2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計案例 1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用同步學(xué)案 新人教A版選修1 -2.docx

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1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)習(xí)目標1.了解回歸分析的必要性及其一般步驟.2.了解隨機誤差的概念.3.會作散點圖，并會求線性回歸方程.4.利用殘差分析來判斷線性回歸模型的擬合效果.5.掌握建立回歸模型的基本步驟，并通過實例進一步學(xué)習(xí)回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用知識點一回歸分析的相關(guān)概念思考1相關(guān)關(guān)系是確定性關(guān)系嗎？函數(shù)關(guān)系呢？答案相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，而函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系思考2請問產(chǎn)生隨機誤差的主要原因有哪些？答案(1)所選用的模型不恰當(dāng)；(2)忽略了某些因素的影響；(3)存在測量誤差梳理(1)回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法若兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，則稱相應(yīng)的回歸分析為線性回歸分析(2)線性回歸方程為x，且，其中i，i，(，)稱為樣本點的中心，回歸直線一定過樣本點的中心(3)樣本點散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)ybxa來描述它們之間的關(guān)系，而是用線性回歸模型ybxae來表示，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差，自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預(yù)報變量預(yù)報變量y的值由解釋變量x和隨機誤差e共同確定，即解釋變量x只能解釋部分預(yù)報變量y的變化知識點二回歸模型的模擬效果思考如何評價回歸模型擬合效果的優(yōu)劣？答案計算相關(guān)指數(shù)R2的值，R2越接近于1，效果就越好梳理殘差把隨機誤差的估計值i稱為相應(yīng)于點(xi，yi)的殘差殘差圖作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或解釋變量的數(shù)值，這樣作出的圖形稱為殘差圖殘差圖法殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報精度越高殘差平方和殘差平方和為(yii)2，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好相關(guān)指數(shù)R2R21，R2表示解釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻率，R2越接近于1，表示回歸的效果越好1回歸方程x中的表示當(dāng)x每增加一個單位時，的變化量()2R2越大，殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；R2越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差()3散點圖是判斷兩個變量是否有相關(guān)關(guān)系的工具之一()4在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散點圖中，若所有點(xi，yi)(i1,2，n)都在直線yx1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為1.()5回歸直線x不一定過點(，)()類型一線性回歸方程的求解例1現(xiàn)有某高新技術(shù)企業(yè)年研發(fā)費用投入x(百萬元)與企業(yè)年利潤y(百萬元)之間具有線性相關(guān)關(guān)系，近5年的年科研費用和年利潤具體數(shù)據(jù)如下表：年科研費用x(百萬元)12345企業(yè)所獲利潤y(百萬元)23447(1)畫出散點圖；(2)求y對x的線性回歸方程考點回歸分析題點建立回歸模型的基本步驟解(1)散點圖如下圖所示：(2)由題意可知，3，4，iyi122334445771，122232425255，根據(jù)公式，可求得1.1，41.130.7，故所求線性回歸方程為1.1x0.7.引申探究在例1基礎(chǔ)上，試估計當(dāng)x10時，企業(yè)所獲利潤為多少？解依上例得1.1x0.7，將x10代入，得11.7(百萬元)故估計企業(yè)所獲利潤為11.7百萬元反思與感悟(1)求線性回歸方程的基本步驟列出散點圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系計算：，iyi.代入公式求出x中參數(shù)，的值寫出線性回歸方程并對實際問題作出估計(2)需特別注意的是，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸方程才有實際意義，否則求出的回歸方程毫無意義跟蹤訓(xùn)練1假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：x23456y2.23.85.56.57.0由此資料可知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系(1)求線性回歸方程；(2)求使用年限為10年時，該設(shè)備的維修費用為多少？考點線性回歸方程題點求線性回歸方程解(1)由上表中的數(shù)據(jù)可得4，5，90，iyi112.3，1.23，51.2340.08.線性回歸方程為1.23x0.08.(2)當(dāng)x10時，1.23100.0812.38.即使用年限為10年時，該設(shè)備的維修費用為12.38萬元類型二回歸模型的效果例2某運動員訓(xùn)練次數(shù)與運動員成績之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下：編號12345678次數(shù)(x)3033353739444650成績(y)3034373942464851(1)作出散點圖；(2)求出線性回歸方程；(3)作出殘差圖，并說明模型的擬合效果；(4)計算R2，并說明其含義考點殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用解(1)該運動員訓(xùn)練次數(shù)(x)與成績(y)之間的散點圖如圖所示(2)可求得39.25，40.875，12656，iyi13180，1.0415，0.003875，線性回歸方程為1.0415x0.003875.(3)作殘差圖如圖所示，由圖可知，殘差點比較均勻地分布在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適(4)R210.9855，說明了該運動員成績差異有98.55%是由訓(xùn)練次數(shù)引起的反思與感悟(1)該類題屬于線性回歸問題，解答本題應(yīng)先通過散點圖來分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關(guān)指數(shù)R2來分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上，借助回歸方程對實際問題進行分析(2)刻畫回歸效果的三種方法殘差圖法，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適殘差平方和法：殘差平方和(yii)2越小，模型的擬合效果越好相關(guān)指數(shù)法：R21越接近1，表明回歸的效果越好跟蹤訓(xùn)練2(1)甲、乙、丙、丁4位同學(xué)各自對A，B兩變量進行回歸分析，分別得到散點圖與殘差平方和(yii)2如下表：甲乙丙丁散點圖殘差平方和115106124103則_同學(xué)的試驗結(jié)果體現(xiàn)擬合A，B兩變量間關(guān)系的模型的擬合效果最好考點殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用答案丁解析殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，因丁對應(yīng)的殘差平方和最小，故丁所對應(yīng)的模型擬合效果最好(2)關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)：x24568y3040605070現(xiàn)有兩個線性模型：(1)6.5x17.5；(2)7x17.試比較哪一個擬合效果更好考點殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用解由(1)可得yii與yi的關(guān)系如下表：yii0.53.5106.50.5yi201010020(yii)2(0.5)2(3.5)2102(6.5)20.52155，(yi)2(20)2(10)2102022021000.R110.845.由(2)可得yii與yi的關(guān)系如下表：yii15893yi201010020(yii)2(1)2(5)282(9)2(3)2180，(yi)2(20)2(10)2102022021000.R110.82.由于R0.845，R0.82,0.8450.82，RR.(1)的擬合效果好于(2)的擬合效果.1設(shè)回歸方程為73x，當(dāng)變量x增加兩個單位時()Ay平均增加3個單位By平均減少3個單位Cy平均增加6個單位Dy平均減少6個單位考點線性回歸分析題點回歸直線的概念答案D解析因為兩個相關(guān)變量為負相關(guān)關(guān)系2已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程x必過點()A(2,2) B(1,2)C(1.5,0) D(1.5,4)考點線性回歸方程題點樣本點中心的性質(zhì)答案D解析過樣本點中心3在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，說明殘差平方和()A越大B越小C可能大也可能小D以上均不正確考點殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點殘差及相關(guān)指數(shù)的概念答案B解析因為R21，所以當(dāng)R2越大時，(yii)2越小，即殘差平方和越小，故選B.4某學(xué)生課外活動興趣小組對兩個相關(guān)變量收集到5組數(shù)據(jù)如表：x1020304050y62758189由最小二乘法求得回歸方程為0.67x54.9，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)模糊不清，請推斷該點數(shù)據(jù)的值為_考點線性回歸方程題點樣本點中心的性質(zhì)答案68解析由題意可得(1020304050)30，設(shè)要求的數(shù)據(jù)為t，則有(62t758189)，因為回歸直線0.67x54.9過樣本點的中心(，)，所以0.673054.9，解得t68.5已知方程0.85x82.71是根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報她的體重的回歸方程，其中x的單位是cm，的單位是kg，那么針對某個體(160,53)的殘差是_考點殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點殘差及相關(guān)指數(shù)的運算答案0.29解析把x160代入0.85x82.71，可得0.8516082.7153.29，所以殘差y5353.290.29.回歸分析的步驟(1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量；(2)畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)；(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型(如果呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程x)；(4)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)；(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(個別數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性等)，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤或模型是否合適等.一、選擇題1某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量(單位：萬盒)的數(shù)據(jù)如下表所示：x(月份)12345y(萬盒)55668若x，y線性相關(guān)，線性回歸方程為0.7x，估計該制藥廠6月份生產(chǎn)甲膠囊產(chǎn)量為()A8.0萬盒B8.1萬盒C8.9萬盒D8.6萬盒考點線性回歸方程題點樣本點中心的性質(zhì)答案B解析回歸直線一定過樣本點的中心由已知數(shù)據(jù)可得3，6，代入線性回歸方程，可得0.73.9，即線性回歸方程為0.7x3.9.把x6代入，可近似得8.1，故選B.2如圖所示，由這兩個散點圖可以判斷()A變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B變量x與y正相關(guān)，u與v負相關(guān)C變量x與y負相關(guān)，u與v正相關(guān)D變量x與y負相關(guān)，u與v負相關(guān)考點線性回歸分析題點回歸直線的概念答案C解析圖(1)中的數(shù)據(jù)隨著x的增大y減小，因此變量x與變量y負相關(guān)；圖(2)中的數(shù)據(jù)隨著u的增大v增大，因此u與v正相關(guān)3已知變量x與y負相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)求得樣本平均數(shù)3，3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程可能是()A.2x9.5B.2x2.4C.0.3x4.4D.0.4x2.3考點線性回歸方程題點求線性回歸方程答案A解析因為變量x與y負相關(guān)，所以排除B，D，將樣本平均數(shù)3，3.5代入選項驗證可知，選項A符合題意4對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，有一組觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，8)，其線性回歸方程是x，若x1x2x3x83，y1y2y3y86，則實數(shù)的值是()A.B.C.D.考點線性回歸方程題點樣本點中心的性質(zhì)答案D解析由x1x2x3x83，y1y2y3y86可知樣本點的中心為，將該點坐標代入回歸方程x，得.5若對某地區(qū)人均工資x(萬元)與該地區(qū)人均消費y(萬元)進行調(diào)查統(tǒng)計得y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為0.7x2.1，若該地區(qū)人均消費水平為10.5，則估計該地區(qū)人均消費額占人均工資收入的百分比約為()A75%B87.5%C70%D10.5%考點線性回歸方程題點線性回歸方程的應(yīng)用答案B解析y10.5時，由0.7x2.1得x12，故得100%87.5%.6甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A，B兩變量的線性相關(guān)試驗用回歸分析的方法分別求得相關(guān)系數(shù)r如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85則這四位同學(xué)的試驗結(jié)果能體現(xiàn)出A，B兩變量有更強的線性相關(guān)性的是()A甲B乙C丙D丁考點線性相關(guān)系數(shù)題點線性相關(guān)系數(shù)的概念及計算答案D解析由相關(guān)系數(shù)的意義可知，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，相關(guān)性越強，結(jié)合題意可知丁的線性相關(guān)性更強，故選D.7某化工廠為預(yù)測某產(chǎn)品的回收率y，而要研究它和原料有效成分含量之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8對觀測值，計算得i52，i228，478，iyi1849，則y與x的線性回歸方程是()A.11.472.62xB.11.472.62xC.2.6211.47xD.11.472.62x考點線性回歸方程題點求線性回歸方程答案A解析由題中數(shù)據(jù)得6.5，28.5，2.62，28.52.626.511.47，y與x的線性回歸方程是2.62x11.47，故選A.二、填空題8若一個樣本的總偏差平方和為80，殘差平方和為60，則相關(guān)指數(shù)R2為_考點殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點殘差及相關(guān)指數(shù)的運算答案0.25解析R210.25.9已知樣本數(shù)據(jù)點(xi，yi)(i1,2,3，n)在某一條直線上，則相關(guān)系數(shù)r的值為_考點線性相關(guān)系數(shù)題點線性相關(guān)系數(shù)的概念及計算答案1解析由題意知r1.10關(guān)于隨機誤差產(chǎn)生的原因分析正確的有_(填序號)用線性回歸模型來近似真實模型所引起的誤差；忽略某些因素的影響所產(chǎn)生的誤差；對樣本數(shù)據(jù)觀測時產(chǎn)生的誤差；計算錯誤所產(chǎn)生的誤差考點回歸分析題點回歸分析的概念和意義答案解析理解線性回歸模型ybxae中隨機誤差e的含義是解決此問題的關(guān)鍵，隨機誤差可能由于觀測工具及技術(shù)產(chǎn)生，也可能因忽略某些因素而產(chǎn)生，也可以是回歸模型產(chǎn)生，但不是計算錯誤故隨機誤差產(chǎn)生的原因分析正確的是.三、解答題11已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x0123y1357(1)分別計算：，x1y1x2y2x3y3x4y4，xxxx；(2)已知變量x與y線性相關(guān)，求出回歸方程考點線性回歸方程題點求線性回歸方程解(1)1.5，4，x1y1x2y2x3y3x4y40113253734，xxxx0212223214.(2)2，421.51，故2x1.12某服裝批發(fā)市場15月份的服裝銷售量x與利潤y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：月份12345銷售量x(萬件)36478利潤y(萬元)1934264146(1)從這五個月的利潤中任選2個，分別記為m，n，求事件“m，n均不小于30”的概率；(2)已知銷售量x與利潤y大致滿足線性相關(guān)關(guān)系，請根據(jù)前4個月的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程x；(3)若由線性回歸方程得到的利潤的估計數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)的誤差不超過2萬元，則認為得到的利潤的估計數(shù)據(jù)是理想的請用表格中第5個月的數(shù)據(jù)檢驗由(2)中回歸方程所得的第5個月的利潤的估計數(shù)據(jù)是否理想？參考公式：，.考點線性回歸分析題點回歸直線的應(yīng)用解(1)所有的基本事件為(19,34)，(19,26)，(19,41)，(19,46)，(34,26)，(34,41)，(34,46)，(26,41)，(26,46)，(41,46)，共10個記“m，n均不小于30”為事件A，則事件A包含的基本事件為(34,41)，(34,46)，(41,46)，共3個所以P(A).(2)由前4個月的數(shù)據(jù)可得，5，30，iyi652，110.所以5.2，305.254，所以線性回歸方程為5.2x4，(3)由題意得，當(dāng)x8時，45.6，|45.646|0.42；所以利用(2)中的回歸方程所得的第5個月的利潤估計數(shù)據(jù)是理想的13在一段時間內(nèi)，某種商品的價格x元和需求量y件之間的一組數(shù)據(jù)為：x1416182022y1210753求出y對x的線性回歸方程，并說明擬合效果的程度考點殘差分析與相關(guān)指數(shù)題點殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用解(1416182022)18，(1210753)7.4.1421621822022221 660，iyi14121610187205223620，可得回歸系數(shù)1.15，所以7.41.151828.1，所以線性回歸方程為1.15x28.1.列出殘差表：yii00.30.40.10.2yi4.62.60.42.44.4則(yii)20.3，(yi)253.2.R210.994.所以回歸模型的擬合效果很好四、探究與拓展14某公司的廣告費支出x(萬元)與銷售額y(萬元)之間有下表所示的對應(yīng)數(shù)據(jù)，由資料顯示y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)下表提供的數(shù)據(jù)得到回歸方程x中的6.5，x24568y3040605070預(yù)測銷售額為115萬元時，約需_萬元廣告費考點線性回歸分析題點回歸直線的應(yīng)用答案15解析因為(24568)5，(3040605070)50，所以506.55，則17.5，所以當(dāng)y115時，6.5x11517.5，得x15，即約需廣告費為15萬元15某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如下：零件的個數(shù)x(個)2345加工的時間y(小時)2.5344.5(1)在給定的坐標系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程x，并在坐標系中畫出回歸直線；(3)試預(yù)測加工10個零件需要多少時間？考點線性回歸方程題點求線性回歸方程解(1)散點圖如圖(2)由表中數(shù)據(jù)得iyi52.5，3.5，3.5，54，所以0.7，所以3.50.73.51.05.所以0.7x1.05.回歸直線如圖中所示(3)將x10代入線性回歸方程，得0.7101.058.05，所以預(yù)測加工10個零件需要8.05小時