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2020版高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ) 2.3 充要條件學(xué)案(含解析)北師大版選修1 -1.docx

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2020版高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ) 2.3 充要條件學(xué)案(含解析)北師大版選修1 -1.docx

23充要條件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解充要條件的意義.2.會(huì)判斷、證明充要條件.3.通過(guò)學(xué)習(xí),弄清對(duì)條件的判斷應(yīng)該歸結(jié)為對(duì)命題真假的判斷知識(shí)點(diǎn)一充要條件的概念一般地,如果既有pq,又有qp,就記作pq.此時(shí),我們說(shuō),p是q的充分必要條件,簡(jiǎn)稱充要條件知識(shí)點(diǎn)二充要條件的判斷1由原命題與逆命題的真假情況判斷充分條件、必要條件和充要條件若原命題為“若p,則q”,則逆命題為“若q,則p”,那么p與q有以下四種情形:原命題逆命題條件p與結(jié)論q的關(guān)系結(jié)論真假pq,但qpp是q成立的充分不必要條件假真qp,但pqp是q成立的必要不充分條件真真pq,qp,即pqp是q成立的充要條件假假pq,qpp是q成立的既不充分又不必要條件由上表可得充要條件的判斷方法:原命題和逆命題均為真命題,p才是q的充要條件2從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件若AB,則p是q的充分條件,若AB,則p是q的充分不必要條件若BA,則p是q的必要條件,若BA,則p是q的必要不充分條件若AB,則p,q互為充要條件若AB且BA,則p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件其中p:Ax|p(x)成立,q:Bx|q(x)成立1“兩角不相等”是“兩角不是對(duì)頂角”的必要不充分條件()2若命題“若p,則q”及其否命題都是真命題,則pq.()3若命題“若p,則q”及其逆命題都是假命題,則pq,qp()4若p是q的充要條件,則命題p和q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題()題型一充要條件的判斷例1下列各題中,p是q的什么條件?(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要條件)(1)p:四邊形的對(duì)角線互相平分,q:四邊形是矩形;(2)p:a2b20,q:ab0;(3)p:x1或x2,q:x1;(4)p:sin>sin,q:>.考點(diǎn)充要條件的判斷題點(diǎn)識(shí)別四種條件解(1)四邊形的對(duì)角線互相平分四邊形是矩形,四邊形是矩形四邊形的對(duì)角線互相平分,p是q的必要不充分條件(2)a2b20ab0ab0,ab0a2b20,p是q的充分不必要條件(3)當(dāng)x1或x2時(shí),可得x1成立,反過(guò)來(lái),當(dāng)x1時(shí),可以推出x1或x2,p是q的充要條件(4)由sin>sin不能推出>,反過(guò)來(lái)由>也不能推出sin>sin,p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件則p是q的既不充分又不必要條件反思感悟充要條件的常用判斷方法(1)命題判斷法設(shè)“若p,則q”為原命題,那么:原命題為真,逆命題為假時(shí),p是q的充分不必要條件;原命題為假,逆命題為真時(shí),p是q的必要不充分條件;原命題與逆命題都為真時(shí),p是q的充要條件;原命題與逆命題都為假時(shí),p是q的既不充分又不必要條件(2)集合法若p與q確定的集合分別是A,B,則當(dāng)且僅當(dāng)AB時(shí),p是q的充要條件跟蹤訓(xùn)練1下列各題中,p是q的什么條件?(1)p:a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列,q:b;(2)p:yx>4,q:x>1,y>3;(3)p:a>b,q:2a>2b;(4)p:ABC是直角三角形,q:ABC為等腰三角形解(1)若a,b,c成等比數(shù)列,則b2ac,b,則pq;若b,當(dāng)a0,b0時(shí),a,b,c不成等比數(shù)列,即qp,故p是q的既不充分又不必要條件(2)yx>4不能得出x>1,y>3,即pq,而x>1,y>3可得xy>4,即qp,故p是q的必要不充分條件(3)當(dāng)a>b時(shí),有2a>2b,即pq,當(dāng)2a>2b時(shí),可得a>b,即qp,故p是q的充要條件(4)方法一若ABC是直角三角形不能得出ABC為等腰三角形,即pq;若ABC為等腰三角形也不能得出ABC為直角三角形,即qp,故p是q的既不充分又不必要條件方法二如圖所示,p,q對(duì)應(yīng)集合間無(wú)包含條件,故p是q的既不充分又不必要條件題型二充要條件的探求與證明命題角度1探求充要條件例2求關(guān)于x的不等式ax2ax1a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)探求充要條件解充分性:當(dāng)0<a<時(shí),判別式a24a(1a)5a24aa(5a4)<0,則ax2ax1a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立而當(dāng)a0時(shí),不等式ax2ax1a>0化為1>0.顯然當(dāng)a0時(shí),不等式ax2ax1a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立必要性:因?yàn)閍x2ax1a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,所以a0或解得0a<.故0a<是不等式ax2ax1a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件反思感悟探求一個(gè)命題的充要條件,可以利用定義法進(jìn)行探求,即分別證明“條件結(jié)論”和“結(jié)論條件”,也可以尋求結(jié)論的等價(jià)命題,還可以先尋求結(jié)論成立的必要條件,再證明它也是其充分條件跟蹤訓(xùn)練2“函數(shù)yx22xa沒(méi)有零點(diǎn)”的充要條件是_考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)探求充要條件答案a<1解析函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn),即方程x22xa0無(wú)實(shí)根,所以有44a<0,解得a<1.反之,若a<1,則<0,方程x22xa0無(wú)實(shí)根,即函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)故“函數(shù)yx22xa沒(méi)有零點(diǎn)”的充要條件是a<1.命題角度2充要條件的證明例3求證:一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)充要條件的證明證明充分性:ac<0,一元二次方程ax2bxc0的判別式b24ac>0,方程一定有兩個(gè)不等實(shí)根,設(shè)兩實(shí)根為x1,x2,則x1x2<0,方程的兩根異號(hào),即方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根必要性:方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根,設(shè)兩實(shí)根為x1,x2,則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2<0,且b24ac>0,即ac<0.綜上可知,一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.反思感悟一般地,證明“p成立的充要條件為q”,在證充分性時(shí),應(yīng)以q為“已知條件”,p是要證明的“結(jié)論”,即qp;證明必要性時(shí),則是以p為“已知條件”,q是要證明的“結(jié)論”,即pq.跟蹤訓(xùn)練3求證:一次函數(shù)f(x)kxb(k0)是奇函數(shù)的充要條件是b0.考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)充要條件的證明證明充分性:如果b0,那么f(x)kx,因?yàn)閒(x)k(x)kx,所以f(x)f(x),所以f(x)為奇函數(shù)必要性:因?yàn)閒(x)kxb(k0)是奇函數(shù),所以f(x)f(x)對(duì)任意x均成立,即k(x)b(kxb),所以b0.綜上,一次函數(shù)f(x)kxb(k0)是奇函數(shù)的充要條件是b0.題型三充分條件與必要條件的應(yīng)用例4已知p:3xm<0,q:x22x3>0,若p是q的一個(gè)充分不必要條件,求m的取值范圍考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分不必要、必要不充分與充要條件求參數(shù)范圍解由3xm<0得,x<.p:A.由x22x3>0得,x<1或x>3.q:Bx|x<1或x>3pq而qp,A是B的真子集,1,m3,即m的取值范圍是3,)反思感悟首先應(yīng)把p與q之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為p,q確定的集合之間的包含關(guān)系,然后構(gòu)建滿足條件的不等式(組)求解同時(shí)要注意命題的等價(jià)性的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練4已知p:xk,q:<1,如果p是q的充分不必要條件,則k的取值范圍是()A2,) B(2,)C1,) D(,1考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分不必要、必要不充分與充要條件求參數(shù)范圍答案B解析q:x<1或x>2,由題意知,x|xkx|x<1或x>2,則k>2,k的取值范圍是(2,).1“2<x<1”是“x>1或x<1”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C既不充分又不必要條件D充要條件考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)識(shí)別四種條件答案C解析2<x<1x>1或x<1,且x>1或x<12<x<1,“2<x<1”是“x>1或x<1”的既不充分又不必要條件2“a>b”是“a>|b|”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)識(shí)別四種條件答案B解析由a>|b|a>b,而a>ba>|b|.3已知向量a(m2,4),b(1,1),則“m2”是“ab”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)識(shí)別四種條件答案A解析當(dāng)m2時(shí),a(4,4),b(1,1),ab,當(dāng)ab時(shí),m24,即m2,故選A.4直線xym0與圓(x1)2(y1)22相切的充要條件是_考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)探求充要條件答案m4或m0解析圓心(1,1)到直線xym0的距離為,即,解得m4或m0.5設(shè)nN,一元二次方程x24xn0有整數(shù)根的充要條件是n_.答案3或4解析由164n0,得n4,又nN,則n1,2,3,4.當(dāng)n1,2時(shí),方程沒(méi)有整數(shù)根;當(dāng)n3時(shí),方程有整數(shù)根1,3,當(dāng)n4時(shí),方程有整數(shù)根2.綜上可知,n3或4.1充要條件的判斷有三種方法:定義法、命題等價(jià)法、集合法2充要條件的證明與探求(1)充要條件的證明要分充分性和必要性兩方面來(lái)證明,在證明時(shí)要注意兩種敘述方式的區(qū)別:p是q的充要條件,則由pq證的是充分性,由qp證的是必要性;p的充要條件是q,則由pq證的是必要性,由qp證的是充分性(2)探求充要條件,可先求出必要條件,再證充分性;如果能保證每一步的變形轉(zhuǎn)化過(guò)程都可逆,也可以直接求出充要條件一、選擇題1“x,y均為奇數(shù)”是“xy為偶數(shù)”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)識(shí)別四種條件答案A解析當(dāng)x,y均為奇數(shù)時(shí),一定可以得到xy為偶數(shù);但當(dāng)xy為偶數(shù)時(shí),不一定必有x,y均為奇數(shù),也可能x,y均為偶數(shù)2設(shè)p:x<3,q:1<x<3,則p是q成立的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分又不必要條件考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)識(shí)別四種條件答案C解析x<31<x<3,但1<x<3x<3,p是q的必要不充分條件,故選C.3設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列,則“q>1”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)充要條件的判斷答案D解析當(dāng)數(shù)列an的首項(xiàng)a1<0時(shí),若q>1,則數(shù)列an是遞減數(shù)列;當(dāng)數(shù)列an的首項(xiàng)a1<0時(shí),要使數(shù)列an為遞增數(shù)列,則0<q<1,所以“q>1”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的既不充分又不必要條件故選D.4設(shè)a,b是實(shí)數(shù),則“a>b”是“a2>b2”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)識(shí)別四種條件答案D解析a>ba2>b2,a2>b2a>b,a>b是a2>b2的既不充分又不必要條件5函數(shù)f(x)x2mx1的圖像關(guān)于直線x1對(duì)稱的充要條件是()Am2Bm2Cm1Dm1考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)探求充要條件答案A解析f(x)x2mx121,f(x)的圖像的對(duì)稱軸為x,由題意得1,m2.6已知p是r的充分不必要條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,那么p是q的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)識(shí)別四種條件答案A解析prsq,故qp,否則rp,故選A.7“不等式x2xm>0在R上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是()Am>B0<m<1Cm>0Dm>1考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分不必要、必要不充分與充要條件求參數(shù)答案C解析不等式x2xm>0在R上恒成立,則14m<0,m>,結(jié)合各選項(xiàng),可知“不等式x2xm>0在R上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是m>0.8在下列三個(gè)結(jié)論中,正確的有()x2>4是x3<8的必要不充分條件;在ABC中,AB2AC2BC2是ABC為直角三角形的充要條件;若a,bR,則“a2b20”是“a,b不全為0”的充要條件ABCD考點(diǎn)充分條件、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)識(shí)別四種條件答案C解析中,x2>4x>2或x<2,x3<8x<2,由x<2x>2或x<2,x>2或x<2x<2,x2>4是x3<8的必要不充分條件;中,AB2AC2BC2是ABC為直角三角形的充分不必要條件;正確故正確9設(shè)條件p:|x2|<3,條件q:0<x<a,其中a為正常數(shù),若p是q的必要不充分條件,則a的取值范圍是()A(0,5 B(0,5)C5,) D(5,)考點(diǎn)充分條件、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)利用充分不必要、必要不充分與充要條件求參數(shù)范圍答案A解析由|x2|<3,得3<x2<3,即1<x<5,即p:1<x<5,因?yàn)閝:0<x<a,a為正常數(shù),所以要使p是q的必要不充分條件,則0<a5,故選A.二、填空題10關(guān)于x的不等式|2x3|a的解集為R的充要條件是_答案a0解析由題意知|2x3|a恒成立,|2x3|0,a0.11給出下列三個(gè)命題:“a>b”是“3a>3b”的充分不必要條件;“>”是“cos<cos”的必要不充分條件;“a0”是“函數(shù)f(x)ax32x23(xR)為偶函數(shù)”的充要條件其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)識(shí)別四種條件答案解析函數(shù)y3x是R上的增函數(shù),“a>b”是“3a>3b”的充要條件,故錯(cuò)誤;2>,則cos2>cos,>cos<cos;cos<cos,<,cos<cos>“>”是“cos<cos”的既不充分又不必要條件,故錯(cuò)誤;“a0”是“函數(shù)f(x)ax32x23(xR)為偶函數(shù)”的充要條件,故正確12關(guān)于x的方程m2x2(m1)x20的實(shí)數(shù)根的總和為2的充要條件是_考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)探求充要條件答案m0解析當(dāng)m0時(shí),原方程即為x2,滿足條件;當(dāng)m0時(shí),有2,解得m1或m,又(m1)28m2,當(dāng)m1及m時(shí),均使<0,故充要條件是m0.三、解答題13已知集合Mx|x<3或x>5,Px|(xa)(x8)0(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使它成為MPx|5<x8的充要條件;(2)求實(shí)數(shù)a的一個(gè)值,使它成為MPx|5<x8的一個(gè)充分不必要條件;(3)求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使它成為MPx|5<x8的一個(gè)必要不充分條件考點(diǎn)充分、必要條件和充要條件的綜合應(yīng)用題點(diǎn)由充分不必要、必要不充分與充要條件求參數(shù)解由MPx|5<x8知,a8.(1)MPx|5<x8的充要條件是3a5.(2)MPx|5<x8的充分不必要條件,顯然,a在3,5中任取一個(gè)值都可以(3)若a5,顯然MP5,3)(5,8是MPx|5<x8的必要不充分條件故a<3為必要不充分條件14已知p:0,q:4x2xm0,p是q的充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A6,) B(,2 C2,) D(2,)考點(diǎn)充分條件、必要條件的概念及判斷題點(diǎn)由充分條件、必要條件求參數(shù)的范圍答案A解析由0,得0<x1,即p:0<x1.由4x2xm0,得4x2xm.因?yàn)?x2x(2x)22x2,要使p是q的充分條件,則當(dāng)0<x1時(shí),m大于等于4x2x的最大值,又當(dāng)x1時(shí),4x2x有最大值6,所以m6.故選A.15已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snpnq(p0且p1),求證:數(shù)列an為等比數(shù)列的充要條件為q1.考點(diǎn)充要條件的概念及判斷題點(diǎn)充要條件的判斷證明充分性:當(dāng)q1時(shí),a1S1p1,當(dāng)n2時(shí),anSnSn1pn1(p1),當(dāng)n1也成立p0且p1,p,即數(shù)列an為等比數(shù)列必要性:當(dāng)n1時(shí),a1S1pq;當(dāng)n2時(shí),anSnSn1pn1(p1),p0且p1,當(dāng)n2時(shí),p.an為等比數(shù)列,p,即a2p2pqp2p,解得q1.故數(shù)列an為等比數(shù)列的充要條件為q1.

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