2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.7 圓錐曲線的綜合問題教案.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.7 圓錐曲線的綜合問題教案知識梳理解析幾何是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶，它本身側(cè)重于形象思維、推理運(yùn)算和數(shù)形結(jié)合，綜合了代數(shù)、三角、幾何、向量等知識.反映在解題上，就是根據(jù)曲線的幾何特征準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)換為代數(shù)形式，根據(jù)方程畫出圖形，研究幾何性質(zhì).學(xué)習(xí)時應(yīng)熟練掌握函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、參數(shù)的思想、分類與轉(zhuǎn)化的思想等，以達(dá)到優(yōu)化解題的目的.具體來說，有以下三方面：（1）確定曲線方程，實(shí)質(zhì)是求某幾何量的值；含參數(shù)系數(shù)的曲線方程或變化運(yùn)動中的圓錐曲線的主要問題是定值、最值、最值范圍問題，這些問題的求解都離不開函數(shù)、方程、不等式的解題思想方法.有時題設(shè)設(shè)計(jì)的非常隱蔽，這就要求認(rèn)真審題，挖掘題目的隱含條件作為解題突破口.（2）解析幾何也可以與數(shù)學(xué)其他知識相聯(lián)系，這種綜合一般比較直觀，在解題時保持思維的靈活性和多面性，能夠順利進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即從一知識轉(zhuǎn)化為另一知識.（3）解析幾何與其他學(xué)科或?qū)嶋H問題的綜合，主要體現(xiàn)在用解析幾何知識去解有關(guān)知識，具體地說就是通過建立坐標(biāo)系，建立所研究曲線的方程，并通過方程求解來回答實(shí)際問題.在這一類問題中“實(shí)際量”與“數(shù)學(xué)量”的轉(zhuǎn)化是易出錯的地方，這是因?yàn)樵谧鴺?biāo)系中的量是“數(shù)量”，不僅有大小還有符號.點(diǎn)擊雙基1.（xx年春季北京，5）設(shè)abc0，“ac0”是“曲線ax2+by2=c為橢圓”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件解析：ac0曲線ax2+by2=c為橢圓.反之成立.答案：B2.到兩定點(diǎn)A（0，0），B（3，4）距離之和為5的點(diǎn)的軌跡是A.橢圓 B.AB所在直線C.線段AB D.無軌跡解析：數(shù)形結(jié)合易知動點(diǎn)的軌跡是線段AB：y=x，其中0x3.答案：C3.若點(diǎn)（x，y）在橢圓4x2+y2=4上，則的最小值為A.1 B.1C. D.以上都不對解析：的幾何意義是橢圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)（2，0）連線的斜率.顯然直線與橢圓相切時取得最值，設(shè)直線y=k（x2）代入橢圓方程（4+k2）x24k2x+4k24=0.令=0，k=.kmin=.答案：C4.（xx年春季上海，7）雙曲線9x216y2=1的焦距是_.解析：將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得=1.a2=，b2=，c2=a2+b2=+=.c=，2c=.答案：5.（xx年春季北京）若直線mx+ny3=0與圓x2+y2=3沒有公共點(diǎn)，則m、n滿足的關(guān)系式為_；以（m，n）為點(diǎn)P的坐標(biāo)，過點(diǎn)P的一條直線與橢圓+=1的公共點(diǎn)有_個.解析：將直線mx+ny3=0變形代入圓方程x2+y2=3，消去x，得（m2+n2）y26ny+93m2=0.令0得m2+n23.又m、n不同時為零，0m2+n23.由0m2+n23，可知|n|，|m|，再由橢圓方程a=，b=可知公共點(diǎn)有2個.答案：0m2+n20，b0），且交拋物線y2=2px（p0）于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn).（1）寫出直線l的截距式方程；（2）證明：+=；（3）當(dāng)a=2p時，求MON的大小.剖析：易知直線l的方程為+=1，欲證+=，即求的值，為此只需求直線l與拋物線y2=2px交點(diǎn)的縱坐標(biāo).由根與系數(shù)的關(guān)系易得y1+y2、y1y2的值，進(jìn)而證得+=.由=0易得MON=90.亦可由kOMkON=1求得MON=90.（1）解：直線l的截距式方程為+=1. （2）證明：由及y2=2px消去x可得by2+2pay2pab=0. 點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)y1、y2為的兩個根，故y1+y2=，y1y2=2pa.所以+=.（3）解：設(shè)直線OM、ON的斜率分別為k1、k2，則k1=，k2=.當(dāng)a=2p時，由（2）知，y1y2=2pa=4p2，由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，x1x2=4p2，因此k1k2=1.所以O(shè)MON，即MON=90.評述：本題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力.【例2】 （xx年黃岡高三調(diào)研考題）已知橢圓C的方程為+=1（ab0），雙曲線=1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使ll1，又l與l2交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個交點(diǎn)由上至下依次為A、B.（如下圖）（1）當(dāng)l1與l2夾角為60，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；（2）當(dāng)=時，求的最大值.剖析：（1）求橢圓方程即求a、b的值，由l1與l2的夾角為60易得=，由雙曲線的距離為4易得a2+b2=4，進(jìn)而可求得a、b.（2）由=，欲求的最大值，需求A、P的坐標(biāo)，而P是l與l1的交點(diǎn)，故需求l的方程.將l與l2的方程聯(lián)立可求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得點(diǎn)A的坐標(biāo).將A的坐標(biāo)代入橢圓方程可求得的最大值.解：（1）雙曲線的漸近線為y=x，兩漸近線夾角為60，又1k0k（1，1），方程所表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓； 1k3k20k（，1），方程所表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；1k=3k20k=1，表示的是一個圓；（1k）（3k2）0k（，）（1，），表示的是雙曲線；k=1，k=，表示的是兩條平行直線；k=，表示的圖形不存在.（2）由（k2+k6）（6k2k1）0（k+3）（k2）（3k+1）（2k1）b0）.設(shè)斜率為k的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M.證明：當(dāng)直線l平行移動時，動點(diǎn)M在一條過原點(diǎn)的定直線上.（3）利用（2）所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡要寫出作圖步驟，并在圖中標(biāo)出橢圓的中心.（1）解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1，ab0，a2=b2+4，即橢圓的方程為+=1.點(diǎn)（2，）在橢圓上，+=1.解得b2=4或b2=2（舍）.由此得a2=8，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.（2）證明：設(shè)直線l的方程為y=kx+m，與橢圓C的交點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）， y=kx+m，則有+=1. 解得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2a2b2=0.0，m2b2+a2k2，即m0）的準(zhǔn)線與x軸交于M點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn).（1）若線段AB的垂直平分線交x軸于N（x0，0），求證：x03p；（2）若直線l的斜率依次為p，p2，p3，線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)依次為N1，N2，N3，當(dāng)0p0，得0k21.令A(yù)（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2+2p）=，AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（，）.AB垂直平分線為y=（x）.令y=0，得x0=p+.由上可知0k2p+2p=3p.x03p.（2）解：l的斜率依次為p，p2，p3，時，AB中垂線與x軸交點(diǎn)依次為N1，N2，N3，（0p1）.點(diǎn)Nn的坐標(biāo)為（p+，0）.|NnNn+1|=|（p+）（p+）|=，=，所求的值為p3+p4+p21=.【例2】 （xx年南京市模擬題）已知雙曲線C：=1（a0，b0），B是右頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，且滿足|、|、|成等比數(shù)列，過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P.（1）求證：=；（2）若l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點(diǎn)D、E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍.（1）證法一：l：y=（xc）.y=（xc），y=x. 解得P（，）.|、|、|成等比數(shù)列，A（，0）.=（0，），=（，），=（，）.=，=.=.證法二：同上得P（，）.PAx軸，=0.=.（2）解： y=（xc），b2x2a2y2=a2b2.b2x2（xc）2=a2b2，即（b2）x2+2cx（+a2b2）=0.x1x2=0，b4a4，即b2a2，c2a2a2.e22，即e.