線性規(guī)劃問題及其數(shù)學模型.ppt

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LinearProgramming,運籌學課件,線性規(guī)劃,線性規(guī)劃問題及其數(shù)學模型圖解法單純形法原理單純形法計算步驟單純形法的進一步討論數(shù)據(jù)包絡其他應用例子案例分析,線性規(guī)劃概述,線性規(guī)劃（LinearProgramming，簡記為LP）是運籌學中的一個最重要、應用最廣泛的分支。線性規(guī)劃及其通用解法-單純形法一般認為是美國學者丹捷格（G.Dantzig）在1947年研究美國空軍軍事規(guī)劃時提出的。蘇聯(lián)學者康托洛維奇在1939年解決工業(yè)生產(chǎn)組織與計劃問題時就提出類似線性規(guī)劃的模型及解法；康托洛維奇的工作當時沒有被重視，但直到1960年康托洛維奇再次發(fā)表最佳資源利用的經(jīng)濟計算一書后，才受到重視。一些常見的帶有Spreadsheet的軟件，如：Excel、Lotus1-2-3等，均有內(nèi)置的線性規(guī)劃求解功能。最優(yōu)化問題求解軟件，如：Lindo、Lingo、Matlab等。,線性規(guī)劃問題提出,在生產(chǎn)管理和經(jīng)營活動中經(jīng)常會提出這樣一類問題：如何利用有限的人力、物力、財力等資源，取得最好的效果。例如：配載問題一交通工具，運輸幾種不同體積、重量的物資，如何裝配，所運的物資最多？下料問題用圓鋼制造長度不等的機軸，如何下料，所剩的余料最少？生產(chǎn)計劃問題企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種電器產(chǎn)品，兩種產(chǎn)品的市場需求狀況可以確定，按當前的定價可確保所有產(chǎn)品均能銷售出去。企業(yè)可提供的兩種原材料和勞動時間的數(shù)量是有限的。產(chǎn)品A與產(chǎn)品B各應生產(chǎn)多少，可使企業(yè)總利潤最大?,線性規(guī)劃問題提出,上述這些問題有如下共同特點：問題解決要滿足一定條件，稱為約束條件；問題有多個滿足條件的解決方案；問題解決有明確的目標要求，對應不同方案有不同目標值，可表示成目標函數(shù)。,線性規(guī)劃問題及其數(shù)學模型,問題提出與建模生產(chǎn)計劃問題運輸問題線性規(guī)劃模型一般形式規(guī)范形式標準形式形式轉(zhuǎn)換,常山機械廠制造、兩種產(chǎn)品。已知各制造一件時分別占用的設備A、B、C的臺時，每天可用于這兩種家電的能力、各售出一件時的獲利情況如下表所示。問該企業(yè)應制造兩種產(chǎn)品各多少件，可使獲取的利潤最大。,生產(chǎn)計劃問題,問題分析,模型,運輸問題,問題分析,模型,線性規(guī)劃問題的三個要素,決策變量決策問題待定的量值稱為決策變量。決策變量的取值有時要求非負。約束條件任何問題都是限定在一定的條件下求解，把各種限制條件表示為一組等式或不等式，稱之為約束條件。約束條件是決策方案可行的保障。LP的約束條件，都是決策變量的線性函數(shù)。目標函數(shù)衡量決策方案優(yōu)劣的準則，如時間最省、利潤最大、成本最低。目標函數(shù)是決策變量的線性函數(shù)。有的目標要實現(xiàn)極大，有的則要求極小。,何謂線性規(guī)劃問題,最優(yōu)化問題我們稱如下一般問題：“在一定約束條件下，求目標函數(shù)的最大或最小值”為最優(yōu)化問題，用數(shù)學模型描述的最優(yōu)化問題，稱為數(shù)學規(guī)劃問題。線性規(guī)劃問題在最優(yōu)化問題中，如果約束條件與目標函數(shù)均是線性的，我們就稱之為線性規(guī)劃問題。,線性規(guī)劃的數(shù)學模型,如果規(guī)劃問題的數(shù)學模型中，決策變量的取值是連續(xù)的，既可以為整數(shù)，也可以為分數(shù)、小數(shù)或?qū)崝?shù)，目標函數(shù)是決策變量的線性函數(shù)，約束條件是含決策變量的線性等式或不等式，則該規(guī)劃問題的數(shù)學模型為線性規(guī)劃的數(shù)學模型。,線性規(guī)劃數(shù)學模型,建立線性規(guī)劃問題數(shù)學模型的步驟：Step1分析實際問題；Step2確定決策變量；Step3找出約束條件；Step4確定目標函數(shù)；Step5整理、寫出數(shù)學模型。,【例1.1】某市今年要興建大量住宅,已知有三種住宅體系可以大量興建，各體系資源用量及今年供應量見下表：要求在充分利用各種資源條件下使建造住宅的總面積為最大(即求安排各住宅多少m2)，求建造方案。,線性規(guī)劃問題舉例,【例1.2】最優(yōu)生產(chǎn)計劃問題。某企業(yè)在計劃期內(nèi)計劃生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品。這些產(chǎn)品分別需要要在設備A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工藝資料規(guī)定，單件產(chǎn)品在不同設備上加工及所需要的資源如表1.1所示。已知在計劃期內(nèi)設備的加工能力各為200臺時，可供材料分別為360、300公斤；每生產(chǎn)一件甲、乙、丙三種產(chǎn)品，企業(yè)可獲得利潤分別為40、30、50元，假定市場需求無限制。企業(yè)決策者應如何安排生產(chǎn)計劃，使企業(yè)在計劃期內(nèi)總的利潤收入最大？,線性規(guī)劃問題舉例,產(chǎn)品資源消耗表,【例1.3】某商場決定：營業(yè)員每周連續(xù)工作5天后連續(xù)休息2天，輪流休息。根據(jù)統(tǒng)計，商場每天需要的營業(yè)員如表1.2所示。,表1.2營業(yè)員需要量統(tǒng)計表,商場人力資源部應如何安排每天的上班人數(shù)，使商場總的營業(yè)員最少。,線性規(guī)劃問題舉例,【例1.4】合理用料問題。某汽車需要用甲、乙、丙三種規(guī)格的軸各一根，這些軸的規(guī)格分別是1.5，1，0.7（m），這些軸需要用同一種圓鋼來做，圓鋼長度為4m?，F(xiàn)在要制造1000輛汽車，最少要用多少圓鋼來生產(chǎn)這些軸？,線性規(guī)劃問題舉例,注意：（）求下料方案時應注意，余料不能超過最短毛坯的長度；（）最好將毛坯長度按降的次序排列，即先切割長度最長的毛坯，再切割次長的，最后切割最短的，不能遺漏了方案。（）如果方案較多，用計算機編程排方案，去掉余料較長的方案，進行初選。,【例1.5】配料問題。某鋼鐵公司生產(chǎn)一種合金，要求的成分規(guī)格是：錫不少于28%，鋅不多于15%，鉛恰好10%，鎳要界于35%55%之間，不允許有其他成分。鋼鐵公司擬從五種不同級別的礦石中進行冶煉，每種礦物的成分含量和價格如表1.4所示。礦石雜質(zhì)在治煉過程中廢棄，現(xiàn)要求每噸合金成本最低的礦物數(shù)量。假設礦石在冶煉過程中，合金含量沒有發(fā)生變化。,表1.4礦石的金屬含量,線性規(guī)劃問題舉例,解:設xj（j=1,2，5）是第j種礦石數(shù)量，得到下列線性規(guī)劃模型,注意：礦石在實際冶煉時金屬含量會發(fā)生變化，建模時應將這種變化考慮進去，有可能是非線性關系。配料問題也稱配方問題、營養(yǎng)問題或混合問題，在許多行業(yè)生產(chǎn)中都能遇到。,【例1.6】投資問題。某投資公司在第一年有200萬元資金，每年都有如下的投資方案可供考慮采納：“假使第一年投入一筆資金，第二年又繼續(xù)投入此資金的50%，那么到第三年就可回收第一年投入資金的一倍金額”。投資公司決定最優(yōu)的投資策略使第六年所掌握的資金最多。,線性規(guī)劃問題舉例,【例1.7】均衡配套生產(chǎn)問題。某產(chǎn)品由2件甲、3件乙零件組裝而成。兩種零件必須經(jīng)過設備A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工時間分別為5分鐘和9分鐘，每件乙零件在A、B上的加工時間分別為4分鐘和10分鐘。現(xiàn)有2臺設備A和3臺設備B，每天每臺可供加工時間為8小時。為了保持兩種設備均衡負荷生產(chǎn)，要求一種設備每天的加工總時間不超過另一種設備總時間1小時。怎樣安排設備的加工時間使每天產(chǎn)品的產(chǎn)量最大。,線性規(guī)劃問題舉例,線性規(guī)劃問題的一般形式,目標函數(shù),約束條件,假定線性規(guī)劃問題有n個決策變量，m個約束條件。一般地，線性規(guī)劃問題數(shù)學模型中可表示成如下形式：,注釋,規(guī)范形式,標準形式,模型轉(zhuǎn)換,約束轉(zhuǎn)換實例,目標轉(zhuǎn)換,變量轉(zhuǎn)換,約束轉(zhuǎn)換,不等式變等式不等式變不等式,等式變不等式,不等式變等式,松弛變量,剩余變量,不等式變不等式,例1把問題轉(zhuǎn)化為標準形式,例1把問題轉(zhuǎn)化為標準形式,練習將下列問題轉(zhuǎn)化為標準形式,