2020版高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語 2.3 充要條件學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

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23充要條件學習目標1.了解充要條件的意義.2.會判斷、證明充要條件.3.通過學習，弄清對條件的判斷應該歸結(jié)為對命題真假的判斷知識點一充要條件的概念一般地，如果既有pq，又有qp，就記作pq.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件知識點二充要條件的判斷1由原命題與逆命題的真假情況判斷充分條件、必要條件和充要條件若原命題為“若p，則q”，則逆命題為“若q，則p”，那么p與q有以下四種情形：原命題逆命題條件p與結(jié)論q的關(guān)系結(jié)論真假pq，但qpp是q成立的充分不必要條件假真qp，但pqp是q成立的必要不充分條件真真pq，qp，即pqp是q成立的充要條件假假pq，qpp是q成立的既不充分又不必要條件由上表可得充要條件的判斷方法：原命題和逆命題均為真命題，p才是q的充要條件2從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件若AB，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件若BA，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件若AB，則p，q互為充要條件若AB且BA，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立1“兩角不相等”是“兩角不是對頂角”的必要不充分條件()2若命題“若p，則q”及其否命題都是真命題，則pq.()3若命題“若p，則q”及其逆命題都是假命題，則pq，qp()4若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個相互等價的命題()題型一充要條件的判斷例1下列各題中，p是q的什么條件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要條件)(1)p：四邊形的對角線互相平分，q：四邊形是矩形；(2)p：a2b20，q：ab0；(3)p：x1或x2，q：x1；(4)p：sinsin，q：.考點充要條件的判斷題點識別四種條件解(1)四邊形的對角線互相平分四邊形是矩形，四邊形是矩形四邊形的對角線互相平分，p是q的必要不充分條件(2)a2b20ab0ab0，ab0a2b20，p是q的充分不必要條件(3)當x1或x2時，可得x1成立，反過來，當x1時，可以推出x1或x2，p是q的充要條件(4)由sinsin不能推出，反過來由也不能推出sinsin，p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件則p是q的既不充分又不必要條件反思感悟充要條件的常用判斷方法(1)命題判斷法設“若p，則q”為原命題，那么：原命題為真，逆命題為假時，p是q的充分不必要條件；原命題為假，逆命題為真時，p是q的必要不充分條件；原命題與逆命題都為真時，p是q的充要條件；原命題與逆命題都為假時，p是q的既不充分又不必要條件(2)集合法若p與q確定的集合分別是A，B，則當且僅當AB時，p是q的充要條件跟蹤訓練1下列各題中，p是q的什么條件？(1)p：a，b，c三數(shù)成等比數(shù)列，q：b；(2)p：yx4，q：x1，y3；(3)p：ab，q：2a2b；(4)p：ABC是直角三角形，q：ABC為等腰三角形解(1)若a，b，c成等比數(shù)列，則b2ac，b，則pq；若b，當a0，b0時，a，b，c不成等比數(shù)列，即qp，故p是q的既不充分又不必要條件(2)yx4不能得出x1，y3，即pq，而x1，y3可得xy4，即qp，故p是q的必要不充分條件(3)當ab時，有2a2b，即pq，當2a2b時，可得ab，即qp，故p是q的充要條件(4)方法一若ABC是直角三角形不能得出ABC為等腰三角形，即pq；若ABC為等腰三角形也不能得出ABC為直角三角形，即qp，故p是q的既不充分又不必要條件方法二如圖所示，p，q對應集合間無包含條件，故p是q的既不充分又不必要條件題型二充要條件的探求與證明命題角度1探求充要條件例2求關(guān)于x的不等式ax2ax1a0對一切實數(shù)x都成立的充要條件考點充要條件的概念及判斷題點探求充要條件解充分性：當0a時，判別式a24a(1a)5a24aa(5a4)0對一切實數(shù)x都成立而當a0時，不等式ax2ax1a0化為10.顯然當a0時，不等式ax2ax1a0對一切實數(shù)x都成立必要性：因為ax2ax1a0對一切實數(shù)x都成立，所以a0或解得0a.故0a0對一切實數(shù)x都成立的充要條件反思感悟探求一個命題的充要條件，可以利用定義法進行探求，即分別證明“條件結(jié)論”和“結(jié)論條件”，也可以尋求結(jié)論的等價命題，還可以先尋求結(jié)論成立的必要條件，再證明它也是其充分條件跟蹤訓練2“函數(shù)yx22xa沒有零點”的充要條件是_考點充要條件的概念及判斷題點探求充要條件答案a1解析函數(shù)沒有零點，即方程x22xa0無實根，所以有44a0，解得a1.反之，若a1，則0，方程x22xa0無實根，即函數(shù)沒有零點故“函數(shù)yx22xa沒有零點”的充要條件是a1.命題角度2充要條件的證明例3求證：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負根的充要條件是ac0.考點充要條件的概念及判斷題點充要條件的證明證明充分性：ac0，方程一定有兩個不等實根，設兩實根為x1，x2，則x1x20，方程的兩根異號，即方程ax2bxc0有一正根和一負根必要性：方程ax2bxc0有一正根和一負根，設兩實根為x1，x2，則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x20，即ac0.綜上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負根的充要條件是ac0.反思感悟一般地，證明“p成立的充要條件為q”，在證充分性時，應以q為“已知條件”，p是要證明的“結(jié)論”，即qp；證明必要性時，則是以p為“已知條件”，q是要證明的“結(jié)論”，即pq.跟蹤訓練3求證：一次函數(shù)f(x)kxb(k0)是奇函數(shù)的充要條件是b0.考點充要條件的概念及判斷題點充要條件的證明證明充分性：如果b0，那么f(x)kx，因為f(x)k(x)kx，所以f(x)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)必要性：因為f(x)kxb(k0)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)對任意x均成立，即k(x)b(kxb)，所以b0.綜上，一次函數(shù)f(x)kxb(k0)是奇函數(shù)的充要條件是b0.題型三充分條件與必要條件的應用例4已知p：3xm0，若p是q的一個充分不必要條件，求m的取值范圍考點充分、必要條件和充要條件的綜合應用題點由充分不必要、必要不充分與充要條件求參數(shù)范圍解由3xm0得，x0得，x3.q：Bx|x3pq而qp，A是B的真子集，1，m3，即m的取值范圍是3，)反思感悟首先應把p與q之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為p，q確定的集合之間的包含關(guān)系，然后構(gòu)建滿足條件的不等式(組)求解同時要注意命題的等價性的應用跟蹤訓練4已知p：xk，q：1，如果p是q的充分不必要條件，則k的取值范圍是()A2，) B(2，)C1，) D(，1考點充分、必要條件和充要條件的綜合應用題點由充分不必要、必要不充分與充要條件求參數(shù)范圍答案B解析q：x2，由題意知，x|xkx|x2，則k2，k的取值范圍是(2，).1“2x1或x1”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C既不充分又不必要條件D充要條件考點充分、必要條件和充要條件的綜合應用題點識別四種條件答案C解析2x1或x1或x12x1，“2x1或xb”是“a|b|”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點充分、必要條件和充要條件的綜合應用題點識別四種條件答案B解析由a|b|ab，而aba|b|.3已知向量a(m2,4)，b(1,1)，則“m2”是“ab”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點充分、必要條件和充要條件的綜合應用題點識別四種條件答案A解析當m2時，a(4,4)，b(1,1)，ab，當ab時，m24，即m2，故選A.4直線xym0與圓(x1)2(y1)22相切的充要條件是_考點充要條件的概念及判斷題點探求充要條件答案m4或m0解析圓心(1,1)到直線xym0的距離為，即，解得m4或m0.5設nN，一元二次方程x24xn0有整數(shù)根的充要條件是n_.答案3或4解析由164n0，得n4，又nN，則n1,2,3,4.當n1,2時，方程沒有整數(shù)根；當n3時，方程有整數(shù)根1,3，當n4時，方程有整數(shù)根2.綜上可知，n3或4.1充要條件的判斷有三種方法：定義法、命題等價法、集合法2充要條件的證明與探求(1)充要條件的證明要分充分性和必要性兩方面來證明，在證明時要注意兩種敘述方式的區(qū)別：p是q的充要條件，則由pq證的是充分性，由qp證的是必要性；p的充要條件是q，則由pq證的是必要性，由qp證的是充分性(2)探求充要條件，可先求出必要條件，再證充分性；如果能保證每一步的變形轉(zhuǎn)化過程都可逆，也可以直接求出充要條件一、選擇題1“x，y均為奇數(shù)”是“xy為偶數(shù)”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點充分、必要條件和充要條件的綜合應用題點識別四種條件答案A解析當x，y均為奇數(shù)時，一定可以得到xy為偶數(shù)；但當xy為偶數(shù)時，不一定必有x，y均為奇數(shù)，也可能x，y均為偶數(shù)2設p：x3，q：1x3，則p是q成立的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分又不必要條件考點充分、必要條件和充要條件的綜合應用題點識別四種條件答案C解析x31x3，但1x3x1”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點充要條件的概念及判斷題點充要條件的判斷答案D解析當數(shù)列an的首項a11，則數(shù)列an是遞減數(shù)列；當數(shù)列an的首項a10時，要使數(shù)列an為遞增數(shù)列，則0q1”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的既不充分又不必要條件故選D.4設a，b是實數(shù)，則“ab”是“a2b2”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點充分、必要條件和充要條件的綜合應用題點識別四種條件答案D解析aba2b2，a2b2ab，ab是a2b2的既不充分又不必要條件5函數(shù)f(x)x2mx1的圖像關(guān)于直線x1對稱的充要條件是()Am2Bm2Cm1Dm1考點充要條件的概念及判斷題點探求充要條件答案A解析f(x)x2mx121，f(x)的圖像的對稱軸為x，由題意得1，m2.6已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點充分、必要條件和充要條件的綜合應用題點識別四種條件答案A解析prsq，故qp，否則rp，故選A.7“不等式x2xm0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是()AmB0m0Dm1考點充分、必要條件和充要條件的綜合應用題點由充分不必要、必要不充分與充要條件求參數(shù)答案C解析不等式x2xm0在R上恒成立，則14m，結(jié)合各選項，可知“不等式x2xm0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是m0.8在下列三個結(jié)論中，正確的有()x24是x34x2或x2，x38x2，由x2或x2或x2x4是x38的必要不充分條件；中，AB2AC2BC2是ABC為直角三角形的充分不必要條件；正確故正確9設條件p：|x2|3，條件q：0xa，其中a為正常數(shù)，若p是q的必要不充分條件，則a的取值范圍是()A(0,5 B(0,5)C5，) D(5，)考點充分條件、必要條件和充要條件的綜合應用題點利用充分不必要、必要不充分與充要條件求參數(shù)范圍答案A解析由|x2|3，得3x23，即1x5，即p：1x5，因為q：0xa，a為正常數(shù)，所以要使p是q的必要不充分條件，則0b”是“3a3b”的充分不必要條件；“”是“cosb”是“3a3b”的充要條件，故錯誤；2，則cos2cos，coscos；coscos，cos“”是“coscos”的既不充分又不必要條件，故錯誤；“a0”是“函數(shù)f(x)ax32x23(xR)為偶函數(shù)”的充要條件，故正確12關(guān)于x的方程m2x2(m1)x20的實數(shù)根的總和為2的充要條件是_考點充要條件的概念及判斷題點探求充要條件答案m0解析當m0時，原方程即為x2，滿足條件；當m0時，有2，解得m1或m，又(m1)28m2，當m1及m時，均使0，故充要條件是m0.三、解答題13已知集合Mx|x5，Px|(xa)(x8)0(1)求實數(shù)a的取值范圍，使它成為MPx|5x8的充要條件；(2)求實數(shù)a的一個值，使它成為MPx|5x8的一個充分不必要條件；(3)求實數(shù)a的取值范圍，使它成為MPx|5x8的一個必要不充分條件考點充分、必要條件和充要條件的綜合應用題點由充分不必要、必要不充分與充要條件求參數(shù)解由MPx|5x8知，a8.(1)MPx|5x8的充要條件是3a5.(2)MPx|5x8的充分不必要條件，顯然，a在3,5中任取一個值都可以(3)若a5，顯然MP5，3)(5,8是MPx|5x8的必要不充分條件故a3為必要不充分條件14已知p：0，q：4x2xm0，p是q的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是()A6，) B(，2 C2，) D(2，)考點充分條件、必要條件的概念及判斷題點由充分條件、必要條件求參數(shù)的范圍答案A解析由0，得0x1，即p：0x1.由4x2xm0，得4x2xm.因為4x2x(2x)22x2，要使p是q的充分條件，則當0x1時，m大于等于4x2x的最大值，又當x1時，4x2x有最大值6，所以m6.故選A.15已知數(shù)列an的前n項和Snpnq(p0且p1)，求證：數(shù)列an為等比數(shù)列的充要條件為q1.考點充要條件的概念及判斷題點充要條件的判斷證明充分性：當q1時，a1S1p1，當n2時，anSnSn1pn1(p1)，當n1也成立p0且p1，p，即數(shù)列an為等比數(shù)列必要性：當n1時，a1S1pq；當n2時，anSnSn1pn1(p1)，p0且p1，當n2時，p.an為等比數(shù)列，p，即a2p2pqp2p，解得q1.故數(shù)列an為等比數(shù)列的充要條件為q1.