的關(guān)系是()Aab B.a3bCab或a3b Dab0解析：選C由等差中項(xiàng)的定義知：x，x2，2，即a22ab3b20.故ab或a3b.3若等差數(shù)列an中，已知a1，a2a54，an35，則n()A50 B.51C52 D53解析：選D依題意，a2a5a1da14d4，代入a1，得d.所以ana1(n1)d(n1)n，令an35，解得n53.4在數(shù)列an中，a11，an1an1，則a2 012等于()A2 009 B.2 010C2 011 D2 012解析：選D由于an1an1，則數(shù)列an是等差數(shù)列，且公差d1，則ana1(n1)dn，故a2 0122 012.5下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()(1)若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2一定成等差數(shù)列；(2)若a，b，c成等差數(shù)列，則2a,2b,2c可能成等差數(shù)列；(3)若a，b，c成等差數(shù)列，則ka2，kb2，kc2一定成等差數(shù)列；(4)若a，b，c成等差數(shù)列，則，可能成等差數(shù)列A4個(gè) B.3個(gè)C2個(gè) D1個(gè)解析：選B對(duì)于(1)取a1，b2，c3a21，b24，c29，(1)錯(cuò)對(duì)于(2)abc2a2b2c，(2)正確；對(duì)于(3)a，b，c成等差數(shù)列，ac2b.(ka2)(kc2)k(ac)42(kb2)，(3)正確；對(duì)于(4)，abc0，(4)正確綜上可知選B.二、填空題6已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，a1和a3是方程x28x70的兩根，則它的通項(xiàng)公式是_解析：解方程x28x70得x11，x27.數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a11，a37.公差d3.ana1(n1)d3n2.答案：an3n27等差數(shù)列1，3，7，的通項(xiàng)公式為_，a20_.解析：d314，a11，an14(n1)4n5.a2080575.答案：an4n5758數(shù)列an是等差數(shù)列，且anan2n，則實(shí)數(shù)a_.解析：an是等差數(shù)列，an1an常數(shù)a(n1)2(n1)(an2n)2ana1常數(shù)2a0，a0.答案：0三、解答題9在等差數(shù)列an中，已知a1112，a2116，這個(gè)數(shù)列在450到600之間共有多少項(xiàng)？解：由題意，得da2a11161124，所以ana1(n1)d1124(n1)4n108.令450an600，解得85.5n123，又因?yàn)閚為正整數(shù)，故有38項(xiàng)10數(shù)列an滿足a11，1(nN*)(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：(1)證明：由1，可得2，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知1(n1)22n1，an.第二課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例1(1)已知an為等差數(shù)列，a3a4a5a6a7450.求a2a8的值(2)(xx江西高考)設(shè)數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列若a1b17，a3b321，則a5b5_.(1)解a3a4a5a6a7450，由等差數(shù)列的性質(zhì)知：a3a7a4a62a5.5a5450.a590.a2a82a5180.(2)解析法一：設(shè)數(shù)列an，bn的公差分別為d1，d2，因?yàn)閍3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21，所以d1d27，所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212735.法二：數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，數(shù)列anbn也構(gòu)成等差數(shù)列，2(a3b3)(a1b1)(a5b5)2217a5b5a5b535.答案35類題通法1利用通項(xiàng)公式時(shí)，如果只有一個(gè)等式條件，可通過消元把所有的量用同一個(gè)量表示2本題的求解主要用到了等差數(shù)列的以下性質(zhì)：若mnpq，則amanapaq.對(duì)于此性質(zhì)，應(yīng)注意：必須是兩項(xiàng)相加等于兩項(xiàng)相加，否則不一定成立例如，a15a7a8，但a6a9a7a8；a1a21a22，但a1a212a11.活學(xué)活用1(1)已知an為等差數(shù)列，a158，a6020，則a75_.(2)如果等差數(shù)列an中，a3a4a512，那么a1a2a7()A14B21C28 D35解析：法一：因?yàn)閍n為等差數(shù)列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差數(shù)列，其公差為d，a15為首項(xiàng)，則a60為其第四項(xiàng)，所以a60a153d，得d4.所以a75a60da7524.法二：因?yàn)閍15a114d，a60a159d，所以解得故a75a174d7424.(2)a3a4a512，3a412，則a44，又a1a7a2a6a3a52a4，故a1a2a77a428.故選C.答案：(1)24(2)C靈活設(shè)元求解等差數(shù)列例2(1)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的6倍，求這三個(gè)數(shù)(2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為8，求這四個(gè)數(shù)解(1)設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為ad，a，ad，則解得這三個(gè)數(shù)為4,3,2.(2)法一：設(shè)這四個(gè)數(shù)為a3d，ad，ad，a3d(公差為2d)，依題意，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，d21，d1或d1.又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d0，d1，故所求的四個(gè)數(shù)為2,0,2,4.法二：若設(shè)這四個(gè)數(shù)為a，ad，a2d，a3d(公差為d)，依題意，2a3d2，且a(a3d)8，把a(bǔ)1d代入a(a3d)8，得(1d)(1d)8，即1d28，化簡(jiǎn)得d24，所以d2或2.又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d0，所以d2，a2.故所求的四個(gè)數(shù)為2,0,2,4.類題通法常見設(shè)元技巧(1)某兩個(gè)數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個(gè)數(shù)且知其和，可設(shè)這兩個(gè)數(shù)為：ad，ad，公差為2d；(2)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：ad，a，ad，公差為d；(3)四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)成a3d，ad，ad，a3d，公差為2d.活學(xué)活用2已知成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)，四個(gè)數(shù)之和為26，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之積為40，求這個(gè)等差數(shù)列解：設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為a3d，ad，ad，a3d.由題設(shè)知解得或這個(gè)數(shù)列為2,5,8,11或11,8,5,2.等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例3某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年獲利200萬元，從第2年起由于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)等方面的原因，利潤(rùn)每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營(yíng)策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？解由題意可知，設(shè)第1年獲利為a1，第n年獲利為an，則anan120，(n2，nN*)，每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列an，且首項(xiàng)a1200，公差d20，所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若an0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損，由an20n2200，解得n11，即從第12年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損類題通法1在實(shí)際問題中，若涉及一組與順序有關(guān)的數(shù)的問題，可考慮利用數(shù)列方法解決，若這組數(shù)依次成直線上升或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決2在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問題時(shí)，一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵量活學(xué)活用3九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為()A1升B.升C.升D.升解析：選B設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，則有即解得則a5a14d，故第5節(jié)的容積為升隨堂即時(shí)演練1已知等差數(shù)列an，則使數(shù)列bn一定為等差數(shù)列的是()AbnanBbnaCbn Dbn解析：選A數(shù)列an是等差數(shù)列，an1and(常數(shù))對(duì)于A：bn1bnanan1d，正確；對(duì)于B不一定正確，如數(shù)列ann，則bnan2，顯然不是等差數(shù)列；對(duì)于C、D：及不一定有意義，故選A.2(xx遼寧高考)在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則a2a10()A12 B.16C20 D24解析：選B因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，所以a2a10a4a816.3已知數(shù)列an中，a510，a1231，則其公差d_.解析：d3.答案：34在等差數(shù)列