線性方程組的消元法、矩陣及其初等行變換.ppt
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線性代數(shù),LinearAlgebra,,,理學(xué)院數(shù)學(xué)系韓維,,13157101610;942086908(Q),,辦公室18-903,927,學(xué)分獲取,點(diǎn)名,+,=,,,,,,復(fù)習(xí),作業(yè),其它,平時(shí),期末,總評(píng),筆記,作業(yè),總結(jié),練習(xí),,書(shū)本,課程郵箱:probability_2013@郵箱密碼:xd2013,,,2019/12/16,3,DavidC.Lay:線性代數(shù)是最有趣最有價(jià)值的大學(xué)數(shù)學(xué)課程線性方程組的應(yīng)用:劍橋減肥食譜問(wèn)題、電路問(wèn)題、交通流問(wèn)題、馬爾科夫鏈、聯(lián)合收入問(wèn)題、現(xiàn)代飛行器外形設(shè)計(jì)例等等……向量組的線性相關(guān)性的應(yīng)用:藥方配制問(wèn)題等可逆矩陣的應(yīng)用:密碼問(wèn)題等矩陣對(duì)角化應(yīng)用:行業(yè)就業(yè)人數(shù)預(yù)測(cè)、人口遷移、人口分布趨勢(shì)分析等二次型應(yīng)用:如政府合理分配修路、修公園資金等,注,了解線性代數(shù),2019/12/16,4,應(yīng)用線性代數(shù)相關(guān)學(xué)科:工程學(xué),計(jì)算機(jī)科學(xué),物理學(xué),數(shù)學(xué),生物學(xué),經(jīng)濟(jì)學(xué),統(tǒng)計(jì)學(xué),力學(xué),信號(hào)與信號(hào)處理,系統(tǒng)控制,通信,航空等學(xué)科和領(lǐng)域應(yīng)用線性代數(shù)相關(guān)后繼學(xué)科:電路、理論力學(xué)、材料力學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、自動(dòng)控制原理、機(jī)械振動(dòng)、機(jī)器人學(xué)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等課程無(wú)不以線代為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分,注,了解線性代數(shù),2019/12/16,5,在數(shù)學(xué)上,線性函數(shù)關(guān)系是直線,而非線性函數(shù)關(guān)系是非直線,包括各種曲線、折線、不連續(xù)的線等;線性方程滿足疊加原理,非線性方程不滿足疊加原理;線性方程易于求出解析解,而非線性方程一般不能得出解析解----阿爾文托夫勒(AlvinToffler1928-),未來(lái)學(xué)大師、世界著名未來(lái)學(xué)家,注,了解線性代數(shù),本學(xué)科體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系,從具體概念抽象出來(lái)的公理化方法以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等可以強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練。,學(xué)習(xí)方法是大學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容,2019/12/16,6,科學(xué)的發(fā)展決定了不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)系,還要研究多個(gè)變量之間的關(guān)系。各種實(shí)際問(wèn)題在大多數(shù)情況下可以線性化。計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展,線性化了的問(wèn)題又可以計(jì)算出來(lái)。大量的理論及應(yīng)用問(wèn)題可以通過(guò)“線性化”變成線性代數(shù)問(wèn)題。線性代數(shù)的重要性在于它考慮了一類(lèi)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。解決這些問(wèn)題的有力工具。,注,了解線性代數(shù),2019/12/16,7,線性代數(shù)和微積分學(xué)是數(shù)學(xué)的兩大支柱,是所有理工科學(xué)生的必修課程.,線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支。一次方程稱(chēng)為線性方程,討論線性方程及線性運(yùn)算的代數(shù)就叫做線性代數(shù)。在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。它的研究對(duì)象是向量,向量空間(或稱(chēng)線性空間),線性變換和有限維的線性方程組。知識(shí)鏈:線性方程組--->行列式--->矩陣--->向量,注,了解線性代數(shù),2019/12/16,8,大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)什么?怎樣學(xué)?,數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育----中國(guó)科學(xué)院院士李大潛,通過(guò)數(shù)學(xué)的訓(xùn)練,可以使學(xué)生樹(shù)立明確的數(shù)量觀念,“胸中有數(shù)”,認(rèn)真地注意事物的數(shù)量方面及其變化規(guī)律。,怎樣做為什么這樣做不這樣做可以嗎How?Why?Otherways?,注,未來(lái)的文盲不再是目不識(shí)丁的人,而是那些沒(méi)有學(xué)會(huì)怎樣學(xué)習(xí)的人---AlvinToffler(America),了解線性代數(shù),2019/12/16,9,了解線性代數(shù),《數(shù)學(xué)概觀》:“如果不熟悉線性代數(shù)的概念,如線性性質(zhì)、向量、線性空間、矩陣等,要去學(xué)習(xí)自然科學(xué),現(xiàn)在看來(lái)就和文盲差不多,甚至學(xué)習(xí)社會(huì)科學(xué)也是如此”。---瑞典數(shù)學(xué)家LarsGarding,2019/12/16,10,參考資料:,《線性代數(shù)》同濟(jì)大學(xué)第四版《線性代數(shù)五講》龔昇編著《數(shù)學(xué)概觀》、《數(shù)學(xué)拾遺》ThomasA.Garrity《高等代數(shù)教程-習(xí)題集》王萼芳編清華大學(xué)出版社,了解線性代數(shù),2019/12/16,11,參考資料:,,了解線性代數(shù),話說(shuō)很久以前,有群吃飽飯沒(méi)事干的數(shù)學(xué)家正在研究方程組,其中有一個(gè)特別吃得飽的突然對(duì)大伙說(shuō):“兄弟,不覺(jué)得寫(xiě)一堆方程式然后一個(gè)一個(gè)的代入消元太麻煩了嗎?特別是浪費(fèi)紙!”其他人點(diǎn)頭稱(chēng)是,于是大家研究一番,發(fā)現(xiàn)如果把方程組的系數(shù)提出來(lái)計(jì)算更加的省紙,于是行列式誕生了!并且得出了克拉默法則!,真是“吃飽了撐得”,線性代數(shù)的誕生,故事是這樣發(fā)生的……,2019/12/16,13,如果方程組的個(gè)數(shù)很少,是不能構(gòu)成行列式的(行列式一定是方陣)。于是又有一個(gè)人提出了矩陣,利用符號(hào)表示沒(méi)有任何關(guān)系的系數(shù),并得到了矩陣的秩的概念,利用它就可以討論方程組解的情況了!從此一場(chǎng)數(shù)學(xué)界的思想革命開(kāi)始了!矩陣的出現(xiàn)方便了求解線性方程組,但是那群數(shù)學(xué)家非常不甘心,“連個(gè)小牛頓都能有萬(wàn)有引力,咱們得努力一下,弄個(gè)像樣的數(shù)學(xué)工具!”一個(gè)數(shù)學(xué)家說(shuō)!于是他們又想到了把線性方程組用有序的數(shù)列來(lái)表示,這樣向量誕生了。。。,線性代數(shù)的誕生,2019/12/16,14,原來(lái)這些數(shù)學(xué)家在想辦法利用秩的概念討論線性關(guān)系找到多余的方程把它去掉,剩下的才是值得分析的方程組,原來(lái)在省紙。,線性代數(shù)的發(fā)展,知識(shí)鏈:線性方程組--->行列式--->矩陣(秩)--->向量--->向量空間,2019/12/16,15,如圖給出了某城市部分單行街道在一個(gè)下午早些時(shí)候的交通流量(每小時(shí)車(chē)輛數(shù)目)。計(jì)算該網(wǎng)絡(luò)的車(chē)流量。,引例交通流問(wèn)題,,2019/12/16,16,由,引例交通流問(wèn)題,,網(wǎng)絡(luò)流量假設(shè),有對(duì)于節(jié)點(diǎn)A:對(duì)于節(jié)點(diǎn)B:對(duì)于節(jié)點(diǎn)C:對(duì)于節(jié)點(diǎn)D:對(duì)于節(jié)點(diǎn)E:,問(wèn)題歸結(jié)為如下線性方程組的求解(有解還是無(wú)解):,線性方程組的解法SystemofLinearEquations,第一章,線性方程組的消元法,矩陣及其初等行變換,應(yīng)用舉例,第一節(jié)線性方程組的消元法,2019/12/16,19,公元前1世紀(jì),《九章算術(shù)》:初等行變換,相當(dāng)于高斯消元法17世紀(jì)后期,德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨:含兩個(gè)未知量三個(gè)方程的線性組18世紀(jì)上半葉,英國(guó)數(shù)學(xué)家麥克勞林:具有二、三、四個(gè)未知量的線性方程組得到了現(xiàn)在稱(chēng)為克拉默法則的結(jié)果瑞士數(shù)學(xué)家克拉默不久也發(fā)表了這個(gè)法則,了解:關(guān)于線性方程組,,2019/12/16,20,18世紀(jì)下半葉,法國(guó)數(shù)學(xué)家貝祖:對(duì)線性方程組理論進(jìn)行了一系列研究證明了n元齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零19世紀(jì),英國(guó)數(shù)學(xué)家史密斯和道奇森:前者引進(jìn)了方程組的增廣矩陣的概念后者證明了n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同,?,了解:關(guān)于線性方程組,,2019/12/16,21,1、基本概念,線性方程:,,,,設(shè)為實(shí)未知量,為實(shí)數(shù),nmkl為正整數(shù),,,線性方程組:,,線性方程組的解、相容consistent、不相容、解集、通解(一般解)、同解(等價(jià))方程組,2019/12/16,22,Gauss消元法(Gauss~method),,,,,,a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2,,?,(a11a22?a12a21)x1=b1a22?a12b2(a11a22?a12a21)x2=a11b2?b1a21,當(dāng)a11a22?a12a21?0時(shí),,具體實(shí)例見(jiàn)P3例2,2019/12/16,23,?,,,,?1/2,,,對(duì)換變換(swapping),倍乘變換(rescaling),倍加變換(pivoting),階梯形方程組(echelonform),,2、Gauss消元法實(shí)例,統(tǒng)稱(chēng)為:同解變換,2019/12/16,24,?,,階梯形(echelonform),,最簡(jiǎn)形(reducedechelonform),或?qū)懗上蛄啃问?由此可得原方程組的通解(generalsolution),其中c為任意數(shù).,2、Gauss消元法實(shí)例,,2019/12/16,25,?,(1)線性方程組的初等變換,對(duì)換變換(swapping),倍乘變換(rescaling),倍加變換(pivoting),3、Gauss消元法實(shí)例小結(jié),,2019/12/16,26,?,(2)階梯形線性方程組的有三中基本類(lèi)型.,例如:,3、Gauss消元法實(shí)例小結(jié),,無(wú)解,有唯一解,有無(wú)數(shù)解,2019/12/16,27,?,(3)階梯陣的形狀與線性方程組的解.引入矩陣,無(wú)解,,,有唯一解,有無(wú)數(shù)解,,,,解的數(shù)目,,,,,?,2019/12/16,28,?,,,,?1/2,,,,注:解只與相應(yīng)的系數(shù)和右邊常數(shù)有關(guān),故可用矩陣表示如下,,,,2019/12/16,29,第二節(jié)矩陣及其初等行變換,2019/12/16,30,“矩陣(matrix)”這個(gè)詞首先是英國(guó)數(shù)學(xué)家西爾維斯特使用的.,他為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式(determinant)而發(fā)明了這個(gè)述語(yǔ).,,JamesJosephSylvester,(1814.9.3~1897.3.15),一、關(guān)于矩陣的歷史,,2019/12/16,31,英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊被公認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者.,他首先把矩陣作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念,并發(fā)表了一系列關(guān)于這個(gè)題目的文章.,?,一、關(guān)于矩陣的歷史,,2019/12/16,32,二、實(shí)例,例1.四個(gè)城市間的單向航線如圖所示.,?,用aij表示從i市到j(luò)市航線的條數(shù),則上圖信息可表示為,,2019/12/16,33,例2.線性方程組的一般形式為,如果把未知量的系數(shù)按其原來(lái)的相對(duì)位置排成一個(gè)矩形的樣子,則為一個(gè)矩陣。,系數(shù)矩陣,增廣矩陣,二、實(shí)例,,2019/12/16,34,三.矩陣的定義,1.m?n矩陣,元素aij(1?i?m,1?j?n),,2019/12/16,35,Def.2.1,由個(gè)數(shù),排成m行n列的數(shù)表,稱(chēng)為m行n列矩陣,簡(jiǎn)稱(chēng)矩陣。,Note:1、前行后列;2、與行列式的區(qū)別,這個(gè)數(shù)稱(chēng)為矩陣A的元素,稱(chēng)為矩陣A的第i行、第j列元素。(實(shí)矩陣、復(fù)矩陣),簡(jiǎn)記,同型矩陣:矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)也相等注,,三.矩陣的定義,2019/12/16,36,,如果與是同型矩陣,且,稱(chēng)矩陣A與B相等,記為A=B,相等的必要條件是同型,常見(jiàn)的特殊矩陣:,1、列矩陣:,2、行矩陣:,3、零矩陣:O,,4、方陣(n階方陣):對(duì)角線(對(duì)角線),,2019/12/16,37,5、上三角形矩陣(上三角陣)在n階方陣中,rik=0其中i>k.,6、下三角形矩陣(下三角陣)在n階方陣中,lik=0其中i- 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- 線性方程組 消元法 矩陣 及其 初等 變換
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