2019-2020年高中數(shù)學 第八章 圓錐曲線教案 對稱問題教案教學案 蘇教版.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 第八章 圓錐曲線教案 對稱問題教案教學案 蘇教版教學目標1引導學生探索并掌握解決中心對稱及軸對稱問題的解析方法2通過對稱問題的研究求解，進一步理解數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高分析問題和解決問題的能力3通過對稱問題的探討，使學生會進一步運用運動變化的觀點，用轉(zhuǎn)化的思想來處理問題教學重點與難點兩曲線關(guān)于定點和定直線的對稱知識方法是重點把數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為對稱問題，即用對稱觀點解決實際問題是難點教學過程師：前面學過了幾種常見的曲線方程，并討論了曲線的性質(zhì)今天這節(jié)課繼續(xù)討論有關(guān)對稱的問題大家想一想：點P(x，y)、P(x，y)關(guān)于點Q(x0，y0)對稱，那么它們的坐標應(yīng)滿足什么條件？師：P(x，y)，P(x，y)關(guān)于原點對稱，那么它們的坐標滿足什么條件？生：P和P的中點是原點即x=-x且y=-y師：若P和P關(guān)于x軸對稱，它們的坐標又怎樣呢？生：x=x且y=-y師：若P和P關(guān)于y軸對稱，它們的坐標有什么關(guān)系？生：y=y且x=-x師：若P和P關(guān)于直線y=x對稱，它們的坐標又會怎樣？生：y=x且x=y生：它們關(guān)于直線y=x對稱師：若P與P關(guān)于直線Ax+By+C=0對稱，它們在位置上有什么特征？生：P和P必須在直線Ax+By+C=0的兩側(cè)師：還有補充嗎？生：PP的連線一定與直線Ax+By+C=0垂直師：P與P在直線Ax+By+C=0的兩側(cè)且與直線垂直就能對稱了嗎？生：還需要保證P和P到直線Ax+By+C=0的距離相等師：P與P到直線Ax+By+C=0的距離相等的含義是什么？生：就是P與P的中點落在直線Ax+By+C=0上，換句話說P與P的中點坐標滿足直線方程Ax+By+C=0師：下面誰來總結(jié)一下，兩點P(x，y)、P(x，y)關(guān)于直線Ax+By+C=0對稱應(yīng)滿足的條件？生：應(yīng)滿足兩個條件第一個條件是PP的連線垂直于直線Ax+By+C=0，第二個條件是P，P的中點應(yīng)落在直線Ax+By+C=0上師：這兩個條件能否用方程表示呢？(在黑板上可畫出圖形(如圖2-72)，可直觀些)生：方程組：師：這個方程組成立說明了什么？它能解決什么問題？生：方程組中含有x，y，也可認為這是一個含x，y的二元一次方程組換句話說，給定一個點P(x，y)和一條定直線Ax+By+C=0，可以求出P點關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點P(x，y)的坐標師：今后有很多有關(guān)對稱問題都可以用此方法處理，很有代表性但也還有其他方法，大家一起看下面的例題例1 已知直線l1和l2關(guān)于直線2x-2y+1=0對稱(如圖2-73)，若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2的方程(選題目的：熟悉對稱直線方程)師：哪位同學有思路請談?wù)勆合惹蟪鲆阎獌芍本€的交點，設(shè)l2的斜率為k，由兩條直線的夾角公式可求出k，再用點斜式求得l2的方程(讓這位同學在黑板上把解題的過程寫出來，大家訂正)由點斜式，l2的方程為4x-6y+3=0師：還有別的解法嗎？生：在直線l1上任取一點，求出這點關(guān)于2x-2y+1=0對稱的點，然后再利用交點，兩點式可求出l2的直線方程。(讓這位學生在黑板上把解題過程寫出來，如有錯誤，大家訂正)解 由方程組：師：還有別的解法嗎？生：在l2上任取一點P(x，y)，則P點關(guān)于2x-2y+1=0對稱的點P(x，y)在l1上，列出P，P的方程組，解出x，y，代入l1問題就解決了師：請你到黑板上把解題過程寫出來解 設(shè)P(x，y)為l2上的任意一點，則P點關(guān)于直線2x-2y+1=0對稱，點P(x，y)在l1上(如圖2-75)，又因為P(x，y)在直線l1：3x-2y+1=0上，所以3x-2y+1=0即l2的方程為：4x-6y+3=0師：很好，大家剛才的幾種解法是求對稱直線方程的常規(guī)方法那么，如果把l1改為曲線，怎樣求曲線關(guān)于一條直線對稱的曲線方程呢？引申：已知：曲線C：y=x2，求它關(guān)于直線x-y-2=0對稱的曲線方程(選題目的：進一步熟悉對稱曲線方程的一般方法)師：例1中的幾種解法還都適用嗎？生：第二種和第三種方法還能適用師：誰來試一試？生：可先在y=x2上任取一點P0(x0，y0)，它關(guān)于直線的對稱點P(x1，y1)，可得它們的交點，從中解出x0，y0代入曲線y=x2即可(如圖2-76)(讓學生把他的解法寫出來)解 設(shè)P0(x0，y0)是曲線C：y=x2上任意一點，它關(guān)于直線x-y-2=0對稱的點為P(x1，y1)，因此，連結(jié)P0(x0，y0)和P(x1，y1)兩點的直線方程為y-y0=-(x-x0)師：還有不同的方法嗎？生：用兩點關(guān)于直線對稱的方法也能解決師：把你的解法寫在黑板上生：解：設(shè)M(x，y)為所求的曲線上任一點，M0(x0，y0)是M關(guān)于直線x-y-2=0對稱的點，所以M0定在曲線C：y=x2上代入C的方程可得x=4y2+4y+6師：大家再看一個例子點出發(fā)射到x軸上后，沿圓的切線方向反射，求這條光線從A點到切點所經(jīng)過的路程(如圖2-77)師：解這題的關(guān)鍵是什么？生：關(guān)鍵是找到x軸的交點師：有辦法找到交點嗎？生：沒人回答師：交點不好找，那么我們先假設(shè)M就是交點，利用交點M對解決這個問題有什么幫助嗎？生：既然AM是入射光線，MD為反射光線，D為切點，這樣入射角就等于反射角，從而能推出AMO=DMx師：我們要求|AM|+|MD|能解決嗎？生：可以先找A關(guān)于x軸的對稱點A(0，-2)，由對稱的特征知：|AM|=|AM|，這樣把求|AM|+|MD|就可以轉(zhuǎn)化為|AM|+|MD|即|AD|師：|AD|怎么求呢？生：|AD|實際上是過A點到圓切線的長，要求切線長，只需先連結(jié)半徑CD，再連結(jié)AC，在RtACD，|CD|和|AC|都已知，|AD|就可以得到了(如圖2-77)(讓這位學生把解答寫在黑板上)解 已知點A關(guān)于x軸的對稱點為A(0，-2)，所求的路程即為師：巧用對稱性，化簡了計算，很好哪位同學能把這個題適當改一下，變成另一個題目生：若已知A(0，2)，D(4，1)兩定點，在x軸上，求一點P，使得|AP|+|PD|為最短師：誰能解答這個問題？生：先過A(0，2)關(guān)于x軸的對稱點A(0，-2)，連結(jié)AD與x軸相交于點P，P為所求(如圖2-78)師：你能保證|AP|+|PD|最短嗎？生：因為A，A關(guān)于x軸對稱，所以|AP|=|AP|，這時|AP|+|PD|=|AD|為線段，當P點在x軸其他位置上時，如在P處，那么，連結(jié)AP、AP和PD這時|AP|+|PD|=|AP|+|PD|AD|理由(三角形兩邊之和大于第三邊)所以|AD|為最短即P為所求師：這題還能不能再做些變形，使之成為另一個題目？x軸和圓C上的動點，求|AM|+|MP|的最小值師：哪位同學能夠解決？生：先作A點關(guān)于x軸的對稱點A(0，-2)，連結(jié)A和圓心C，AC交x軸于M點，交圓于P點，這時|AM|+|MP|最小(如圖2-79)師：你怎樣想到先找A點關(guān)于x軸的對稱點A的呢？生：由前題的結(jié)論可知，把AM線段搬到x軸下方，盡可能使它們成為直線，這樣|AM|+|MP|最小師：很好，大家一起動筆算一算(同時讓這位學生上前面書寫)生：解A點關(guān)于x軸的對稱點為A(0，-2)，連AC交x軸于M，交圓C于P點，因為A(0，-2)，C(6，4)，所以|AC|=師：我們一起看下面的問題例3 若拋物線y=ax2-1上總存在關(guān)于直線x+y=0對稱的兩點，求a的范圍師：這題的思路是什么？生：如圖2-80，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上關(guān)于直線x=-師：很好，誰還有不同的解法嗎？生：曲線y=ax2-1關(guān)于直線x+y=0對稱曲線方程為：-x=ay2-1，解方師：今天我們討論了有關(guān)點，直線，曲線關(guān)于定點，定直線，對稱的問題解決這些問題的關(guān)鍵所在就是牢固掌握靈活運用兩點關(guān)于定直線對稱的思想方法，結(jié)合圖象利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題作業(yè)：1一個以原點為圓心的圓與圓：x2+y2+8x-4y=0關(guān)于直線l對稱，求直線l的方程(2x-y+5=0)2ABCD是平行四邊形，已知點A(-1，3)和C(-3，2)，點D在直線x-3y-1=0上移動，則點B的軌跡方程是_(x-3y+20=0)3若光線從點A(-3，5)射到直線3x-4y+4=0之后，反射到點B(3，9)，則此光線所經(jīng)過的路程的長是_(12)4已知曲線C：y=-x2+x+2關(guān)于點(a，2a)對稱的曲線是C，若C與C有兩個不同的公共點，求a的取值范圍(-2a1)設(shè)計說明1這節(jié)課是一節(jié)專題習題課，也可以認為是復(fù)習題，通過討論對稱問題把有關(guān)的知識進行復(fù)習，最重要的是充分突出以學生為主體讓學生討論和發(fā)言，就是讓學生參加到數(shù)學教學中來，使學生興趣盎然，思維活躍，同時對自己也充滿了信心這樣，才有利于發(fā)揮學生的主動性，有利于培養(yǎng)學生的獨立思考的習慣，發(fā)展學生的創(chuàng)造性和思維能力因此，在數(shù)學教學中要有一定的時間讓學生充分地發(fā)表自己的見解，從而來提高他們的興趣，發(fā)展他們的能力2這節(jié)課自始至終貫穿數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，讓學生在腦海里留下一個深刻的印象，就是對稱問題，歸根結(jié)底都可以化成點關(guān)于直線的對稱問題，即可用方程組去解決反過來，一直線與一曲線的方程組消元后得到一元二次方程，若這二次方程的判別式大于零，也可得直線與曲線有兩個交點，這種從形到數(shù)，再由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化為我們處理解析幾何問題帶來了便利在解題時，只有站在一定的高度上去處理問題，思路才能開闊，方法才能靈活，學生的能力才能真正的得到培養(yǎng)，同時水平才能提高得較快3習題課的一個中心就是解題，怎樣才能讓學生做盡可能少的題，從而讓學生掌握通理通法，這是一個值得研究和探討的問題本節(jié)課采取了讓學生把題目進行一題多變，一題多解，從中使學生悟出一些解題辦法和規(guī)律，從而達到盡可能做少量的題，而達到獲取盡可能多的知識、方法和規(guī)律的目的，真正提高學生的分析問題、提出問題、解決問題的能力解決當前學生課業(yè)負擔過重的問題，根除題海戰(zhàn)術(shù)給學生帶來的危害4本課的例題選擇可根據(jù)自己所教學生的實際情況，下面幾個備用題可供參考題目1過圓O：x2+y2=4與y軸正半軸的交點A作這圓的切線l，M為l上任一點，過M作圓O的另一條切線，切點為Q，求點M在直線l上移動時，MAQ垂心的軌跡方程(選題目的：熟練用代入法求動點的軌跡方程，活用平幾簡化計算)解 如圖2-81所示P為AMQ的垂心，連OQ，則四邊形AOQP為菱形，所以|PQ|=|OA|=2，設(shè)P(x1，y1)，Q(x0，y0)于是有x0=x1且題目2若拋物線y=x2上存在關(guān)于直線y=m(x-3)對稱的兩點，求實數(shù)m的取值范圍解 (如圖2-82)設(shè)拋物線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線(選題目的：結(jié)合對稱問題，訓練反證法的應(yīng)用)此題證法很多下面給一種證法供參考證明 如圖2-83，若P、Q兩點關(guān)于y=x對稱，可設(shè)P(a，b)、5本教案作業(yè)4，5題的參考解答：4題解設(shè)P(x，y)是曲線y=-x2+x+2上任一點，它關(guān)于點(a，2a)的對稱點是P(x0，y0)，則x=2a-x0，y=4a-y0，代入拋物線C的方程便得到了C的方程：y=x2+(1-4a)x+(4a2+2a-2)聯(lián)立曲線C與C的方程并消去y得：x2-2ax+2a2+a-2=0，由0得-2a15題略解：如圖2-84，F(xiàn)1(-5，2)，F(xiàn)2(-1，2)，F(xiàn)1關(guān)于直線x-y=1的對稱點為F1(3，-6)，直線F1F2的方程為2x+y=0，代入x-y=1解得，