2019版高考數(shù)學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關 第二章 函數(shù)與導數(shù)學案.doc

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第二章函數(shù)與導數(shù)第1課時函數(shù)及其表示(對應學生用書(文)、(理)911頁) 本節(jié)是函數(shù)部分的起始部分，以考查函數(shù)概念、三要素及表示法為主，同時考查學生在實際問題中的建模能力. 本節(jié)內(nèi)容曾以多種題型出現(xiàn)在高考試題中，要求相對較低，但很重要，特別是函數(shù)的解析式仍會是2019年高考的重要題型 理解函數(shù)的概念，了解構成函數(shù)的要素. 在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù). 了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用1. (必修1P26練習3改編)下列對應關系中_是函數(shù)(填序號) AR，BR，對于任意的xA，xx的算術平方根； A1，2，3，4，5，B0，2，4，6，8，對于任意的xA，x2x； xx，xR； xy，其中y|x|，xR，yR； xy，其中y為不大于x的最大整數(shù)，xR，yZ.答案：解析：均符合函數(shù)的定義，對于集合A中的元素5，在集合B中找不到元素與之對應2. (必修1P26練習4改編)下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是_(填序號) yx1和y； yx0和y1； f(x)x2和g(x)(x1)2； f(x)和g(x).答案： 解析：只有表示同一函數(shù)，與中定義域不同，是對應法則不同3. (必修1P31習題1改編)設函數(shù)f(x).若f(a)2，則實數(shù)a_答案：1解析：由題意可知，f(a)2，解得a1.4. (必修1P31習題8改編)已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)_x1234f(x)3241答案：4解析：由表中函數(shù)值得f(3)4.5. (必修1P36習題3改編)已知函數(shù)f(x)在1，2上的圖象如圖所示，則f(x)的解析式為_答案：f(x)解析：觀察圖象，知此函數(shù)是分段函數(shù)，并且在每段上均是一次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求出解析式當1x0時，f(x)x1；當00，f：xy|x|； Ax|x2，xN*，By|y0，yN，f：xyx22x2； Ax|x0，By|yR，f：xy； A|是三角形的內(nèi)角，By|yR，對應法則：ytan ； Am|mZ，By|y0或y1，對應法則：y答案：解析： 集合A中的零元素，在集合B中沒有相應的對應元素 按照對應法則，滿足題設條件 一對多，不滿足映射的概念 A，但的正切值不存在， 此對應不是從集合A到集合B的映射 集合A中的每一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應， 此對應是從集合A到集合B的映射點評：判斷對應是否為映射，即看A中元素是否滿足“每元有象”和“且象唯一”；但要注意： A中不同元素可有相同的象，即允許多對一，但不允許一對多； B中元素可無原象，即B中元素可以有剩余已知映射f：AB，其中ABR，對應法則f：xyx22x，對于實數(shù)kB，在集合A中不存在元素與之對應，則k的取值范圍是_答案：(1，)解析：由題意知，方程x22xk無實數(shù)根，即x22xk0無實數(shù)根 4(1k)1時滿足題意,2函數(shù)的解析式),2)求下列各題中的函數(shù)f(x)的解析式(1) 已知f(2)x4，求f(x)；(2) 已知flg x，求f(x)；(3) 已知f(x)是二次函數(shù)，且滿足f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x)解：(1) (解法1)設t2(t2)，則t2，即x(t2)2， f(t)(t2)24(t2)t24， f(x)x24(x2)(解法2) f(2)(2)24， f(x)x24(x2)(2) 設t1，則x， f(t)lg ，即f(x)lg (x1)(3) f(x)是二次函數(shù)， 設f(x)ax2bxc(a0)由f(0)1，得c1.由f(x1)f(x)2x，得a(x1)2b(x1)1ax2bx12x，整理，得(2a2)xab0，由恒等式原理，知 f(x)x2x1.變式訓練根據(jù)下列條件分別求出f(x)的解析式(1) f(1)x2；(2) 二次函數(shù)f(x)滿足f(0)3，f(x2)f(x)4x2.解：(1) 令t1， t1，x(t1)2.則f(t)(t1)22(t1)t21，即f(x)x21，x1，)(2) 設f(x)ax2bxc(a0)， f(x2)a(x2)2b(x2)c，則f(x2)f(x)4ax4a2b4x2. 又f(0)3， c3， f(x)x2x3.,3分段函數(shù)),3)如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD上有一點P，沿著折線BCDA由B點(起點)向A點(終點)移動設P點移動的路程為x，ABP的面積為yf(x)(1) 求ABP的面積與P移動的路程間的函數(shù)解析式；(2) 作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象求y的最大值解：(1) 這個函數(shù)的定義域為(0，12)，當0x4時，Sf(x)4x2x；當4x8時，Sf(x)8；當8x12時，Sf(x)4(12x)242x. 函數(shù)解析式為f(x)(2) 其圖象如圖所示，由圖知fmax(x)8.變式訓練已知函數(shù)f(x)則滿足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范圍是_答案：(1，1)解析：函數(shù)f(x)的圖象如圖所示：f(1x2)f(2x)解得1x1.對于實數(shù)a和b，定義運算“*”：a*b設函數(shù)f(x)(x2)*(3x)，xR.若方程f(x)c恰有兩個不同的解，則實數(shù)c的取值范圍是_答案：(，2)解析：令x2(3x)1，求得x1，則f(x)(x2)*(3x)畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，方程f(x)c恰有兩個不同的解，即是函數(shù)f(x)的圖象與直線yc有2個交點，數(shù)形結合可得c0)，g(x)1(x0)；中，f(x)x3(x3)因此填.2. 二次函數(shù)yf(x)ax2bxc(xR)的部分對應值如下表：x43210123y60466406則關于x的不等式f(x)0的解集為_答案：3，2解析：由表格數(shù)據(jù)作出二次函數(shù)的草圖，結合數(shù)據(jù)與圖象即可發(fā)現(xiàn)不等式f(x)0的解集為3，23. 為了保證信息安全傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密為yax2(x為明文、y為密文)，如果明文“3”通過加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是_答案：44. 有一個有進水管和出水管的容器，每單位時間進水量是一定的，設從某時刻開始，5分鐘內(nèi)只進水，不出水，在隨后的15分鐘內(nèi)既進水，又出水，得到時間x與容器中的水量y之間的關系如圖所示再隨后，只放水不進水，水放完為止，則這段時間內(nèi)(即x20)，y與x之間的函數(shù)關系是_答案：y3x95解析：設進水速度為a1 L/min，出水速度為a2 L/min，則由題意得解得則y353(x20)，得y3x95.當水放完，時間為x min，又知x20，故解析式為y3x95.5. 設函數(shù)f(x)若f(a)f(1)，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：(，1)(1，)解析：由f(1)2，則f(a)2.當a0時，有2a42，則a1；當a0時，a32，則a1.所以實數(shù)a的取值范圍是(，1)(1，)6. 函數(shù)f(x)若關于x的方程f(x)kxk至少有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是_答案：(1，)解析：如圖，作出函數(shù)圖象，y2kxk過定點(1，0)，臨界點和(1，0)連線的斜率為，又f(1)1，由圖象知實數(shù)k的取值范圍是(1，),3. 分段函數(shù)意義理解不清致誤)典例已知實數(shù)a0，函數(shù)f(x)若f(1a)f(1a)，則a的值為_易錯分析：(1) 誤以為1a1，沒有對a進行討論直接代入求解；(2) 求解過程中忘記檢驗所求結果是否符合要求致誤解析：當a0時，1a1，由f(1a)f(1a)可得22aa1a2a，解得a，不合題意；當a1，1a1，由f(1a)f(1a)可得1a2a22aa，解得a.答案：特別提醒：(1) 注意分類討論思想在求函數(shù)值中的應用，對于分段函數(shù)的求值問題，若自變量的取值范圍不確定，應分情況求解；(2) 檢驗所求自變量的值或范圍是否符合題意，求解過程中，求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗結果是否符合要求1. 已知集合Aa，b，c，B1，2，那么可建立從A到B的映射個數(shù)是_，從B到A的映射個數(shù)是_答案：89解析：依題意，建立從A到B的映射，即集合A中的每一個元素在集合B中找到對應元素，從而從A到B的映射個數(shù)為238，從B到A的映射個數(shù)是329.所以填寫答案依次為：8；9.2. 已知一個函數(shù)的解析式為yx2，它的值域為1，4，這樣的函數(shù)有_個答案：9解析：列舉法：定義域可能是1，2、1，2、1，2、1，2、1，2，2、1，2，2、1，1，2、1，1，2、1，1，2，23. 若函數(shù)f(x)，f(2)1，又方程f(x)x有唯一解，則f(x)_答案：解析：由f(2)1得1，即2ab2；由f(x)x得x，變形得x0，解此方程得x0或x， 方程有唯一解， 0，解得b1，代入2ab2得a， f(x).4. 如圖，動點P從單位正方形ABCD頂點A開始，順次經(jīng)B，C，D繞邊界一周，當x表示點P的行程，y表示PA之長時，求y關于x的解析式，并求f的值解：當P在AB上運動時，yx(0x1)；當P在BC上運動時，y(1x2)；當P在CD上運動時，y(2x3)；當P在DA上運動時，y4x(3x4). y f.5. 已知函數(shù)f(x)則不等式f(x)1的解集是_答案：4，2解析：f(x)1，等價于或解之得4x0或01且x1，故函數(shù)的定義域為(1，1)(1，)3. 函數(shù)y的值域為_答案：解析： x222， 0. 00時，值域為，)；當a0且a1)的值域是(0，) ylogax(a0且a1)的值域是R ysin x，ycos x的值域是1，1 ytan x的值域是R3. 函數(shù)的最值一般地，設yf(x)的定義域為A.(1) 如果存在x0A，使得對于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么稱f(x0)為yf(x)的最大值，記為ymaxf(x0)(2) 如果存在x0A，使得對于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么稱f(x0)為yf(x)的最小值，記為yminf(x0)4. 值域與最值的關系若函數(shù)yf(x)的最大值為b，最小值為a，那么yf(x)的值域必定是數(shù)集a，b的子集，若f(x)可以取到a，b中的一切值，那么其值域就是a，b5. 復合函數(shù)如果函數(shù)yf(u)(uA)，ug(x)(xB，uA)，則yf(g(x)叫做由函數(shù)yf(u)(uA)，ug(x)(xB，uA)合成的復合函數(shù)，u叫做中間變量yf(u)(uA)，叫做該復合函數(shù)的外層函數(shù)，而ug(x)(xB)叫做該復合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)注意：由ug(x)(xB)求出的值域一定是A.即內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域6. 函數(shù)解析式的表示離不開函數(shù)的定義域備課札記,1求函數(shù)的定義域),1)(1) 已知函數(shù)f(x)的定義域是0，2，則函數(shù)g(x)ff的定義域是_(2) 函數(shù)y的定義域為_答案：(1) (2) (1，1)解析：(1) 因為函數(shù)f(x)的定義域是0，2，所以函數(shù)g(x)ff中的自變量x需要滿足：解得所以x，所以函數(shù)g(x)的定義域是.(2) 由得1x1.變式訓練(1) 求函數(shù)y的定義域；(2) 函數(shù)f(x)的定義域是1，1，求f(log2x)的定義域解：(1) 由得 函數(shù)定義域是(，1)(1，0)(2) 函數(shù)f(x)的定義域是1，1， 1log2x1， x2.故f(log2x)的定義域為.求下列函數(shù)的定義域：(1) y(x1)0；(2) ylg sin x.解：(1) 由題意得，解得， 3x2且x1， 所求函數(shù)的定義域為x|3x2且x1(2) 由題意得解得 2x或0x或21)解：(1) (解法1：換元法)令t，則t0且x，于是f(t)t(t1)21.由于t0，所以f(t)，故函數(shù)的值域是.(解法2：單調性法)容易判斷f(x)為增函數(shù)，而其定義域應滿足12x0，即x，所以f(x)f，即函數(shù)的值域是.(2) y1.因為1x21，所以02.所以10)，所以yt2(t0)因為t22，當且僅當t，即x1時，等號成立，故所求函數(shù)的值域為22，)求下列函數(shù)的值域：(1) f(x)；(2) g(x)；(3) ylog3xlogx31.解：(1) 由解得3x1. f(x)的定義域是3，1令yf(x)，則y0， y242，即y242(3x1)令t(x)(x1)24(3x1) x3，1，由t(3)0，t(1)4，t(1)0，知0t(x)4，從而y24，8，即y2，2， 函數(shù)f(x)的值域是2，2(2) g(x)1(x3且x4) x3且x4， g(x)1且g(x)6. 函數(shù)g(x)的值域是(，6)(6，1)(1，)(3) 函數(shù)的定義域為x|x0且x1當x1時，log3x0，logx30，ylog3xlogx31211；當0x1時，log3x0，logx30恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍【思維導圖】 函數(shù)恒成立不等式恒成立分類討論新函數(shù)的最值a的取值范圍【規(guī)范解答】 解：(1) 當a時，f(x)x2. f(x)在區(qū)間1，)上為增函數(shù)， f(x)在區(qū)間1，)上的最小值為f(1).(2) (解法1)在區(qū)間1，)上，f(x) 0恒成立， x22xa0恒成立設yx22xa，x1，) yx22xa(x1)2a1在1，)上單調遞增， 當x1時，ymin3a，當且僅當ymin3a0時，函數(shù)f(x)0恒成立，故a3.(解法2)f(x)x2，x1，)當a0時，函數(shù)f(x)的值恒為正；當a0時，函數(shù)f(x)0恒成立，故a3.【精要點評】 解法1運用轉化思想把f(x)0轉化為關于x的二次不等式；解法2運用了分類討論思想總結歸納(1) 求函數(shù)的值域此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調性法、圖象法、換元法、不等式法等無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域(2) 函數(shù)的綜合性題目此類問題主要考查函數(shù)值域、單調性、奇偶性等一些基本知識相結合的題目此類問題要求具備較高的數(shù)學思維能力、綜合分析能力以及較強的運算能力(3) 運用函數(shù)的值域解決實際問題此類問題的關鍵是把實際問題轉化為函數(shù)問題，從而利用所學知識去解決此類題目要求具有較強的分析能力和數(shù)學建模能力題組練透1. 函數(shù)y的值域是_答案：解析： x2x12， y， 值域為.2. 函數(shù)yx的值域是_答案：(，1解析：令t(t0)，則x. yt (t1)211， 值域為(，13. 已知函數(shù)f(x)x24ax2a6.(1) 若f(x)的值域是0，)，求a的值；(2) 若函數(shù)f(x)0恒成立，求g(a)2a|a1|的值域解：(1) f(x)的值域是0，)，即f(x)min0， 0， a1或.(2) 若函數(shù)f(x)0恒成立，則(4a)24(2a6)0，即2a2a30， 1a， g(a)2a|a1|當1a1時，g(a)a2a2， g(a)；當10且a1)的值域是4，)，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：(1，2解析：當x2時，x64，要使得函數(shù)f(x)的值域為4，)，只需當x2時，f(x)3logax的值域在區(qū)間4，)內(nèi)即可，故a1，所以3loga24，解得1a2，所以實數(shù)a的取值范圍是(1，25. 已知函數(shù)f(x)axb(a0且a1)的定義域和值域都是1，0，則ab_答案：解析：當a1時，該方程組無解；當0a1時，解得則ab2.6. (2018南陽一中二模)設g(x).(1) 若g(x)的定義域為R，求m的取值范圍；(2) 若g(x)的值域為0，)，求m的取值范圍解：令f(x)mx2x1.(1) 由題意知f(x)0在R上恒成立 當m0時， f(x)x10在R上不恒成立； 當m0時，要滿足題意必有 m.綜上所述，m的取值范圍是.(2) 由題意知，f(x)mx2x1能取到一切大于或等于0的實數(shù) 當m0時，f(x)x1可以取到一切大于或等于0的實數(shù)； 當m0時，要滿足題意必有 0m.綜上所述，m的取值范圍是.點睛：本題主要考查函數(shù)的定義域與值域、分類討論思想，屬于中檔題分類討論思想是解決高中數(shù)學問題的一種重要思想方法，是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思想之一，尤其在解決含參數(shù)的問題時發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度運用這種方法的關鍵是將題設條件研究透，這樣才能快速找準突破點. 充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并能應用于解題當中1. 函數(shù)f(x)的定義域為_答案：3，)解析：由題意知解得x3.2. (2018溧陽中學周練)函數(shù)f(x)ln()的定義域為_答案：4，0)(0，1)解析：函數(shù)的定義域必須滿足條件：解得x4，0)(0，1)3. 當x_時，函數(shù)f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2取得最小值答案：解析：f(x)nx22(a1a2an)x(aaa)，當x時，f(x)取得最小值4. 設函數(shù)f(x)若f(x)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：(，12，)解析：f(x)的值域為R，則22a2a2，實數(shù)a的取值范圍是(，12，). 5. 已知函數(shù)f(x)1的定義域是a，b(a，bZ)，值域是0，1，則滿足條件的整數(shù)數(shù)對(a，b)共有_個答案：5解析：由011，即12，解得0|x|2，滿足條件的整數(shù)數(shù)對有(2，0)，(2，1)，(2，2)，(0，2)，(1，2)共5個6. 求函數(shù)y的值域解：函數(shù)yf(x)的幾何意義：平面內(nèi)一點P(x，0)到兩點A(3，4)和B(5，2)的距離之和就是y的值由平面幾何知識，找出點B關于x軸的對稱點B(5，2)連結AB，交x軸于一點P，點P即為所求的最小值點，yminAB10.所以函數(shù)的值域為10，)1. 函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，它決定了函數(shù)的值域，并且它是研究函數(shù)性質的基礎，因此，我們一定要樹立函數(shù)定義域優(yōu)先的意識2. 函數(shù)的值域常?；瘹w為求函數(shù)的最值問題，要重視函數(shù)單調性在確定函數(shù)最值過程中的作用3. 求函數(shù)值域的常用方法：圖象法、配方法、換元法、基本不等式法、單調性法、分離常數(shù)法、導數(shù)法等理論上一切函數(shù)求值域或最值均可考慮“導數(shù)法”，但在具體的解題中要與初等方法密切配合備課札記第1課時 函數(shù)的單調性(對應學生用書(文)、(理)1517頁) 函數(shù)單調性的概念是函數(shù)性質中最重要的概念，仍將會是2019年高考的重點，特別要注意函數(shù)單調性的應用. 常見題型：a.求函數(shù)的單調區(qū)間；b.用定義判斷函數(shù)在所給區(qū)間上的單調性；c.強化應用單調性解題的意識，如比較式子的大小，求函數(shù)最值，已知函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍等 理解函數(shù)單調性的定義，并利用函數(shù)單調性的定義判斷或證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調性. 理解函數(shù)的單調性、最大(小)值的幾何意義，會用單調性方法求函數(shù)的最大(小)值. 能利用函數(shù)的單調性解決其他一些綜合性問題1. 下列函數(shù)中，在(，0)上為減函數(shù)的是_(填序號) y； yx3； yx0 ； yx2.答案：解析： 函數(shù)yx2的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為y軸， 函數(shù)yx2在(，0)上為減函數(shù)2. (必修1P44習題2改編)(1) 函數(shù)f(x)2x1的單調增區(qū)間是_；函數(shù)g(x)3x2在區(qū)間(，)上為_函數(shù)(2) 函數(shù)f(x)x22x1的單調增區(qū)間為_，單調減區(qū)間為_(3) 函數(shù)f(x)1在區(qū)間(，0)上是單調_函數(shù)(4) 函數(shù)y在區(qū)間1，3上是單調_函數(shù)答案：(1) (，)單調減(2) 1，)(，1(3) 增(4) 減3. (必修1P54本章測試6改編)若函數(shù)y5x2mx4在區(qū)間(，1上是減函數(shù)，在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，則m_答案：10解析：函數(shù)y5x2mx4的圖象為開口向上，對稱軸是x的拋物線，要使函數(shù)y5x2mx4在區(qū)間(，1上是減函數(shù)，在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，則1， m10.4. 已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(2，)上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：解析：f(x)a，由復合函數(shù)的增減性可知，g(x)在(2，)上為增函數(shù)， 12a.5. 設函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1，x2R都有(x1x2)f(x1)f(x2)0，則f(3)與f()的大小關系是_答案：f(3)f()解析：由(x1x2)f(x1)f(x2)0，可知函數(shù)f(x)為增函數(shù)，又3， f(3)f()1. 增函數(shù)和減函數(shù)一般地，設函數(shù)yf(x)的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個值x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說yf(x)在區(qū)間D上是單調增函數(shù)(如圖所示)如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個值x1，x2，當x1f(x2)，那么就說yf(x)在區(qū)間D上是單調減函數(shù)(如圖所示) 2. 單調性與單調區(qū)間如果一個函數(shù)在某個區(qū)間D上是單調增函數(shù)或是單調減函數(shù)，那么就說這個函數(shù)在這個區(qū)間D上具有單調性(區(qū)間D稱為單調區(qū)間)3. 判斷函數(shù)單調性的方法(1) 定義法利用定義嚴格判斷(2) 利用函數(shù)的運算性質如果f(x)，g(x)為增函數(shù)，則 f(x)g(x)為增函數(shù)； 為減函數(shù)(f(x)0)； 為增函數(shù)(f(x)0)； f(x)g(x)為增函數(shù)(f(x)0，g(x)0)； f(x)為減函數(shù)(3) 利用復合函數(shù)關系判斷單調性法則是“同增異減”，即兩個簡單函數(shù)的單調性相同，則這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個簡單函數(shù)的單調性相反，則這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為減函數(shù)(4) 圖象法奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相反的單調性4. 函數(shù)的單調性的證明方法已知函數(shù)解析式，證明其在某區(qū)間上的單調性一般只能嚴格用定義(或導數(shù))來證明主要步驟：(1) 設元；(2) 作差(商)；(3) 變形(變形要徹底，一般通過因式分解、配方等方法，直到符號的判定非常明顯)；(4) 判斷符號；(5) 結論備課札記,1函數(shù)單調性的判斷),1)判斷函數(shù)f(x)(a0)在區(qū)間(1，1)上的單調性分析：此函數(shù)既不是常見函數(shù)，也不是由常見函數(shù)經(jīng)過簡單的復合而成，因此要判斷其在區(qū)間(1，1)上的單調性，只能用函數(shù)單調性的定義解：任取x1，x2(1，1)，且x1x2，則f(x1)f(x2).由1x1x20， 當a0時，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)， f(x)在(1，1)上單調遞減；同理，當a0時，f(x)在(1，1)上單調遞增證明函數(shù)f(x)在區(qū)間1，)上是減函數(shù)證明：設任取x1，x21，)，且x1x2.f(x1)f(x2). x1，x21，)，且x1x2， x1x20，1x1x20， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2) f(x)在1，)上為減函數(shù)點評：亦可證明函數(shù)f(x)在區(qū)間1，1上是增函數(shù)由于函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故利用單調性與奇偶性可作出函數(shù)f(x)的圖象同時也可得到函數(shù)f(x)在1，1上的值域為.,2求函數(shù)的單調區(qū)間),2)求下列函數(shù)的單調區(qū)間：(1) yx23|x|；(2) y；(3) ylog2(6x2x2)解：(1) yx23|x| 由圖象可知，y在，上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)(2) 易得定義域為R，令ux22x(x1)21，則u在(，1上為減函數(shù)，在1，)上為增函數(shù)又y在(，)上為減函數(shù)， y的單調增區(qū)間為(，1，單調減區(qū)間為1，)(3) 由題意得6x2x20，化簡得2x2x60，即(2x3)(x2)0，解得x2，即定義域為.設u6x2x22，易知其在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，又ylog2u在定義域上為增函數(shù)， ylog2(6x2x2)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.點評：已知函數(shù)的解析式，討論或求函數(shù)的單調區(qū)間，應首先確定函數(shù)的定義域，然后再根據(jù)復合函數(shù)單調性的判斷規(guī)則在函數(shù)的定義域內(nèi)求內(nèi)層函數(shù)相應的單調區(qū)間變式訓練函數(shù)y(x3)|x|的單調遞增區(qū)間是_答案：解析：y畫圖象如圖所示，可知單調遞增區(qū)間為.作出函數(shù)f(x)|x21|x的圖象，并根據(jù)函數(shù)圖象寫出函數(shù)的單調區(qū)間解：當x1或x1時， yx2x12；當1x1時， yx2x12.函數(shù)圖象如圖，由函數(shù)圖象可知函數(shù)單調減區(qū)間為(，1，；單調增區(qū)間為，1，),3函數(shù)的單調性與最值)典型示例,3)求f(x)x22ax1在區(qū)間0，2上的最大值和最小值【思維導圖】 判斷對稱軸與區(qū)間的不同位置關系分別畫出圖象判斷f(x)在區(qū)間的單調性求出最值【規(guī)范解答】 解：f(x)(xa)21a2，對稱軸為xa.(1) 當a0時，由圖可知，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.(2) 當0a1時，由圖可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a.(3) 當12時，由圖可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.綜上，當a0時，f(x)min1，f(x)max34a；當0a1時，f(x)min1a2，f(x)max34a；當12時，f(x)min34a，f(x)max1.【精要點評】 (1) 二次函數(shù)的單調區(qū)間是由圖象的對稱軸確定的故需要確定對稱軸與區(qū)間的關系由于對稱軸是xa，而a的取值不定，從而導致了分類討論(2) 不是應該分a2三種情況討論嗎？為什么成了四種情況？這是由于拋物線的對稱軸在區(qū)間0，2所對應的區(qū)域時，最小值是在頂點處取得，但最大值卻有可能是f(0)，也有可能是f(2)總結歸納(1) 要注意函數(shù)思想在求函數(shù)值域中的運用，求函數(shù)最值常借助函數(shù)單調性含有參數(shù)的最值問題，需要分類討論參數(shù)在不同范圍內(nèi)時函數(shù)單調性的變化，進而判斷最值的位置(2) 不等式恒成立問題也可以轉化為求函數(shù)的最值問題題組練透1. 函數(shù)y2x的值域是_答案：2，)解析：x1，y是x的增函數(shù)，當x1時，ymin2， 函數(shù)的值域為2，)2. 已知x0，1，則函數(shù)y的值域是_答案：1，解析：該函數(shù)為增函數(shù)，自變量最小時，函數(shù)值最小；自變量最大時，函數(shù)值最大3. 函數(shù)f(x)(x3，6)的值域為_答案：1，4解析：區(qū)間3，6是函數(shù)f(x)的單調減區(qū)間，把x3，x6分別代入f(x)中可得最大值、最小值4. 已知aR且a1，求函數(shù)f(x)在1，4上的最值解：由f(x)a.當1a0，即a1時，f(x)在1，4上為減函數(shù)， fmax(x)f(1)，fmin(x)f(4)；當1a1時，f(x)在1，4上為增函數(shù)， fmax(x)f(4)，fmin(x)f(1).5. 已知二次函數(shù)f(x)ax2bx1，若f(1)0，且函數(shù)f(x)的值域為0，)(1) 求a，b的值；(2) 若h(x)2f(x1)x|xm|2m，求h(x)的最小值解：(1) 顯然a0， f(1)0， ab10.又f(x)的值域為0，)， b24a0.由解得(2) 由(1)知f(x)x22x1，h(x)2x2x|xm|2m，即h(x) 若m0，則hmin(x)min，即hmin(x)min.又2m22m0， 當m0時，hmin(x)2m； 若m0，則hmin(x)h2m.綜上所述，hmin(x),4函數(shù)的單調性的綜合應用),4)已知函數(shù)f(x)2x，x(0，1(1) 當a1時，求函數(shù)yf(x)的值域；(2) 若函數(shù)yf(x)在(0，1上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍解：(1) 當a1時，f(x)2x，因為0x1，所以f(x)2x22，當且僅當x時，等號成立，所以函數(shù)yf(x)的值域是2，)(2) (解法1)設0x10恒成立，所以2x1x2a0，即a2x1x2在(0，1上恒成立，所以a2，即實數(shù)a的取值范圍是(，2)(解法2)由f(x)2x，知f(x)2，因為函數(shù)yf(x)在(0，1上是減函數(shù)，所以f(x)20在(0，1上恒成立，即a2x2在(0，1上恒成立，所以a2，即實數(shù)a的取值范圍是(，2)變式訓練若函數(shù)f(x)是(，)上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：2，0)解析：由x1時，f(x)x22ax2a是減函數(shù)，得a1.由x1時，函數(shù)f(x)ax1是減函數(shù)，得a0，分界點處的值應滿足122a12a1a1，解得a2，所以2a0.點睛：本題考查分段函數(shù)的單調性，解決本題的關鍵是熟悉二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調性，除了確定兩段函數(shù)在區(qū)間上單調以外，還需考慮分界點兩側的單調性，需要列出分界點處的不等關系已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，其在定義域上為增函數(shù)，且對任意實數(shù)x，y(0，)都滿足f(xy)f(x)f(y)，f(2)1，試解不等式f(x)f(x2)3.分析：此題的關鍵是將不等式轉化為兩個函數(shù)值的大小關系，然后借助于函數(shù)的單調性再將函數(shù)值的大小關系轉化為自變量取值的大小關系解：由題意得3111f(2)f(2)f(2)f(4)f(2)f(8)，即f(8)3， f(x)f(x2)3f(x)f(x2)f(8)而f(x)f(x2)f(x22x)，且f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)， f(x)f(x2)f(8)解得2x4， 所求不等式的解集為x|2x4點評：(1) 解含有抽象符號“f”的不等式時，關鍵是符號“f”的“穿”與“脫”在這里，首先要穿上符號“f”，然后再利用函數(shù)的單調性脫去“f”，使之成為能夠求解的普通不等式(2) 單調性的定義實質上給出了自變量與函數(shù)值大小關系的轉化如果f(x)在D上為增函數(shù)，則x1，x2D，