2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 10.1 橢圓及其性質(zhì) 理 .doc

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2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 10.1 橢圓及其性質(zhì) 理考點(diǎn)一橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.(xx大綱全國(guó),6,5分)已知橢圓C:+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,離心率為,過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn).若AF1B的周長(zhǎng)為4,則C的方程為()A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1答案A2.(xx安徽,14,5分)設(shè)F1,F2分別是橢圓E:x2+=1(0bb0)的離心率為,F是橢圓E的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn).當(dāng)OPQ的面積最大時(shí),求l的方程.解析(1)設(shè)F(c,0),由條件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程為+y2=1.(2)當(dāng)lx軸時(shí)不合題意,故設(shè)l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).將y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.當(dāng)=16(4k2-3)0,即k2時(shí),x1,2=.從而|PQ|=|x1-x2|=.又點(diǎn)O到直線PQ的距離d=,所以O(shè)PQ的面積SOPQ=d|PQ|=.設(shè)=t,則t0,SOPQ=.因?yàn)閠+4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即k=時(shí)等號(hào)成立,且滿足0,所以,當(dāng)OPQ的面積最大時(shí),l的方程為y=x-2或y=-x-2.考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)5.(xx江西,15,5分)過點(diǎn)M(1,1)作斜率為-的直線與橢圓C:+=1(ab0)相交于A,B兩點(diǎn),若M是線段AB的中點(diǎn),則橢圓C的離心率等于.答案6.(xx課標(biāo),20,12分)設(shè)F1,F2分別是橢圓C:+=1(ab0)的左,右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直.直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率;(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析(1)根據(jù)c=及題設(shè)知M,2b2=3ac.將b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).故C的離心率為.(2)由題意,得原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn),MF2y軸,所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn),故=4,即b2=4a.由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.設(shè)N(x1,y1),由題意知y1b0)的左、右焦點(diǎn),頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),連結(jié)BF2并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C,連結(jié)F1C.(1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為,且BF2=,求橢圓的方程;(2)若F1CAB,求橢圓離心率e的值.解析設(shè)橢圓的焦距為2c,則F1(-c,0),F2(c,0).(1)因?yàn)锽(0,b),所以BF2=a.又BF2=,故a=.因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上,所以+=1,解得b2=1.故所求橢圓的方程為+y2=1.(2)因?yàn)锽(0,b),F2(c,0)在直線AB上,所以直線AB的方程為+=1.解方程組得所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為.又AC垂直于x軸,由橢圓的對(duì)稱性,可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為.因?yàn)橹本€F1C的斜率為=,直線AB的斜率為-,且F1CAB,所以=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.