高中數(shù)學 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.4 函數(shù)的單調(diào)性學案 蘇教版必修1.doc
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函數(shù)的單調(diào)性一、考點突破1. 如何求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;2. 利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍。二、重難點提示重點:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。難點:1. 從數(shù)、形兩種角度理解函數(shù)的單調(diào)性與最值;2. 帶參函數(shù)的最值問題,如何對參數(shù)進行討論。 函數(shù)的單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量x1,x2當x1x2時,都有f(x1)f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。當x1f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的注意1. 如果函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)或單調(diào)遞減函數(shù)(兩者只能居其一),那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性。2. 在單調(diào)區(qū)間上,增函數(shù)的圖象是上升的,減函數(shù)的圖象是下降的。3. 函數(shù)單調(diào)性是針對某個區(qū)間而言的,是一個局部性質(zhì)?!痉椒ㄌ釤挕颗袛嗪瘮?shù)單調(diào)性的基本方法定義法設元,任取,且;作差;變形(通常是因式分解和配方);定號(即判斷差的正負);下結(jié)論。(即指出函數(shù)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性)示例 已知a0,函數(shù)f(x)x (x0),證明函數(shù)f(x)在(0,)上是減函數(shù),在(,)上是增函數(shù)。思路分析:可利用定義法討論函數(shù)的單調(diào)性。用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:取值作差變形確定符號下結(jié)論。答案:證明:設x1,x2是任意兩個正數(shù),且0x1x2,則f(x1)f(x2)(x1x2a)。當0x1x2時,0x1x2a,又x1x20,即,函數(shù)在(0,)上是減函數(shù)。當x1a,又 x1x20,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),函數(shù)f(x)在(,)上是增函數(shù)。例題1 若函數(shù)f(x)在(,1)上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍。思路分析:利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時,關鍵是要把參數(shù)看作已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再與已知單調(diào)區(qū)間比較求參。答案:解:f(x)a,設任意x1x20,由于x1x21,所以x1x20,x110,x210,所以a10,即a1。故實數(shù)a的取值范圍是(,1)。技巧點撥:已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的值或范圍時,可以通過解不等式或轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題求解;需注意的是,若函數(shù)在區(qū)間a,b上是單調(diào)的,則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的。例題2 設的定義域?qū)τ谌我庹龑崝?shù)恒有,且當時,(1)求的值; (2)求證:在上是增函數(shù)。思路分析:(1)求特殊點處的函數(shù)值可利用靈活賦值的方法解決。先求出的值,然后再利用2與互為倒數(shù)及求出的值。(2)由推出是解題的關鍵。答案:(1)解:令,代入到中,解得令,代入到中,又,。(2) 證據(jù):任意取,且,則:,又當時,即,在上是增函數(shù)。技巧點撥:對于抽象函數(shù)(未給出具體解析式的函數(shù))的求值問題,需要根據(jù)題目給出的已知條件進行靈活賦值,求出需要求的函數(shù)值;抽象函數(shù)單調(diào)性的證明仍然采用單調(diào)性的定義以及結(jié)合題目已知來進行?!揪C合拓展】巧用函數(shù)單調(diào)性解不等式解函數(shù)不等式問題的一般步驟:確定函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性;將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為f(M)f(N)的形式;運用函數(shù)的單調(diào)性“去掉”函數(shù)的抽象符號“f”,轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不等式組;解不等式或不等式組確定解集;【滿分訓練】已知函數(shù)若求實數(shù)的取值范圍。 思路分析:畫出函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象可看出函數(shù)的單調(diào)性,再利用單調(diào)性將不等式中的“殼”給去掉,形成關于的不等式。答案:解:畫出函數(shù)的圖象如下:由函數(shù)圖象可知,在上單調(diào)遞增,所以等價轉(zhuǎn)化為,解得。技巧點撥:利用函數(shù)單調(diào)性解不等式的關鍵:準確判斷出函數(shù)單調(diào)性,成功去掉這層外殼,把關于因變量之間的不等關系轉(zhuǎn)化為關于自變量之間的不等關系。然后,解關于的簡單不等式。- 配套講稿:
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