2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列學(xué)案 新人教A版必修5.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列學(xué)案 新人教A版必修5第一課時數(shù)列的概念與通項公式數(shù)列的概念提出問題觀察下列示例，回答后面問題(1)正整數(shù)1,2,3,4,5,6的倒數(shù)依次是1，.(2)2的1次冪，2次冪，3次冪、4次冪依次是2,4，8,16.(3)人們在1740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出這顆彗星每隔83年出現(xiàn)一次，那么從發(fā)現(xiàn)那次算起，這顆彗星出現(xiàn)的年份依次為：1740,1823,1906,1989,2072，.(4)“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的意思為：一尺長的木棒，每日取其一半，永遠(yuǎn)也取不完如果將“一尺之棰”視為1份，那么每日剩下的部分依次分為：，.問題：觀察上面4個例子，它們都涉及到了一些數(shù)，這些數(shù)的呈現(xiàn)有什么特點？提示：按照一定的順序排列導(dǎo)入新知數(shù)列的概念(1)定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列(2)項：數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項a1稱為數(shù)列an的第1項(或稱為首項)，a2稱為第2項，an稱為第n項(3)數(shù)列的表示：數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，an簡記為an化解疑難1數(shù)列的定義中要把握兩個關(guān)鍵詞：“一定順序”與“一列數(shù)”也就是說構(gòu)成數(shù)列的元素是“數(shù)”，并且這些數(shù)是按照“一定順序”排列著的，即確定的數(shù)在確定的位置2項an與序號n是不同的，數(shù)列的項是這個數(shù)列中的一個確定的數(shù)，而序號是指項在數(shù)列中的位次3an與an是不同概念：an表示數(shù)列a1，a2，a3，an，；而an表示數(shù)列an中的第n項.數(shù)列的分類提出問題問題：觀察上面4個例子中對應(yīng)的數(shù)列，它們的項數(shù)分別是多少？這些數(shù)列中從第2項起每一項與它前一項的大小關(guān)系又是怎樣的？提示：數(shù)列1中有6項，數(shù)列2中有4項，數(shù)列3、4有無窮多項；數(shù)列1中每一項都小于它的前一項，數(shù)列2中的項大小不確定，數(shù)列3中每一項都大于它的前一項，數(shù)列4中每一項都小于它的前一項導(dǎo)入新知分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項相等的數(shù)列擺動數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列化解疑難在寫數(shù)列時，對于有窮數(shù)列，要把末項寫出例如，數(shù)列1,2,3,4，100.表示有窮數(shù)列但是如果把數(shù)列寫成1,2,3,4，100，就表示無窮數(shù)列.數(shù)列的通項公式提出問題問題：仍然觀察上面4個例子，你能否發(fā)現(xiàn)這些數(shù)列中，每一項與這一項的項數(shù)之間存在著某種關(guān)系？這種關(guān)系是否可以表示為一個公式？提示：每一項與這一項的項數(shù)間存在一定的關(guān)系，有些可用公式表示，有些不能用公式表示導(dǎo)入新知數(shù)列的通項公式如果數(shù)列an的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么就把這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式化解疑難1數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集N*或它的有限子集1,2,3，n為定義域的函數(shù)解析式2同所有的函數(shù)關(guān)系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項公式數(shù)列的概念及分類例1已知下列數(shù)列：(1)0,0,0,0,0,0；(2)0，1,2，3,4，5，；(3)0，；(4)1,0.2,0.22,0.23，；(5)0，1,0，cos，.其中，有窮數(shù)列是_，無窮數(shù)列是_，遞增數(shù)列是_，遞減數(shù)列是_，常數(shù)列是_，擺動數(shù)列是_(填序號)解析(1)是常數(shù)列且是有窮數(shù)列；(2)是無窮擺動數(shù)列；(3)是無窮遞增數(shù)列(因為1)；(4)是無窮遞減數(shù)列；(5)是無窮擺動數(shù)列答案(1)(2)(3)(4)(5)(3)(4)(1)(2)(5)類題通法判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，只需考察數(shù)列是有限項還是無限項若數(shù)列含有限項，則是有窮數(shù)列，否則為無窮數(shù)列而判斷數(shù)列的單調(diào)性，則需要從第2項起，觀察每一項與它的前一項的大小關(guān)系，若滿足an<an1，則是遞增數(shù)列；若滿足an>an1，則是遞減數(shù)列；若滿足anan1，則是常數(shù)列；若an與an1的大小不確定時，則是擺動數(shù)列活學(xué)活用1給出下列數(shù)列：(1)xxxx年某市普通高中生人數(shù)(單位：萬人)構(gòu)成數(shù)列82,93,105,119,129,130,132,135.(2)無窮多個構(gòu)成數(shù)列，.(3)2的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，構(gòu)成數(shù)列2,4，8,16，32，.(4)精確到1,0.1,0.01,0.001，的不足近似值與過剩近似值分別構(gòu)成數(shù)列1,1.4,1.41,1.414，；2,1.5,1.42,1.415，.指出其中哪些是有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列？解：有窮數(shù)列有：82,93,105,119,129,130,132,135；無窮數(shù)列有：，；2,4，8,16，32，；1,1.4,1.41,1.414，；2,1.5,1.42,1.415，.遞增數(shù)列有：82,93,105,119,129,130,132,135；1,1.4,1.41,1.414，.遞減數(shù)列有：2,1.5,1.42,1.415，.常數(shù)列有：，.擺動數(shù)列有：2,4，8,16，32，.由數(shù)列的前幾項求通項公式例2寫出下列數(shù)列的一個通項公式：(1)，2，8，；(2)9,99,999,9 999，；(3)，；(4)，；解(1)數(shù)列的項，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將各項都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：，所以，它的一個通項公式為an(nN*)(2)各項加1后，變?yōu)?0,100,1 000,10 000，此數(shù)列的通項公式為10n，可得原數(shù)列的通項公式為an10n1.(3)數(shù)列中每一項由三部分組成，分母是從1開始的奇數(shù)列，可用2n1表示；分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方，可用(n1)2表示，分子的后一部分是減去一個自然數(shù)，可用n表示，綜上，原數(shù)列的通項公式為an(nN*)(4)這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式是an(1)n.類題通法此類問題雖無固定模式，但也有規(guī)律可循，主要靠觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法具體方法為：分式中分子、分母的特征；相鄰項的變化特征；拆項后的特征；各項的符號特征和絕對值特征；化異為同對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系活學(xué)活用2寫出下列數(shù)列的一個通項公式：(1)0,3,8,15,24，；(2)1，3,5，7,9，；(3)1，2，3，4，；(4)1,11,111,1 111，.解：(1)觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到011,341，891,15161,24251，所以它的一個通項公式是ann21.(2)數(shù)列各項的絕對值為1,3,5,7,9，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負(fù)，所以它的一個通項公式為an(1)n1(2n1)(3)此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4，恰好是序號n，分?jǐn)?shù)部分與序號n的關(guān)系為，故所求的數(shù)列的一個通項公式為ann.(4)原數(shù)列的各項可變?yōu)?，99，999，9 999，易知數(shù)列9,99,999,9 999，的一個通項公式為an10n1.所以原數(shù)列的一個通項公式為an(10n1).通項公式的簡單應(yīng)用例3已知數(shù)列an的通項公式是an.(1)寫出該數(shù)列的第4項和第7項；(2)試判斷和是否是該數(shù)列中的項？若是，求出它是第幾項；若不是，說明理由解(1)由通項公式an可得a4，a7.(2)令，得n29，所以n3(n3舍去)，故是該數(shù)列中的項，并且是第3項；令，得n2，所以n，由于都不是正整數(shù)，因此不是數(shù)列中的項類題通法1數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項2判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項，需先假定它是數(shù)列中的項，列方程求解若方程的解為正整數(shù)，則該數(shù)值是數(shù)列的項；若方程無解或解不是正整數(shù)，則該數(shù)值不是此數(shù)列的項活學(xué)活用3已知數(shù)列an的通項公式為anqn，且a4a272.(1)求實數(shù)q的值；(2)判斷81是否為此數(shù)列中的項解：(1)由題意知q4q272q29或q28(舍去)，q3.(2)當(dāng)q3時，an3n，顯然81不是此數(shù)列中的項；當(dāng)q3時，an(3)n，令(3)n8134，也無解81不是此數(shù)列中的項典例已知數(shù)列an的通項公式為ann25n4.求n為何值時，an有最小值？并求出最小值解ann25n42，可知對稱軸方程為n2.5.又nN*，故n2或3時，an有最小值，其最小值為a2a3225242.易錯防范1忽視了借助二次函數(shù)求最值，而認(rèn)為當(dāng)n1時取得最小值2由an2知n取最小值，忽視nN*.3在用函數(shù)的有關(guān)知識解決數(shù)列問題時，要注意它的定義域是N*(或它的有限子集1,2,3，n)這一約束條件成功破障求數(shù)列2n29n3中的最大項解：已知2n29n322，由于n為正整數(shù)，故當(dāng)n2時，取得最大值為13，所以數(shù)列2n29n3中的最大項為第二項，為13.隨堂即時演練1將正整數(shù)的前5個數(shù)排列如下：1,2,3,4,5；5,4,3,2,1；2,1,5,3,4；4,1,5,3,2.那么可以稱為數(shù)列的有()ABC D解析：選D數(shù)列是按“一定順序”排列著的一列數(shù)因此選D.注意此題易錯選B.2在數(shù)列1,0，中，0.08是它的()A第100項 B.第12項C第10項 D第8項解析：選Can，令0.08，解得n10或n(舍去)3若數(shù)列an的通項公式是an32n，則a2n_，_.解析：根據(jù)通項公式我們可以求出這個數(shù)列的任意一項an32n，a2n322n34n，.答案：34n4若數(shù)列an的通項滿足n2，那么15是這個數(shù)列的第_項解析：由n2可知，ann22n，令n22n15，得n5.答案：55已知：an，(1)求a3；(2)若an，求n.解：(1)將n3代入an，得a3.(2)將an代入an，得，解得n8.課時達(dá)標(biāo)檢測一、選擇題1下面有四個結(jié)論，其中敘述正確的有數(shù)列的通項公式是唯一的；數(shù)列可以看做是一個定義在正整數(shù)集或其子集上的函數(shù)；數(shù)列若用圖象表示，它是一群孤立的點；每個數(shù)列都有通項公式()ABC D解析：選B數(shù)列的通項公式不唯一，有的數(shù)列沒有通項公式，所以不正確2數(shù)列的通項公式為an則a2a3等于()A70 B.28C20 D8解析：選C由an得a22，a310，所以a2a320.3數(shù)列1,3，7,15，的一個通項公式可以是()Aan(1)n(2n1)Ban(1)n(2n1)Can(1)n1(2n1)Dan(1)n1(2n1)解析：選A數(shù)列各項正、負(fù)交替，故可用(1)n來調(diào)節(jié)，又1211,3221,7231,15241，所以通項公式為an(1)n(2n1)4(xx宿州高二檢測)已知數(shù)列an的通項公式是an，那么這個數(shù)列是()A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C常數(shù)列 D擺動數(shù)列解析：選Aan1，當(dāng)n越大，越小，則an越大，故該數(shù)列是遞增數(shù)列5下列命題：已知數(shù)列an，an(nN*)，那么是這個數(shù)列的第10項，且最大項為第一項數(shù)列，2，的一個通項公式是an.已知數(shù)列an，ankn5，且a811，則a1729.已知an1an3，則數(shù)列an是遞增數(shù)列其中正確命題的個數(shù)為()A4個 B.3個C2個 D1個解析：選A對于，令ann10，易知最大項為第一項正確對于，數(shù)列，2，變?yōu)椋琣n，正確；對于，ankn5，且a811k2an2n5a1729.正確；對于，由an1an30，易知正確二、填空題6已知數(shù)列an的通項公式為an，那么是它的第_項解析：令，解得n4(n5舍去)，所以是第4項答案：47已知數(shù)列an的前4項為11,102,1 003,10 004，則它的一個通項公式為_解析：由于11101,1021022,1 0031033，10 0041044，所以該數(shù)列的一個通項公式是an10nn.答案：an10nn.8(xx福州高二檢測)已知數(shù)列an的通項公式是ann28n12，那么該數(shù)列中為負(fù)數(shù)的項一共有_項解析：令ann28n120，解得2n6，又因為nN*，所以n3,4,5，一共有3項答案：3三、解答題9求下列數(shù)列的一個可能的通項公式：(1)1，1,1，1，；(2)1,10,2,11,3,12，；(3)1，1，1，1，.解：(1)an(1)n1或an(2)an或an.(3)an1(1)n1.10在數(shù)列an中，a12，a1766，通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求a2 013；(3)2 014是否為數(shù)列an中的項？解：(1)設(shè)anknb(k0)，則有解得k4，b2.an4n2.(2)a2 01342 01328 050.(3)令2 0144n2，解得n504N*，2 014是數(shù)列an的第504項第二課時數(shù)列的通項公式與遞推公式數(shù)列的遞推關(guān)系提出問題某劇場有30排座位，第一排有20個座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個座位(如圖)問題1：寫出前五排座位數(shù)提示：20,22,24,26,28.問題2：第n排與第n1排座位數(shù)有何關(guān)系？提示：第n1排比第n排多2個座位問題3：第n排座位數(shù)an與第n1排座位數(shù)an1能用等式表示嗎？提示：能an1an2.導(dǎo)入新知如果已知數(shù)列an的第一項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項an1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式化解疑難1數(shù)列的遞推公式是給出數(shù)列的另一重要形式，由遞推公式可以依次求出數(shù)列的各項2有些數(shù)列的通項公式與遞推公式可以相互轉(zhuǎn)化，如數(shù)列1,3,5，2n1，的一個通項公式為an2n1(nN*)用遞推公式表示為a11，anan12(n2，nN*)數(shù)列的表示方法例1根據(jù)數(shù)列an的通項公式，把下列數(shù)列用圖象表示出來(n5，且nN*)(1)an(1)n2；(2)an.解(1)數(shù)列an的前5項依次是1,3,1,3,1，圖象如下圖所示(2)數(shù)列an的前5項依次是2，圖象如下圖所示類題通法通項公式法、列表法與圖象法表示數(shù)列優(yōu)點(1)用通項公式表示數(shù)列，簡潔明了，便于計算公式法是常用的數(shù)學(xué)方法(2)列表法的優(yōu)點是不經(jīng)過計算，就可以直接看出項數(shù)與項的對應(yīng)關(guān)系(3)圖象能直觀形象地表示出隨著序號的變化，相應(yīng)項變化的趨勢活學(xué)活用1一輛郵車每天從A地往B地運送郵件，沿途(包括A，B)共有8站，從A地出發(fā)時，裝上發(fā)往后面7站的郵件各一個，到達(dá)各站后卸下前面各站發(fā)往該站的郵件，同時裝上該站發(fā)往后面各站的郵件各一個試用列表法表示郵車在各站裝卸完畢后剩余郵件個數(shù)所成的數(shù)列解：將A，B之間所有站按序號1,2,3,4,5,6,7,8編號通過計算，各站裝卸完畢后剩余郵件個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列7,12,15,16,15,12,7,0，如下表：站號(n)12345678剩余郵件數(shù)(an)7121516151270由遞推公式求數(shù)列中的項例2已知數(shù)列an的第一項a11，以后的各項由公式an1給出，試寫出這個數(shù)列的前5項解a11，an1，a2，a3，a4，a5.故該數(shù)列的前5項為1，.類題通法根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，要弄清楚公式中各部分的關(guān)系，依次代入計算即可另外，解答這類問題時還需注意：若知道的是首項，通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式；若知道的是末項，通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式活學(xué)活用2已知數(shù)列an中，a11，a22，以后各項由anan1an2(n3)給出(1)寫出此數(shù)列的前5項；(2)通過公式bn構(gòu)造一個新的數(shù)列bn，寫出數(shù)列bn的前4項解：(1)anan1an2(n3)，且a11，a22，a3a2a13，a4a3a2325，a5a4a3538.故數(shù)列an的前5項依次為a11，a22，a33，a45，a58.(2)bn，且a11，a22，a33，a45，a58，b1，b2，b3，b4.故b1，b2，b3，b4.由遞推公式歸納數(shù)列的通項公式例3已知數(shù)列an的第1項是2，以后的各項由公式an(n2,3,4，)給出，寫出這個數(shù)列的前5項，并歸納出數(shù)列an的通項公式解可依次代入項數(shù)進(jìn)行求值a12，a22，a3，a4，a5.即數(shù)列an的前5項為2，2，.也可寫為，.即分子都是2，分母依次加2，且都是奇數(shù)，所以an(nN*)類題通法根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，然后由前幾項分析其特點、規(guī)律，歸納總結(jié)出數(shù)列的一個通項公式活學(xué)活用3已知數(shù)列an滿足a11，anan1(n2)，寫出該數(shù)列前5項，并歸納出它的一個通項公式解：a11，a2a11，a3a2，a4a3，a5a4.故數(shù)列的前5項分別為1，.由于1，故數(shù)列an的一個通項公式為an2.遞推公式和通項公式是數(shù)列的兩種表示方法，它們都可以確定數(shù)列中的任意一項，只是由遞推公式確定數(shù)列中的項時，不如通項公式直接，下面介紹由遞推數(shù)列求通項公式的兩種方法【角度一】累加法對于數(shù)列an若滿足an1anf(n)時，需用累加法，即an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1來求an.例1已知a11，an1an2，求數(shù)列an的一個通項公式解a11，an1an2，a2a12，a3a22，a4a32，anan12(n2)，將這些式子的兩邊分別相加，(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2(n1)，即ana12(n1)，又a11，an2n1(n2)，當(dāng)n1時，a11也滿足上式，故數(shù)列an的一個通項公式為an2n1.【角度二】累乘法對于數(shù)列an若滿足f(n)時，需用累乘法，即ana1來求an.例2已知數(shù)列an中，a12，an13an(nN*)，求數(shù)列an的通項公式解由an13an得3.因此可得3，3，3，3.將上面的n1個式子相乘可得3n1.即3n1，所以ana13n1，又a12，故an23n1.隨堂即時演練1符合遞推關(guān)系式anan1的數(shù)列是()A1,2,3,4，B1，2,2，C.，2，2， D0，2,2，解析：選BB中從第二項起，后一項是前一項的倍，符合遞推公式anan1.2數(shù)列，的遞推公式可以是()Aan(nN*) B.an(nN*)Can1an(nN*) Dan12an(nN*)解析：選C數(shù)列從第二項起，后一項是前一項的，故遞推公式為an1an(nN*)3已知a11，an1(n2)，則a5_.解析：由a11，an1得a22，a3，a4，a5.答案：4已知數(shù)列an滿足a1>0，(nN*)，則數(shù)列an是_數(shù)列(填“遞增”或“遞減”)解析：由已知a1>0，an1an(nN*)，得an>0(nN*)又an1anananan<0，所以an是遞減數(shù)列答案：遞減5已知數(shù)列an的通項公式為an，寫出它的前5項，并判斷該數(shù)列的單調(diào)性解：對于公式an，依次取n1,2,3,4,5，得到數(shù)列的前5項為a1，a2，a3，a4，a5.而an1an.因為nN*，所以1n2n0，所以an1an0，即an1an.故該數(shù)列為遞減數(shù)列課時達(dá)標(biāo)檢測一、選擇題1已知an1an30，則數(shù)列an是()A遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列C常數(shù)列 D不能確定解析：選Aan1an30，故數(shù)列an為遞增數(shù)列2數(shù)列an中an1an2an，a12，a25，則a5 ()A3 B.11C5 D19解析：選D由an1an2an得an2anan1，由于a3a1a27，a4a2a312，a5a3a419.3在數(shù)列an中，a1，an(1)n2an1(n2)，則a5等于()AB.CD.解析：選Ba1，an(1)n2an1，a2(1)22，a3(1)32，a4(1)42，a5(1)52.4已知數(shù)列an對任意的p，qN*滿足apqapaq，且a26，那么a10等于()A165 B.33C30 D21解析：選C由已知得a2a1a12a16，a13.a102a52(a2a3)2a22(a1a2)4a22a14(6)2(3)30.5已知在數(shù)列an中，a13，a26，且an2an1an，則a2 012()A3 B.3C6 D6解析：選C由題意知：a3a2a13，a4a3a23，a5a4a36，a6a5a43，a7a6a53，a8a7a66，a9a8a73，a10a9a83故知an是周期為6的數(shù)列，a2 012a26.二、填空題6數(shù)列an中，an1ann0，則a2 012a2 011_.解析：an1ann0，a2 012a2 0112 0110，a2 012a2 0112 011.答案：2 0117已知數(shù)列an，ananm(a0，nN*)，滿足a12，a24，則a3_.解析：an(1)n3，a3(1)332.答案：28已知對于任意的正整數(shù)n，ann2n.若數(shù)列an是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是_解析：an是遞增數(shù)列，an1an(n1)2(n1)n2n2n10對于任意的正整數(shù)n恒成立，即 2n1對于任意的正整數(shù)n恒成立，3.答案：3三、解答題9已知數(shù)列an中，a11，an1an.(1)寫出數(shù)列an的前5項；(2)猜想數(shù)列an的通項公式；(3)畫出數(shù)列an的圖象解：(1)a11，a21，a3，a4，a5.(2)猜想：an.(3)圖象如圖所示：10設(shè)f(x)log2 xlogx4(0x1)，又知數(shù)列an的通項an滿足f(2an)2n.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)試判斷數(shù)列an的增減性解：(1)f(x)log2xlogx4(0x1)，f(2an)2n，log22anlog2an42n，由換底公式，得log22an2n，即an2n，a2nan20，ann.由0x1，有02an1，an0.由得ann，此即為數(shù)列an的通項公式(2)1an0，an1an，數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列_2.2等差數(shù)列第一課時等差數(shù)列等差數(shù)列的定義提出問題1有一座樓房第一層的每級臺階與地面的高度(單位：cm)依次為：16,32,48,64,80,96,112,128，320.2xx年倫敦奧運會女子舉重共設(shè)置7個級別，其中較輕的4個級別體重(單位：kg)分別為：48,53,58,63.3鞋的尺碼，按照國家規(guī)定，有：22,22.5,23,23.5,24,24.5，問題1：上面三組數(shù)構(gòu)成數(shù)列嗎？提示：構(gòu)成問題2：若上面三組數(shù)構(gòu)成數(shù)列，試觀察它們從2項起，每一項與前一項的差有什么特點？提示：等于同一常數(shù)導(dǎo)入新知等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示化解疑難1“從第2項起”是指第1項前面沒有項，無法與后續(xù)條件中“與前一項的差”相吻合2“每一項與它的前一項的差”這一運算要求是指“相鄰且后項減去前項”，強調(diào)了： 作差的順序；這兩項必須相鄰3定義中的“同一常數(shù)”是指全部的后項減去前一項都等于同一個常數(shù)，否則這個數(shù)列不能稱為等差數(shù)列.等差中項提出問題問題：觀察上面三個數(shù)列，每個數(shù)列的任意連續(xù)三項之間有什么樣的關(guān)系？提示：前一項與后一項的和是中間項的2倍導(dǎo)入新知等差中項如果三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項這三個數(shù)滿足的關(guān)系式是A.化解疑難1A是a與b的等差中項，則A或2Aab，即兩個數(shù)的等差中項有且只有一個2當(dāng)2Aab時，A是a與b的等差中項.等差數(shù)列的通項公式提出問題若一等差數(shù)列an的首項為a1，公差是d.問題1：試用a1、d表示a2、a3、a4.提示：a2a1d，a3a12d，a4a13d.問題2：由此猜想等差數(shù)列的通項公式an.提示：ana1(n1)d.導(dǎo)入新知等差數(shù)列的通項公式已知等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d遞推公式通項公式anan1d(n2)ana1(n1)d(nN*)化解疑難由等差數(shù)列的通項公式ana1(n1)d可得andn(a1d)，如果設(shè)pd，qa1d，那么anpnq，其中p，q是常數(shù)當(dāng)p0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)；當(dāng)p0時，anq，等差數(shù)列為常數(shù)列等差數(shù)列的判定與證明例1判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列(1)在數(shù)列an中an3n2；(2)在數(shù)列an中ann2n.解(1)an1an3(n1)2(3n2)3(nN*)由n的任意性知，這個數(shù)列為等差數(shù)列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常數(shù)，所以這個數(shù)列不是等差數(shù)列類題通法定義法是判定(或證明)數(shù)列an是等差數(shù)列的基本方法，其步驟為：(1)作差an1an；(2)對差式進(jìn)行變形；(3)當(dāng)an1an是一個與n無關(guān)的常數(shù)時，數(shù)列an是等差數(shù)列；當(dāng)an1an不是常數(shù)，是與n有關(guān)的代數(shù)式時，數(shù)列an不是等差數(shù)列活學(xué)活用1已知等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，數(shù)列bn中，bn3an4，問：數(shù)列bn是否為等差數(shù)列？并說明理由解：數(shù)列bn是等差數(shù)列理由：數(shù)列an是首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，an1and(nN*)bn1bn(3an14)(3an4)3(an1an)3d.根據(jù)等差數(shù)列的定義，數(shù)列bn是等差數(shù)列.等差數(shù)列的通項公式例2(1)在等差數(shù)列an中，已知a510，a1231，求通項公式an.(2)已知數(shù)列an為等差數(shù)列a3，a7，求a15的值解(1)a510，a1231，則an2(n1)33n5通項公式an3n5.(nN*)(2)法一：由得解得a1，d.a15a1(151)d14().法二：由a7a3(73)d，即4d，解得d.a15a3(153)d12().類題通法1應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式求a1和d，運用了方程的思想一般地，可由ama，anb，得求出a1和d，從而確定通項公式2若已知等差數(shù)列中的任意兩項am，an，求通項公式或其他項時，則運用aman(mn)d則較為簡捷活學(xué)活用2(1)求等差數(shù)列8,5,2，的第20項；(2)401是不是等差數(shù)列5，9，13，的項？如果是，是第幾項？解：(1)由a18，d583，n20，得a208(201)(3)49.(2)由a15，d9(5)4，得這個數(shù)列的通項公式為an54(n1)4n1，由題意知，4014n1.得n100，即401是這個數(shù)列的第100項等差中項例3已知等差數(shù)列an，滿足a2a3a418，a2a3a466.求數(shù)列an的通項公式解在等差數(shù)列an中， a2a3a418，3a318，a36.解得或當(dāng)時，a116，d5.ana1(n1)d16(n1)(5)5n21.當(dāng)時，a14，d5.ana1(n1)d4(n1)55n9.類題通法三數(shù)a，b，c成等差數(shù)列的條件是b(或2bac)，可用來進(jìn)行等差數(shù)列的判定或有關(guān)等差中項的計算問題如若證an為等差數(shù)列，可證2an1anan2(nN*)活學(xué)活用3(1)已知數(shù)列8，a,2，b，c是等差數(shù)列，則a，b，c的值分別為_，_，_.(2)已知數(shù)列an滿足an1an12an(n2)，且a25，a513，則a8_. 解析：(1)因為8，a,2，b，c是等差數(shù)列，所以(2)由an1an1 2an (n2)知，數(shù)列an是等差數(shù)列，a2，a5，a8成等差數(shù)列a2a82a5，a82a5a2213521.答案：(1)514(2)21典例已知等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，且a1126，a5154，求a14的值你能判斷該數(shù)列從第幾項開始為正數(shù)嗎？解由等差數(shù)列ana1(n1)d列方程組：解得a144613220an46(n1)22n48令an0，即2n480n24.從第25項開始，各項為正數(shù)易錯防范1忽略了對“從第幾項開始為正數(shù)”的理解，誤認(rèn)為n24也滿足條件2由通項公式計算時，易把公式寫成ana1nd，導(dǎo)致結(jié)果錯誤成功破障一個等差數(shù)列的首項為，公差d0，從第10項起每一項都大于1，求公差d的范圍解：設(shè)等差數(shù)列為an，由d0，知a1a2a9a10a11，依題意，有即解得d，即公差d的取值范圍是.隨堂即時演練1已知等差數(shù)列an的首項a12，公差d3，則數(shù)列an的通項公式為()Aan3n1Ban2n1Can2n3 Dan3n2解析：選Aana1(n1)d2(n1)33n1.2等差數(shù)列的前3項依次是x1，x1,2x3，則其通項公式為()Aan2n5 B.an2n3Can2n1 Dan2n1解析：選Bx1，x1,2x3是等差數(shù)列的前3項，2(x1)x12x3，解得x0.a1x11，a21，a33，d2，an12(n1)2n3.3等差數(shù)列的第3項是7，第11項是1，則它的第7項是_解析：設(shè)首項為a1，公差為d，由a37，a111得，a12d7，a110d1，所以a19，d1，則a73.答案：34已知：1，x，y,10構(gòu)成等差數(shù)列，則x，y的值分別為_解析：由已知，x是1和y的等差中項，即2x1y，y是x和10的等差中項，即2yx10 ，由，可解得x4，y7.答案：4,75在等差數(shù)列an中，(1)已知a51，a82，求a1與d；(2)已知a1a612，a47，求a9.解：(1)由題意，知解得(2)由題意，知解得an12(n1)2n1.a929117.課時達(dá)標(biāo)檢測一、選擇題1在等差數(shù)列an中，a30，a72a41，則公差d等于()A2BC. D2解析：選B由題意，得解得 2設(shè)x是a與b的等差中項，x2是a2與b2的等差中項，則a，b的關(guān)系是()Aab B.a3bCab或a3b Dab0解析：選C由等差中項的定義知：x，x2，2，即a22ab3b20.故ab或a3b.3若等差數(shù)列an中，已知a1，a2a54，an35，則n()A50 B.51C52 D53解析：選D依題意，a2a5a1da14d4，代入a1，得d.所以ana1(n1)d(n1)n，令an35，解得n53.4在數(shù)列an中，a11，an1an1，則a2 012等于()A2 009 B.2 010C2 011 D2 012解析：選D由于an1an1，則數(shù)列an是等差數(shù)列，且公差d1，則ana1(n1)dn，故a2 0122 012.5下列命題中正確的個數(shù)是()(1)若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2一定成等差數(shù)列；(2)若a，b，c成等差數(shù)列，則2a,2b,2c可能成等差數(shù)列；(3)若a，b，c成等差數(shù)列，則ka2，kb2，kc2一定成等差數(shù)列；(4)若a，b，c成等差數(shù)列，則，可能成等差數(shù)列A4個 B.3個C2個 D1個解析：選B對于(1)取a1，b2，c3a21，b24，c29，(1)錯對于(2)abc2a2b2c，(2)正確；對于(3)a，b，c成等差數(shù)列，ac2b.(ka2)(kc2)k(ac)42(kb2)，(3)正確；對于(4)，abc0，(4)正確綜上可知選B.二、填空題6已知數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，a1和a3是方程x28x70的兩根，則它的通項公式是_解析：解方程x28x70得x11，x27.數(shù)列an的各項均為正數(shù)，a11，a37.公差d3.ana1(n1)d3n2.答案：an3n27等差數(shù)列1，3，7，的通項公式為_，a20_.解析：d314，a11，an14(n1)4n5.a2080575.答案：an4n5758數(shù)列an是等差數(shù)列，且anan2n，則實數(shù)a_.解析：an是等差數(shù)列，an1an常數(shù)a(n1)2(n1)(an2n)2ana1常數(shù)2a0，a0.答案：0三、解答題9在等差數(shù)列an中，已知a1112，a2116，這個數(shù)列在450到600之間共有多少項？解：由題意，得da2a11161124，所以ana1(n1)d1124(n1)4n108.令450an600，解得85.5n123，又因為n為正整數(shù)，故有38項10數(shù)列an滿足a11，1(nN*)(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式解：(1)證明：由1，可得2，數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知1(n1)22n1，an.第二課時等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例1(1)已知an為等差數(shù)列，a3a4a5a6a7450.求a2a8的值(2)(xx江西高考)設(shè)數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列若a1b17，a3b321，則a5b5_.(1)解a3a4a5a6a7450，由等差數(shù)列的性質(zhì)知：a3a7a4a62a5.5a5450.a590.a2a82a5180.(2)解析法一：設(shè)數(shù)列an，bn的公差分別為d1，d2，因為a3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21，所以d1d27，所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212735.法二：數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，數(shù)列anbn也構(gòu)成等差數(shù)列，2(a3b3)(a1b1)(a5b5)2217a5b5a5b535.答案35類題通法1利用通項公式時，如果只有一個等式條件，可通過消元把所有的量用同一個量表示2本題的求解主要用到了等差數(shù)列的以下性質(zhì)：若mnpq，則amanapaq.對于此性質(zhì)，應(yīng)注意：必須是兩項相加等于兩項相加，否則不一定成立例如，a15a7a8，但a6a9a7a8；a1a21a22，但a1a212a11.活學(xué)活用1(1)已知an為等差數(shù)列，a158，a6020，則a75_.(2)如果等差數(shù)列an中，a3a4a512，那么a1a2a7()A14B21C28 D35解析：法一：因為an為等差數(shù)列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差數(shù)列，其公差為d，a15為首項，則a60為其第四項，所以a60a153d，得d4.所以a75a60da7524.法二：因為a15a114d，a60a159d，所以解得故a75a174d7424.(2)a3a4a512，3a412，則a44，又a1a7a2a6a3a52a4，故a1a2a77a428.故選C.答案：(1)24(2)C靈活設(shè)元求解等差數(shù)列例2(1)三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項之積為后一項的6倍，求這三個數(shù)(2)四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2，首末兩項的積為8，求這四個數(shù)解(1)設(shè)這三個數(shù)依次為ad，a，ad，則解得這三個數(shù)為4,3,2.(2)法一：設(shè)這四個數(shù)為a3d，ad，ad，a3d(公差為2d)，依題意，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，d21，d1或d1.又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d0，d1，故所求的四個數(shù)為2,0,2,4.法二：若設(shè)這四個數(shù)為a，ad，a2d，a3d(公差為d)，依題意，2a3d2，且a(a3d)8，把a1d代入a(a3d)8，得(1d)(1d)8，即1d28，化簡得d24，所以d2或2.又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d0，所以d2，a2.故所求的四個數(shù)為2,0,2,4.類題通法常見設(shè)元技巧(1)某兩個數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個數(shù)且知其和，可設(shè)這兩個數(shù)為：ad，ad，公差為2d；(2)三個數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：ad，a，ad，公差為d；(3)四個數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)成a3d，ad，ad，a3d，公差為2d.活學(xué)活用2已知成等差數(shù)列的四個數(shù)，四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)與第三個數(shù)之積為40，求這個等差數(shù)列解：設(shè)這四個數(shù)依次為a3d，ad，ad，a3d.由題設(shè)知解得或這個數(shù)列為2,5,8,11或11,8,5,2.等差數(shù)列的實際應(yīng)用例3某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年獲利200萬元，從第2年起由于市場競爭等方面的原因，利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？解由題意可知，設(shè)第1年獲利為a1，第n年獲利為an，則anan120，(n2，nN*)，每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列an，且首項a1200，公差d20，所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若an0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損，由an20n2200，解得n11，即從第12年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損類題通法1在實際問題中，若涉及一組與順序有關(guān)的數(shù)的問題，可考慮利用數(shù)列方法解決，若這組數(shù)依次成直線上升或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決2在利用數(shù)列方法解決實際問題時，一定要分清首項、項數(shù)等關(guān)鍵量活學(xué)活用3九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為()A1升B.升C.升D.升解析：選B設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，則有即解得則a5a14d，故第5節(jié)的容積為升隨堂即時演練1已知等差數(shù)列an，則使數(shù)列bn一定為等差數(shù)列的是()AbnanBbnaCbn Dbn解析：選A數(shù)列an是等差數(shù)列，an1and(常數(shù))對于A：bn1bnanan1d，正確；對于B不一定正確，如數(shù)列ann，則bnan2，顯然不是等差數(shù)列；對于C、D：及不一定有意義，故選A.2(xx遼寧高考)在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則a2a10()A12 B.16C20 D24解析：選B因為數(shù)列an是等差數(shù)列，所以a2a10a4a816.3已知數(shù)列an中，a510，a1231，則其公差d_.解析：d3.答案：34在等差數(shù)列